teoria y problemas fisica (69)

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Estrategia de resolución. Inicialmente, el coche se desplaza hacía 
el E (eje x) y el camión hacía el N (eje y). Debe aplicarse el principio 
de conservación del momento lineal en forma vectorial. 
 
1. Realizar un esquema del problema: 
 
 
2. Calcular los momentos lineales del coche y del camión. 
 
𝑃%⃗#U#±p = 𝑚#U#±p𝑣#U#±p = (1200)(40) 𝑖⏞ 
 
𝑃%⃗#U#±p = 72000 �𝑘𝑔
�$
± � 𝑖⏞ 
 
𝑃%⃗#S$ = 𝑚#S$𝑣#S$ = (3000)(60) 𝑗⏞ 
 
𝑃%⃗#S$ = 120000 �𝑘𝑔
�$
± � 𝑗⏞ 
 
 
3. Sumar los vectores del punto anterior para determinar el 
momento total: 
𝑃%⃗ = 72000 𝑖⏞ + 120000 𝑗⏞ 
 
 
4. Hallar la velocidad del centro de masa: 
 
𝑣#$ =
𝑃
𝑀 = [
(17.1) 𝑖⏞ + (28.6) 𝑗⏞\ µ
𝑘𝑚
ℎ ¶ 
 
𝑣#$ = ®(17.1)0 + (28.6)0 = 33.3 µ
𝑘𝑚
ℎ ¶ 
5. Determinar la dirección de la velocidad final del centro de masa: 
 
𝑡𝑎𝑛𝜑 =
𝑃;
𝑃:
=
120000
72000 
 
𝜑 = 59U 
 
Ejemplo 5.22. ¡Trata de resolver! Dos esferas de masas M1 = 1[kg] y M2 
= 2[kg] chocan elásticamente. Determinar las velocidades después del 
choque si sus velocidades antes del choque son v1=2[m/s] y v2=3[m/s]. 
Estrategia de resolución. Se trata de un típico caso de choque en 
dos dimensiones. Se deberá determinar las componentes de las 
velocidades antes del choque y luego aplicar el principio de 
conservación del momento lineal tanto en la línea de choque (eje x) 
como en la perpendicular a ésta (eje y). 
 
1. Definir las componentes de las velocidades antes del choque. 
 
𝑣.: = 𝑣.𝑐𝑜𝑠30U = 2𝑐𝑜𝑠30U = 1.73[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
𝑣.; = 𝑣.𝑠𝑒𝑛30U = 2𝑠𝑒𝑛30U = 1.00[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
𝑣0: = 𝑣0𝑐𝑜𝑠15U = 3𝑐𝑜𝑠15U = 0.97[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
𝑣0; = 𝑣0𝑠𝑒𝑛15U = 3𝑠𝑒𝑛15U = 0.78[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
2. Plantear el principio de conservación del momento lineal en la 
línea de choque: 
 
𝑀.𝑣.: +𝑀0𝑣0: = 𝑀.𝑣.:
, + 𝑀0𝑣0:
, ⇒ 𝑣.:, + 2𝑣0:, = −0.21 
 
 
 
3. Aplicar el coeficiente de restitución: 
𝑒 =
𝑣0:
, − 𝑣.:
,
𝑣.: − 𝑣0:
= 1 
 
𝑣0:
, − 𝑣.:
, = 𝑣.: − 𝑣0: = 1.94 
 
4. Resolviendo el sistema de ecuaciones: 
 
𝑣0:
, = 0.53[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
𝑣.:
, = −1.41[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
5. Calcular las velocidades en y después del choque: 
 
𝑣.;
, = 𝑣.; = 1.00[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
𝑣0;
, = 𝑣0; = 0.78[𝑚 𝑠⁄ ] 
Observaciones. Es importante notar que, solamente en la dirección 
normal (eje x) se utiliza la ecuación del coeficiente de restitución, en 
tanto que en el eje y, las velocidades después del impacto son igual a 
las velocidades antes del choque. Es decir, se utiliza la regla de 
Newton. 
Ejemplo 5.14.Una partícula I de 1.0[kg] se mueve a una velocidad v0 
de magnitud igual a 2[m/s] y paralela al suelo, choca con la cara 
inclinada de una cuña de 4.0[kg] que puede rodar libremente sobre el 
piso y que está inicialmente en reposo. Sabiendo que el choque es 
perfectamente elástico, hallar el ángulo de la cara inclinada de la 
cuña. 
 
 
Estrategia de resolución. Por el impacto entre la partícula y la cuña, 
esta retrocederá; se hará un modelo de lo que ocurre tomando un 
sistema de ejes (centrípeto y tangencial), a objeto de plantear el 
principio de conservación del momento lineal. 
1. Dibujar el modelo 
 
2. Plantear el principio de conservación del momento lineal en X, a 
objeto de calcular v2. 
 
𝑃%⃗d: = 𝑃%⃗�: 
 
𝑚𝑣. = 𝑀𝑣0 
𝑣0 =
𝑚𝑣.
𝑀 =
(1)(2)
4 = 0.5
[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
3. Debido a que el choque es elástico, la velocidad se conserva, 
plantear esa conservación 
 
𝑣.𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑣.
, 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
𝑣.
, =
2𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
4. Plantear la ecuación del coeficiente de restitución 
 
1 =
𝑣.
, 𝑐𝑜𝑠𝜃 − (−𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃)
−𝑣.𝑠𝑒𝑛𝜃
 
5. Resolviendo 
 
1.5𝑠𝑒𝑛0𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠0𝜃 
 
𝑡𝑎𝑛0𝜃 =
2
1.5 = 1.33 
𝜃 = 49d 
 
5.9.2. PROPULSIÓN	DE	COHETES	
 
Una aplicación importante de la conservación del momento lineal, es 
la propulsión de cohetes. En estos casos, cambia tanto la velocidad 
como la masa del sistema, por eso se le denomina también “masa 
variable”. La masa del cohete está cambiando continuamente, porque 
se quema combustible y, el gas de combustión es expulsado. 
Para tratar este problema, lo más sencillo es calcular la variación del 
momento lineal del sistema total, que incluye el gas expulsado, para 
un cierto intervalo de tiempo y aplicar la segunda ley de Newton, tal 
como fue planteada. 
Vamos a considerar un cohete que se mueve con velocidad “v” 
respecto a la Tierra, como se muestra en la figura 6.28. Si el 
combustible se quema a una razón constante “R”, esa razón será: 
𝑅 =
𝑑𝑚
𝑑𝑡 
 
Fig. 5.17 
En un tiempo “t”, la masa del cohete será: 
𝑚 = 𝑚U − 𝑅𝑡 
Siendo mo la masa inicial. 
El momento lineal del sistema en el tiempo “t”, puede ser expresado 
como: 
𝑃d = 𝑚𝑣 
En el tiempo “t +Dt” el cohete ha expulsado una masa de gas RDt, si 
el gas se expulsa con una velocidad “vexp” relativa al cohete, la 
velocidad del gas relativa a la Tierra es: 
𝑣 − 𝑣p:� 
Entonces, el cohete tiene una masa𝑚−𝑅𝑡 y una velocidad𝑣 + ∆𝑣. 
El momento lineal del sistema en el tiempo𝑡 + ∆𝑡 puede ser 
expresado de la forma: 
𝑃� =	 (𝑚 − 𝑅𝑡)(𝑣 + ∆𝑣) + 𝑅∆𝑡@𝑣 − 𝑣p:�A 
𝑃� = 𝑚𝑣 +𝑚∆𝑣 − 𝑣p:�𝑅∆𝑡