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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA
MECÁNICA Y ONDAS (C.C. FÍSICAS) Cod. Asig. 072244
PRIMERA PRUEBA PERSONAL, PRIMERA SEMANA, FEBRERO, 2002
INSTRUCCIONES
No se puede utilizar ningún tipo de material auxiliar(ni calculadora). La calificación del examen
será global, pero de manera orientativa se comunica que la puntuación de cada problema es de 3.5
puntos y 1.5 puntos cada cuestión.
PROBLEMAS
1. Se dispara un misil de largo alcance de masa m desde la superficie de la Tierra con
una velocidad v = (vr, vθ) en coordenadas polares con centro en el de la Tierra. Des-
preciando la resistencia del aire y la rotación de la Tierra, pero usando la expresión
exacta del campo gravitatorio, obténgase, en función de la masa M y radio R de la
Tierra, la constante de gravitación G y la velocidad inicial,
(a) Una ecuación para la máxima altura H sobre la superficie de la Tierra a la que
llega el misil.
(b) Resolver aproximadamente dicha ecuación, suponiendo que H/R es pequeño.
(Desarrollar en Taylor a primer orden).
(c) Cuando vθ = 0, velocidad vertical, se recupera un resultado familiar. ¿Cuál es
este resultado?
Solución:
(a) En el campo gravitatorio se conserva el momento angular y la energía de manera que si
el estado inicial es el del disparo y el final (denotado con primas) el momento de máxima
altura (para el cual v0r = 0), tendremos las dos ecuaciones
mRvθ = m(R+H)v
0
θ
1
2
m(v2θ + v
2
r )−
GMm
R
=
1
2
mv
02
θ −
GMm
R+H
Despejando v0θ de la primera ecuación e insertándola en la segunda, llegamos a
1
2
m(v2θ + v
2
r )−
GMm
R
=
1
2
m
µ
R
R+H
¶2
v2θ −
GMm
R+H
que es la ecuación para H (todas las demás cantidades son conocidas).
(b) Si suponemos que H/R es pequeño, podemos aproximar el segundo término de la ecuación
de la siguiente forma
1
2
m(v2θ + v
2
r )−
GMm
R
≈ 1
2
m
µ
1− 2H
R
¶
v2θ −
GMm
R
µ
1− H
R
¶
de donde podemos despejar H con el resultado
H ≈ v
2
rR
2
³
GM
R − v2θ
´
1
(c) Cuando el lanzamiento es vertical, vθ = 0, y vr = v y la expresión anterior deviene
H ≈ v
2
2g
donde g = GM
R2
es el campo gravitatorio en la superficie terrestre.
2. Una barra delgada y uniforme AB, de masa m y longitud L, puede rotar libremente
en un plano vertical alrededor de un eje horizontal que pasa por su extremo A.
Inicialmente la barra se encuentra en reposo en su posición de equilibrio estable.
Se lanza una bola de masa m que choca con el extremo B de la barra quedándose
adherida a la misma. ¿Cuál es la velocidad mínima de la bola para que la barra dé
una vuelta completa? Nota: el momento de inercia de la barra respecto al un eje
perpendicular a la misma que pasa por su centro es Ic = 112mL
2
Solución:
El momento de inercia de la barra con la bola adherida respecto a un eje que pasa por A es
I =
1
12
mL2 +m
µ
L
2
¶2
+mL2 =
4
3
mL2
Por conservación del momento cinético tenemos
mvL = Iω
de donde se deduce que la velocidad del sistema barra-bola después del choque es
ω =
3v
4L
Por conservación de la energía
1
2
Iω2 =
3
2
gLm
y por tanto
v =
p
4gL
CUESTIONES
1. Discutir si los siguientes procesos son posibles desde el punto de vista de la dinámica
relativista:
(a) Un fotón se transforma en un par electrón-positrón (e−, e+).
(b) Con el resultado del apartado (a), ¿es posible que un par electrón-positrón se
desintegre dando como resultado un sólo fotón?.
Nota: Un positrón e+ es una partícula con la misma masa del electrón me pero con
carga de signo contrario.
Solución
(a) La conservación de la energía y el momento en el proceso implica que
Eγ = Ee− +Ee+
pγ = pe− + pe+ (1)
y por la invariancia de las masas se sabe
Eγ
c
= pγ
(pe− + pe+)
2 =
µ
Ee− +Ee+
c
¶2
− (2me)2c2 (2)
2
así pues esta segunda condición queda
E2γ
c2
=
E2γ
c2
− (2me)2c2 (3)
que nos da una única solución de me = 0, lo cual es absurdo.
(b) Se trata del proceso anterior realizado en sentido contrario en el tiempo, como todo lo que hay en el
desarrollo anterior es independiente de tomar t o −t como variable de evolución el mismo razonamiento
es aplicable.
Puede razonarse también en el sistema centro de masas del electrón y del positrón en el que pe−+pe+ =
0, con lo cual tras la colisión pγ = 0, lo cual es imposible ya que no existe ningún sistema inercial en
el que el electrón esté en reposo (dado que tiene masa nula, equivaldría a elegir un referencial en el
que el fotón no existiese).
2. Dos masas m1 y m2 cuelgan de los extremos de un hilo que pasa por una polea. La
masa de la polea es m0 y la polea se considera como un disco homogéneo. Determí-
nese la aceleración lineal del sistema y las tensiones del hilo a) cuando la masa m0
no es despreciable con respecto a las dos masas colgadas y b) cuando la masa m0 es
despreciable.
Solución:
La segunda ley de Newton, aplicada a los dos cuerpos da:
m1a = P1 − T1,
m2a = P2 − T2.
Además,
Iα = rT1 − rT2,
donde el momento de inercia del disco es I = 12m0r
2 y α = a/r.
Cuando m0 es despreciable, entonces T1 ≈ T2 y el sistema de ecuaciones para resolver se da solo con
las primeras dos ecuaciones.
En el segundo caso, la aceleración se determina usando las tres ecuaciones del movimiento:
a = g
m1 −m2
m1 +m2 +m0/2
.
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