teoria y problemas fisica (75)

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𝜏 = 𝑟𝑥�⃗� 
 
al que llamamos torque o momento de la fuerza �⃗�. En la figura, si F 
= 40[N] y d = 5[m]. ¿Cuánto vale t? 
	
𝜏 = 𝑑𝐹𝑠𝑒𝑛30Y = (5)(40)(0.5) = 100[𝑁𝑚] 
Si se aplica un torque, solo la componente paralela al eje, puede 
generar rotación, mientras que, la componente perpendicular al eje, 
aunque genera una torsión en el cuerpo rígido si está fija a un 
punto, no es tomada en cuenta debido a un torque aplicado al 
cuerpo rígido que pasa por el eje mismo. 
Ejemplo 6.12. En el cilindro escalonado, los radios son R1=0.3[m] y 
R2=0.6[m], y las fuerzas aplicadas son F1=100[N] y F2=80[N]. Calcular 
el torque producido respecto al centro y el sentido de rotación. 
 
Estrategia de Resolución. Suponer un sentido de movimiento de 
rotación del cilindro escalonado y calcular los torques que produce 
cada fuerza, para luego encontrar el torque total. 
1. El posible sentido de rotación tendría que ser en sentido horario 
debido a que es posible que la fuerza F2 genere un torque mayor 
por el hecho de que el radio es también mayor. 
2. Hallar t0: 
𝜏Y = 𝐹0𝑅0 − 𝐹�𝑅� 
𝜏Y = (80)(0.6) − (100)(0.3) = 18[𝑁𝑚] 
Para definir torque, se considera una fuerza �⃗� que actúa en un 
cuerpo rígido que puede girar alrededor del punto O. La rotación del 
cuerpo rígido aumentará con el "brazo de palanca" b distancia 
perpendicular desde O a la línea de acción de�⃗�). Un ejemplo se 
presenta al tratar de abrir una puerta, se sabe que para abrirla 
conviene empujarla (aplicar la fuerza�⃗�) lo más lejos posible de las 
bisagras y manteniendo una dirección perpendicular al plano de la 
puerta, como muestra la figura. 
 
 
Fig.6.8 
6.5.	MOMENTO	DE	INERCIA	(I)	
 
El momento de inercia de un cuerpo rígido con respecto a un eje es 
la oposición al movimiento de rotación de un cuerpo rígido, producido 
por una fuerza. Si te fijas en la definición, el momento de inercia en 
rotación, equivale a la masa en el movimiento de traslación. 
6.5.1	MOMENTO	DE	INERCIA	DE	UNA	
PARTÍCULA	
 
El momento de inercia de una partícula de masa m que da vueltas 
alrededor de un eje, separado de la partícula una distancia r, como se 
muestra en la figura 6.9, es un momento de segundo orden, debido a 
ello, será proporcional a la distancia elevada al cuadrado. Esto tiene 
una gran aplicación en la mecánica y está dado por: 
𝐼 = 𝑚𝑟0 
 
Fig.6.9 
La unidad del momento de inercia en el SI será [kgm2]. 
 
6.5.2	MOMENTO	DE	INERCIA	DE	UN	
SISTEMA	DE	PARTÍCULAS	
 
Cuando se tiene un sistema de partículas, (fig.6.10), el momento de 
inercia se obtiene sumando para cada partícula, el producto de su 
masa por el cuadrado de su distancia al eje. Esta cantidad aparece 
en muchas expresiones relacionadas con la rotación de un cuerpo 
rígido. 
 
Fig.6.10 
 
𝐼 =�𝑚�𝑟�0
�
���
 
 
6.5.3	MOMENTO	DE	INERCIA	DE	UN	
CUERPO	RÍGIDO	
 
Si un cuerpo esta constituido por materia distribuida continuamente, 
como en la figura 6.11, la suma se reemplaza por un proceso de 
integración. 
 
 
Fig.6.11 
Suponiendo una masa infinitesimal dm, ubicada a la distancia r, el 
momento de inercia respecto al eje Z resulta: 
 
𝐼 = ∫𝑟0𝑑𝑚 (6.12) 
 
El procedimiento para obtener el momento de inercia de un cuerpo 
rígido respecto a un eje definido, considera un elemento de masa 
dm en función de la densidad del material, considerando a la 
densidad como el cociente entre la masa y el volumen, obteniéndose: 
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 
Por ejemplo, si se quiere determinar el momento de inercia de una 
esfera maciza homogénea de densidad r, respecto a un eje que 
pasa por el centro, como se muestra en la figura 7.8, si consideramos 
pequeño cilindro como elemento de volumen, dr será el espesor de 
ese cascaróncilíndricoconcéntricorespecto al eje longitudinal , 
(el elemento que se elige, debe ser siempre paralelo al eje), donde 
el volumen dV resulta: 
 
𝑑𝑉 = (2𝜋𝑟𝑑𝑟)𝐻 
por tanto, 
𝑑𝑚 = (2𝜋ℎ𝑟𝑑𝑟)𝜌 
El momento de inercia alrededor del eje que pasa por el centro de la 
esfera es: 
𝐼 = �𝑟0 𝑑𝑚 = � 𝑟0
�
Y
(2𝜋ℎ𝑟𝑑𝑟)𝜌 
pero: 
ℎ = 2z𝑅0 − 𝑟0 
Reemplazando la última ecuación en la anterior se tiene: 
𝐼 = 4𝜋𝜌� 𝑟�
�
Y
(ℎ𝑑𝑟) = 4𝜋𝜌� 𝑟�
�
Y
z𝑅0 − 𝑟0𝑑𝑟 
𝐼 = 4𝜋𝜌 ��
𝑅0 − 𝑟0
5 �
�
0o
− �
𝑅0 − 𝑟0
3 �
�
0o
�
Y
�
 
𝐼 = 4𝜋𝜌�
𝑅�
5 +
𝑅�
3 � = 4𝜋𝜌 U
8
15𝑅
�X 
Puesto que el volumen V de la esfera es: 
𝑉 =
4
3𝜋𝑅
� 
y la densidad: 
𝜌 =
𝑀
𝑉 =
𝑀
�
�
𝜋𝑅�
 
Reemplazando en la última ecuación: 
𝐼 = 2𝜋
𝑀
𝑉
8𝑅�
15 = 2𝜋
𝑀
�
�
𝜋𝑅�
�
8𝑅�
15 �