teoria y problemas fisica (84)

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3. Plantear las ecuaciones de Newton: 
 
Movimiento de traslación: 
 
�𝐹 = 𝑚�𝑎/^� 
 
𝑚�𝑔𝑠𝑒𝑛𝜑 + 𝑇 − 𝑓�A = 𝑚�𝑎/^� 
 
�𝐹 = 𝑚0𝑎/^0 
 
𝐹 − 𝑓�/ −𝑚0𝑔𝑠𝑒𝑛𝜌 = 𝑚0𝑎/^0 
 
Movimiento de rotación: 
 
�𝜏Y = 𝐼Y�𝛼A 
 
𝑓�A𝑅 + 𝑇𝑟 = 𝐼Y�𝛼A 
 
𝐼Y� = 𝑚�𝐾�0 
 
�𝜏Y = 𝐼Y0𝛼H 
 
𝑇𝑟Y − 𝐹𝑟Y−= 𝐼Y0𝛼H 
 
𝐼Y0 = 𝑚𝐾00 
 
�𝜏Y = 𝐼Y�𝛼I 
 
𝑓�/𝑅 + 𝐹𝑟 = 𝐼Y�𝛼I 
 
𝐼Y� = 𝑚�𝐾�0 
 
Relación de aceleraciones: 
 
𝑎/^0 = 𝛼I𝑅 
𝑎/^� = 𝛼A𝑅 
 
𝛼A
𝑅 − 𝑟 =
𝛼I
𝑅 + 𝑟 
 
𝛼A
𝑅 − 𝑟 =
𝛼H
𝑟Y
 
 
𝛼I
𝑅 + 𝑟 =
𝛼H
𝑟Y
 
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: 
 
𝑎/^� = 0.25[𝑚 𝑠0⁄ ] 
 
𝑎/^0 = 0.10[𝑚 𝑠0⁄ ] 
 
 
6.9.	CONSERVACION	DEL	
MOMENTO	ANGULAR	
 
El momento angular es el equivalente rotacional del momento lineal. 
Para definirlo se considera una partícula de masa m y momento lineal 
�⃗�, en una posición𝑟, con respecto al origen O de un sistema de 
coordenadas. El momento angular de la partícula con respecto al 
punto O, es el vector𝐿%⃗ , definido como: 
𝐿%⃗ = 𝑟𝑥�⃗�(6.16) 
Si 𝑟y𝑝 están ubicados en el plano (x, y), 𝐿%⃗ estará dirigido a lo largo 
de eje Z. El momento angular se define siempre respecto de un 
punto. La velocidad v de una partícula que da vueltas respecto a 
un eje, está relacionada con la velocidad angular w, mediante la 
expresión: v = wR. Reemplazando esto en la ecuación anterior se 
tiene: 
𝐿%⃗ = �⃗�𝑥�⃗� = �⃗�𝑥(𝑚�⃗�) = 𝑟𝑥(𝑚𝑟w) = 𝑚𝑟0w 
El momento angular tiene la misma dirección y sentido que la 
velocidad angular. Debido a que mr2 es el momento de inercia de 
una sola partícula respecto al eje Z, se tiene: 
𝐿%⃗ = 𝑚𝑟0w%%⃗ 
𝐿%⃗ = 𝐼w%%⃗ (6.17) 
 
Fig. 6.22 
Se puede considerar a𝐿%⃗ como el momento del momento lineal, 
siendo el brazo la línea perpendicular desde O a la línea de acción 
de𝑃%⃗ .Un cuerpo rígido es un caso simple de un sistema de 
partículas, debido a que cada partícula tiene la misma velocidad 
angularw%%⃗ y la misma aceleración angularα%%⃗ .La conservación del 
momento angular supone que la suma de los momentos o 
torques externos que actúan sobre un sistema de partículas es 
igual cero, obteniéndose así: 
𝜏 =
𝑑𝐿%⃗
𝑑𝑡 
Si 𝜏 = 0 
𝐿%⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
Cuando el momento externo resultante que actúa en un sistema vale 
cero, el vector momento angular total permanece constante. Para un 
sistema de partículas: 
𝐿%⃗ Y = 𝐿%⃗ � + 𝐿%⃗ 0 + 𝐿%⃗ � +⋯+ 𝐿%⃗ � 
𝐿%⃗ Y = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Como el momento angular de un cuerpo rígido resulta: 
𝐿 = 𝐼w 
El principio de conservación del momento angular toma la forma: 
𝐿%⃗ Y = 𝐿%⃗ 
𝐼YwY = 𝐼w 
Resumiendo, hemos visto tres leyes importantísimas, a las que 
vamos a llamarles las tres leyes universales. 
LAS TRES LEYES UNIVERSALES 
 
i) Ley de Conservación de la Energía 
 
“La energía mecánica de un sistema se conserva si no actúan 
fuerzas no conservativas”. 
 
ii) Ley de Conservación del Momento Lineal 
“El momento lineal de un sistema se conserva si no actúan 
fuerzas externas”. 
iii) Ley de Conservación del Momento Angular o Cinético 
“El momento angular o momento cinético se conserva si, sobre el 
sistema no actúan torques externos” 
Estas leyes se cumplen en todo el universo, incluyendo nuestra 
vida diaria. Por ejemplo, cuando los astrofísicos miran por el 
telescopio una galaxia en rotación a 20 millones de años luz, esa 
galaxia está obligada a cumplir estas leyes, no puede 
desobedecerlas, en realidad NADA NI NADIE PUEDE 
DESOBEDECER ESTAS LEYES. 
Ejemplo 6.27. Un disco de momento de inercia I1 está girando con 
velocidad angular inicial w1 alrededor de su eje de simetría sin 
rozamiento. Cae sobre otro disco con momento de inercia I2 
inicialmente en reposo sobre el mismo eje, como se muestra en la 
figura. Debido al rozamiento superficial, los dos discos finalmente 
adquieren una velocidad angular común wf. Expresar la ecuación 
que permite calcular esa velocidad angular común. 
 
 
Estrategia de resolución. Determinamos la velocidad angular final 
a partir del momento angular final que es igual al momento lineal 
inicial, ya que no existen fuerzas externas que actúan sobre el 
sistema, es decir, se conserva el momento angular o momento 
cinético. La velocidad angular del disco superior se reduce, en tanto 
que, la del inferior aumenta debido a la fuerza de rozamiento 
cinético que actúa entre las superficies. 
1. La velocidad angular final está relacionada con la inicial 
mediante el principio de conservación del momento lineal: 
 
𝐿%⃗ Y = 𝐿%⃗ Á 
 
																						𝐼�w� = (𝐼� + 𝐼0)w0 
2. Despejar la velocidad angular final: 
w0 =
𝐼�
𝐼� + 𝐼0
w0 
Ejemplo 6.28. Se deja caer una barra de 5[Kg] y 1[m] de longitud 
desde la posición que muestra la figura. Calcular el momento 
angular de la barra en el momento en que pasa por la posición más 
baja, sabiendo que en ese instante la velocidad del centro de masa 
es de 1.2[m/s] 
 
Estrategia de resolución. Elegiremos el punto A para calcular el 
momento angular o cinético, para lo cual debemos conocer IA que 
puede ser determinado mediante el teorema de Steiner. Mediante 
la relación entre vcm y w se puede calcular la velocidad en el punto 
más bajo y, a partir de ella, el momento angular. 
1. Plantear la ecuación del momento angular respecto a A. 
 
𝐿%⃗ A = 𝐼A𝜔%%⃗ A 
2. El momento de inercia de una barra con respecto al cm vale: