Taller Matimatica Computacional Practico 3 FUNCIONES

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Taller de Matemática Computacional - TUDAI/TUARI
Trabajo Práctico 3 - 2023
Relaciones funcionales y no funcionales
Ejercicios básicos
1. Determinar cuáles de las siguientes relaciones corresponden a funciones y cuáles no. Jus-
tificar la respuesta
a) La relación d : M → N que asigna a cada mes con el número de d́ıas que tiene, donde
M es el conjunto de todos los meses del calendario gregoriano y N es el conjunto de
los números naturales.
b) La relación f(x) = 2× x+ 5, para todo x ∈ R.
c) La relación g : M → H que asigna a cada perra con su cachorro, donde H es el
conjunto de todos los cachorros y M el conjunto de todas las madres.
d) La relación p : R → R que asigna a la altura de una persona su peso.
2. Dada la función f(x) =
√
x2
a) Completar el siguiente diagrama f : →
b) ¿Cuáles son el dominio y la imagen de esta función?
3. Sea f(x) = −2x3 + 5x2 − x+ 2. Calcular f(−2), f(1
4
), f(x2), f(x− h) y f(x)− f(h).
4. Dados los siguientes pares de funciones, calcular: f+g, f−g, f ·g, f
g
. Determinar dominio
e imagen de cada función resultante:
a) f(x) = −1 + x2, g(x) = 1 + x
b) f(x) = 1
x−2 , g(x) = x
2
c) f(x) = cos(x), g(x) = sin(x)
5. Decidir si existen las funciones f ◦ g y/o g ◦ f . En caso de existir, determinar la función
composición:
a) f(x) = x3, g(x) = x2
b) f(x) =
√
x, g(x) = 1 + x3
c) f(x) = 1
x
, g(x) = 3x
6. Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones corresponden a funciones inyectivas, sur-
yectivas o biyectivas. Nota: Todas las funciones están definidas de los reales hacia los
reales, (R → R).
a) f(x) = x− 10.
b) Toda función lineal con dominio en los reales.
c) f(x) = x2 − 2.
d) Toda función cuadrática con dominio en los reales.
e) f(x) = x+1
x−2
f ) f(x) = ex
7. Dadas las siguientes funciones definidas de los reales en los reales, (R → R), decidir cuáles
son inyectivas, suryectivas o biyectivas. Justificar en cada caso.
a) f(x) = 3x− 1
b) f(x) = 1
x2+1
c) f(x) =
√
x− 1
d) f(x) = ln(x− 2)
e) f(x) = 3 cos(2x) + 1
f ) f(x) = 8 sin(x− π
2
)
g) f(x) = 2x2 + 5x− 4
h) f(x) = 2ex − 1
8. Para cada una de las funciones anteriores, analizar dominio, ráıces y ordenada al origen
de manera anaĺıtica. Realizar su representación gráfica utilizando GeoGebra, y aproximar
su imagen, sus conjuntos de positividad y negatividad e intervalos de crecimiento y de
decrecimiento.
9. Dadas las siguientes funciones definidas a trozos, analizar dominio, ráıces y ordenada al
origen de manera anaĺıtica. Realizar su representación gráfica utilizando GeoGebra, y
aproximar su imagen, sus conjuntos de positividad y negatividad e intervalos de creci-
miento y de decrecimiento.
a) f(x) =
{
x2 − 4, x < 3
2x− 1, x ≥ 3 b) f(x) =
{
32(1
2
)x, x < 5√
x− 4, x ≥ 5
10. La familia de funciones parte entera agrupa a funciones de la forma f(x) : R → Z,
satisfaciendo la condición |x− f(x)| < 1. Estas funciones permiten, dado un número con
parte fraccionaria, obtener su parte entera. Existen al menos 4 funciones posibles:
Piso: (floor) a cada número real asigna el número entero más próximo por defecto,
es decir, el mayor número entero igual o menor que ese número real. Ej: a 2,2 le
corresponde 2, a 2,9 le corresponde 2, a −3,1 le corresponde −4. Se nota f(x) = ⌊x⌋.
Techo: (ceil) a cada número real asigna el número entero más próximo por exceso,
es decir, el mayor número entero igual o mayor que ese número real. Ej: a 2,2 le
corresponde 3, a 2,9 le corresponde 3, a −3,1 le corresponde −3. Se nota f(x) = ⌈x⌉.
Truncamiento: se ignora la parte decimal.
Redondeo: se asigna el entero más próximo según su parte decimal.
a) Grafique cada una de las funciones y compare sus gráficas.
b) Definir la función truncamiento a partir de la función piso.
c) Decir si cada una de las funciones son inyectivas, suryectivas o biyectivas. Justifique.
11. Dadas las siguientes funciones, analizar dominio, ráıces y ordenada al origen de manera
anaĺıtica. Realizar su representación gráfica utilizando GeoGebra, y aproximar su imagen,
sus conjuntos de positividad y negatividad e intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
a) f(x) = 2|x− 1|+ 3
b) f(x) = −3|x− 1|+ 3
c) f(x) = 3|x+ 1| − 2
Ejercicios de programación
Estos ejercicios son opcionales, no se toman en el examen, pero pueden ayudarlos a familiarizarse
un poco más con los conceptos de conjuntos, en el contexto de la programación.
1. Escribir una función en Python que, dada una dirección de correo electrónico, devuelva
un valor verdadero o falso indicando si es correcta o incorrecta.
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2. Escribir una función en Python que devuelva todos los números pares menores a un
número dado.
3. Escribir una función en Python que devuelva el número de letras de un nombre dado.
4. Escribir una función en Python que calcule el área de un ćırculo a partir de su radio.
5. Escribir una función en Python que calcule el diámetro de un ćırculo a partir de su radio.
6. Escribir una función en Python que calcule el peŕımetro de un ćırculo a partir de su radio.
7. Escribir una función en Python que, dada una dirección de correo electrónico, verifique
si la misma se encuentra dentro de un conjunto de direcciones ya cargadas.
Ejercicios adicionales para practicar
1. Sea f(x) = 3x2 − 4. Calcular f(−4), f(1
2
), f(x2), f(x− h) y f(x)− f(h).
2. Dadas las siguientes funciones, analizar dominio, ráıces y ordenada al origen de manera
anaĺıtica. Realizar su representación gráfica utilizando GeoGebra, y aproximar su imagen,
sus conjuntos de positividad y negatividad e intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
Nota: Todas las funciones están definidas de los reales en los reales, (R → R).
a) f(x) = |5− 1
2
x| − 2
b) f(x) = 6 sin(2x− π
2
) + 3
c) f(x) = tan(2x− π
2
) + 1
d) f(x) = 2x2 + 5x− 4
e) f(x) = x+3
x2−1
3. Decidir cuáles de las funciones anteriores son inyectivas, suryectivas o biyectivas. Justificar
en cada caso.
4. Dadas las siguientes funciones definidas a trozos, analizar dominio, ráıces y ordenada al
origen de manera anaĺıtica. Realizar su representación gráfica utilizando GeoGebra, y
aproximar su imagen, sus conjuntos de positividad y negatividad e intervalos de creci-
miento y de decrecimiento.
a) f(x) =
{
x2 − 2, x ≤ 0
x2 − 2x− 3, x > 0 b) f(x) =
{
4x
x−1 , x ≤ 0
4 cos(x+ π), x > 0
5. Dados los siguientes pares de funciones, calcular: f+g, f−g, f , g, f
g
. Determinar dominio
e imagen de cada función resultante:
a) f(x) = 1
x
, g(x) = x2 − 3x+ 1
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b) f(x) =
√
x, g(x) =
√
4− x
6. Decidir si existen las funciones f ◦ g y/o g ◦ f . En caso de existir, determinar la función
composición:
a) f(x) = 1
x−2 , g(x) = x
2 b) f(x) = ln(x), g(x) = sin(x)
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