Taller 2 (Solucionado) - Holmes C_

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Taller 4 b) Álgebra lineal
Prof: Holmes Chavarŕıa.
1. En los siguientes problemas construya una base ortonormal para el espacio
vectorial o subespacio dado.
a) En R2, empezando con los vectores base (1, 1), (−1, 1)
R//: (1/
√
2, 1/
√
2), (−1/
√
2, 1/
√
2)
b) π = {(x, y, z)|2x− y − z = 0}
R//: {(1/
√
5, 0, 2/
√
5), (2/
√
30, 5/
√
30,−1/
√
30)}
2. En los siguientes ejercicios determine el complemento ortogonal W⊥ de W y
proporcione una base de W⊥.
a) W =
{[
x
y
]
: 2x− y = 0
}
b) W =
{[
x
y
]
: 3x+ 4y = 0
}
c) W =

xy
z
 : x+ y − z = 0

d) W =

xy
z
 : 2x− y + 3z = 0

e) W =

xy
z
 : x = t, y = −t, z = 3t

3. Para los siguientes ejercicios, considere a W como el subespacio generado por
los vectores dados. Encuentre una base de W⊥.
a) w1 =
 21
−2
 , w2 =
 40
1

b) w1 =

1
−1
3
−2
 , w2 =

0
1
−2
1

4. En los siguientes ejercicios, encuentre la proyección ortogonal de v sobre el
subespacio W generado por los vectores ui.(Los vectores ui son ortogonales.)
a) v =
[
7
−4
]
, u1 =
[
1
1
]
b) v =
 31
−2
 , u1 =
 11
1
 , u2
 1−1
0

5. En los siguientes ejercicios determine la descomposición ortogonal de v con
respecto a W .
a) v =
[
2
−2
]
,W = gen
([
1
3
])
b) v =
 4−2
3
 ,W = gen
 12
1

c) v =
 4−2
3
 ,W = gen
 12
1
 ,
 1−1
1

1
6. En los siguientes problemas se dan un subespacio H y un vector v.
a) Encuentre proyHv ; b) Encuentre una base ortonormal para H
⊥ y c)Escriba
v como h+ p, en donde h ∈ H, p ∈ H⊥.
a) H = {(x, y) ∈ R2|ax+ by = 0}, v = (a, b)
R//: a) 0, b)
1√
a2 + b2
[
a
b
]
, c) v =
[
a
b
]
+
[
0
0
]
b) H = {(x, y, z) ∈ R3|3x− 2y + 6z = 0}, v = (−3, 1, 4)
R//: a) 1
49
−18675
118
, b) 1
7
 3−2
6
, c) v = 1
49
−18675
118
+ 13
49
 3−2
6

7. Sea a < b, sea V = C[a, b] el espacio de las funciones continuas sobre el
intervalo [a, b]; sean f, g en C[a, b] y definamos
〈f, g〉 :=
∫ b
a
f(t)g(t) dt
Muestre que V es un espacio con producto interior.
8. Para los siguientes ejercicios, considere u =
[
2
−1
]
, v =
[
3
4
]
. Calcule
(a) 〈u, v〉, (b) ‖u‖, (c) d(u, v)
a) 〈u, v〉 es el producto interno ponderado con w1 = 2, w2 = 3
b) Encuentre un vector ortogonal a u distinto de cero.
9. En los siguientes ejercicios, sean p(x) = 2− 3x+ x2 y q(x) = 1− 3x2. Calcule
(a) 〈p(x), q(x)〉, (b) ‖p(x)‖, (c) d(p(x), q(x))
a) 〈p(x), q(x)〉 es el producto interno definido en clase para el espacio P2.
Encuentre, además, un vector ortogonal a p(x) distinto de cero.
b) 〈p(x), q(x)〉 es el producto interno definido en clase sobre el espacio vec-
torial P2[0, 1]. Encuentre, además, un vector ortogonal a p(x) distinto de
cero.
10. En los siguientes ejercicios, determine cual de los 4 axiomas del producto
interno no se cumple. Proporcione un ejemplo espećıfico en cada caso.
a) Sean u =
[
u1
u2
]
, v =
[
v1
v2
]
en R2. Defina 〈u, v〉 = u1v1
b) Sean u =
[
u1
u2
]
, v =
[
v1
v2
]
en R2. Defina 〈u, v〉 = u1v2 + u2v1
c) En P2, defina 〈p(x), q(x)〉 = p(0)q(0)
d) En P2, defina 〈p(x), q(x)〉 = p(1)q(1)
11. En los siguientes ejercicios, suponga que u, v, w son vectores de un espacio con
producto interno tales que
〈u, v〉 = 1, 〈v, w〉 = 0, 〈u,w〉 = 5, ‖u‖ = 1, ‖v‖ =
√
3, ‖w‖ = 2
Evalúe las expresiones.
2
a) 〈u+ w, v − w〉.
b) 〈2v − w, 3u+ 2w〉.
c) ‖u+ v‖.
d) ‖2u− 3v + w‖.
e) Demuestre que u+ v = w.
12. En los siguientes ejercicios, aplique el proceso de Gram-Schmidt a la base B
para obtener una base ortogonal del espacio V con producto interno relativa
al producto interno dado.
a) V = P2, B = {1, 1 + x, 1 + x + x2} con el producto interno de los
polinomios.
b) V = P2[0, 1], B = {1, 1+x, 1+x+x2} con el producto interno del espacio
de las funciones continuas.
13. En los siguientes ejercicios, encuentre la recta de aproximación por mı́nimos
cuadrados de los puntos dados y calcule el correspondiente error de mı́nimos
cuadrados.
a) (1, 0), (2, 1), (3, 5)
b) (0, 4), (1, 1), (2, 0)
c) (−5, 3), (0, 3), (5, 2), (10, 0)
d) (−5,−1), (0, 1), (5, 2), (10, 4)
14. En los siguientes ejercicios, encuentre la parábola de aproximación por mı́nimos
cuadrados de los puntos dados.
a) (1, 1), (2,−2), (3, 3), (4, 4)
b) (1, 8), (2, 7), (3, 5), (4, 2)
c) (−2, 4), (−1, 7), (0, 3), (1, 0), (2,−1)
d) (−2, 0), (−1,−11), (0,−10), (1,−9), (2, 8)
15. Una pelota de tenis se suelta desde varias alturas y se mide la altura que
alcanza la pelota en el primer rebote. Use los datos de la siguiente tabla para
encontrar la aproximación lineal por mı́nimos cuadrados para la altura de
rebote b como una función lineal de la altura inicial h.
h (cm) 20 40 48 60 80 100
b (cm) 14 31 36 45 60 73
16. La siguiente tabla proporciona las esperanzas de vida para las personas nacidas
en Colombia en los años dados.
Año de nacimiento 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990
Esperanza de vida (años) 54 60 63 68 70 71 74 75
a) Determine la aproximación lineal por mı́nimos cuadrados para dichos
datos y úselos para predecir la esperanza de vida de alguien nacido en
2020.
b) Explique qué tan bueno es este modelo.
3
17. Cuando un objeto se lanza recto hacia arriba en el aire, la segunda ley de
Newton afirma que su altura s(t) en el tiempo t está dado por s(t) = s0 +
v0t+
1
2
gt2, donde v0 es su velocidad inicial y g es la constante de la aceleración
debida a la gravedad. Suponga que se toman las mediciones que se muestran
en la siguiente tabla.
Tiempo (s) 0.5 1 1.5 2 3
Altura (m) 11 17 21 23 18
a) Encuentre la aproximación cuadrática por mı́nimos cuadrados para dichos
datos.
b) Estime la altura a la cual se liberó el objeto, su velocidad inicial, y su
aceleración debida a la gravedad
c) Estime el tiempo que tarda en llegar al suelo.
18. La siguiente tabla muestra la población de Colombia por intervalos de 10 años
desde 1960.
Año Población (en millones)
1960 16
1970 22
1980 27
1990 34
2000 40
2010 46
a) Si supone un modelo de crecimiento exponencial de la forma p(t) = cekt,
donde p(t) es la población en el tiempo t, use mı́nimos cuadrados para
encontrar la tasa de crecimiento de la población k.
b) Use la ecuación para estimar la población colombiana en 2020.
19. Una muestra de 200 mg de polonio 210 radiactivo se observa mientras decae.
La siguiente tabla muestra la masa restante en varios momentos.
Tiempo (d́ıas) 0 30 60 90
Masa (mg) 200 172 148 128
Si supone un modelo de decaimiento exponencial, use mı́nimos cuadrados para
encontrar la vida media del polonio 210.
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