320858516-0series-Algebra-Completo

Vista previa del material en texto

Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO
 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
-Serie 1: 	Cálculo Proposicional 
 
1) Diga si las siguientes frases pueden considerarse proposiciones (es decir, si aceptan uno y sólo uno de los dos valores de verdad: falso o verdadero) 
 
a) El número 20 es divisible entre 4. 
b) La casa sobre la colina. 
c) El que te compres un carro implica que tienes dinero. 
d) La Historia como condición de la política a seguir. 
e) 5 ≥ 2 + 1. 
 
2) Decida cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones. 
 
a) Toda regla tiene sus excepciones. 
b) Algunos triángulos son equiláteros 
c) Algunos gobos son flecos. 
d) Todos los sociólogos creen en la vivienda de interés social. 
e) Cuando los siebalos regresan a Chinconcuac. 
f) ¿Estás estudiando? 
g) No te enojes. 
h) Cinco es un número y “cinco” es un numeral. 
i) Las manzanas son buenas y rojas y amarillas. 
 
3) Escriba en forma simbólica las siguientes proposiciones. 
 
a) 2 + 2 = 4 o la nieve es negra. 
b) Todo número real es racional o irracional. 
c) El enfermo padece la enfermedad E si y sólo si muestra los síntomas s, t y u. 
d) Si el enfermo no muestra los síntomas s, t ó u, entonces no es cierto que padece la enfermedad 
E. 
e) Mi perro come frutas y verduras. 
f) Un elemento pertenece a la unión de dos conjuntos si pertenece a alguno de ellos. 
 
4) Identifique el conectivo lógico utilizado en cada uno de los incisos, use letras para designar proposiciones simples y finalmente reescriba en símbolos las proposiciones. 
 
a) Los africanos no esquían en inverno. 
b) Laura es una excelente maestra o Tonatiuh es un buen amigo. 
c) La música es muy suave o la puerta está cerrada. 
d) Los gatitos no acostumbran llevar mitones. 
e) Él pregunta por su pipa y pregunta por su escudilla. 
f) Si Manuel es un buen jugador, entonces participará en el partido de la Facultad. 
g) Si Azucena canta entonces es feliz. 
h) Los alumnos mayores no están en la lista antes que los jóvenes. 
i) La materia preferida de Luis Alberto es Lógica Matemática. 
j) Si aquellas nubes se mueven en esa dirección entonces tendremos lluvia. 
k) Si la envidia fuera tiña, todos andaríamos tiñosos. 
l) Si los deseos fueran caballos, entonces los mendigos cabalgarían. 
m) Si x = 0, entonces x + y = 1 
n) x + y > 2 
o) x = 1 	 	ó 	y + z = 2 
p) y = 2 	 	y 	z = 10 	 
 
5) Simbolice las siguientes proposiciones sustituyéndolas por letras mayúsculas y conectivos lógicos. 
 
a) Necesito ponerme los lentes o esta luz es débil. 
b) Los patitos no se transforman en cisnes. 
c) Estos problemas no son fáciles para mí. 
d) Si suena el timbre, entonces es hora de empezar la clase. 
e) Si la clase de álgebra ya ha empezado entonces llego tarde. 
f) Una parte de la Luna no se ve desde la Tierra. 
g) Antonio irá al teatro o irá al cine. 
h) Las rosas son rojas y las violetas son azules. 
i) Si Brasil está en Sudamérica entonces está en el hemisferio sur. 
 
6) Indique en las siguientes proposiciones cuáles son los conectivos lógicos de cada proposición. 
 
a) Juan es el segundo y Tomás es el cuarto. 
b) Jaime es el ganador o Luis es el ganador. 
c) José no es el ganador. 
d) Si Tomás es el ganador entonces él tendrá la medalla. 
e) Si Tomás no es el ganador entonces debe colocarse en segundo lugar. 
f) Los Alpes son montañas jóvenes y los Apalaches son montañas viejas. 
g) Las arañas no son insectos. 
h) Si las arañas son insectos entonces han de tener seis patas. 
i) Si un material se caliente entonces se dilata. 
j) Muchos planetas son o demasiado cálidos para que vivan seres como nosotros o demasiado fríos para que vivan seres como nosotros. 
 
7) Simbolice las siguientes proposiciones matemáticas, sustituyendo las proposiciones simples involucradas por letras mayúsculas. Recuerde que ≠ es la negación de =. 
 
a) Si x = y entonces x = 2 	f) x + y = 2 y y = 1 
b) Si x ≠ 2 entonces y > 1 	g) x + y + z = 2 ó x + y = 10 
c) Si x ≠ 2 ó x = 3 entonces x = 1 	h) Si x ≠ y y y ≠ z entonces x > z 
d) Si x + y = 3 entonces y + x = 3 	i) Si x + y > z y z = 1, entonces x > z 
e) Si x – y = 2 entonces y – x ≠ 2 	j) Si x ≠ y, entonces x ≠ 1 y x ≠ 2 
 
 
8) Utilice paréntesis para agrupar las proposiciones y hacer explícita la ubicación del conectivo lógico usado en los siguientes enunciados. 
 
a) Juan está aquí y María ha salido. 
b) Si x + 1 = 10 entonces x = 9 
c) María no está aquí o Juan se ha ido. 
d) Si x = 1 ó y = 2 entonces z = 3 
e) Si x ≠ 1 y x + y = 2 entonces y = 2 
f) Si Pedro está en casa o Juan está en el patio, entonces Pepe El Toro es inocente. g) y = 0 y x = 0 
h) O y = 0 y x ≠ 0 ó z = 2 
i) No ocurre que 6 = 7 
j) No ocurre que si x + 0 = 10 entonces x = 5 
 
9) Escriba, en lenguaje común y corriente, proposiciones que tengan las formas indicadas en cada inciso. Suprima, cuando sea posible, los paréntesis al escribir las proposiciones. 
 
Álgebra Superior 	 	Lógica Matemática y Conjuntos 
 
 
Álgebra Superior 	 	Lógica Matemática y Conjuntos 
 
 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
 
a) O ( ) o ( ) 
b) ( ) o ( ) 
c) A la vez ( ) y ( ) 
d) ( ) y ( ) 
e) No ( ) 
f) Si ( ) entonces ( ) 
g) Si no ( ) entonces no ( ) 
h) No ocurre que ( ) 
i) ( ) si ( ) 
 
10) Sean: p: a es menor que b. q: a es menor o igual que b. r: b es menor que c. 
Traduzca las siguientes proposiciones: 
 
s: c es igual a c. t: a es menor que c. 
a) (p∧r) →t 
b) [(¬p∧q) ∧r]→t 
c) (q∧r) →t 
d) (t ∨ s) →[(r ∧ p) →t)] 
e) [(p∧r) ∧s]→[((¬p∧s) ∧r)∨(¬s∧t))] 
 	 
Serie 2: 	Tablas de verdad. LOGICA MATEMATICA 
 
1) Escriba las tablas de verdad para las siguientes proposiciones. Indique si las proposiciones son tautologías, contingencias o absurdos. 
 
a) (p∧q) →¬(p∨q) 
b) (p∨q) → (p ∧q) 
c) ¬(p∨q) →(p∧q) 
d) [(p →q) ∧(q →r)]↔ (p →r) 
e) (¬p∨q)∧(r → p) 
f) (p∧¬a) ↔ (a∧q) 
g) [(q∨¬r)∧ p]→[(p∨q)∧r] 
h) (p∧¬q) → (q ∧¬s) 
i) [p →(q∧r)]↔[(p →q)∧(p →r)] 
j) [(r ∧s)∨q] →](r ∧q)∨ (¬r ∨¬q)] 
k) [(r ∧¬s)∨(¬r ∨ s)]→[(q∨r)∧(¬q∧¬r)] 
 
2) Si p y r son verdaderas y q es falsa, diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o no. 
 
a) (p∧q) → p 	f) (p∨q) ↔¬(p∨r) 
b) (p∨q) →¬(q∧ p) 	g) (p∨¬q) →¬r 
c) (p → q) → q 	h) (p → r)∨(p →¬r) 
d) (p →q) ↔¬(q → p) 	i) (p∨¬r) →(¬p∧r) 
e) (p∨q) →r 
 
3) Construya las tablas de verdad de las 8 siguientes proposiciones y convénzase de que cada una de ellas es una tautología. 
 
1. A→(B → A) 
2. (A→ B) →[(A→ (B →C)) →(A→C)] 
3. A→(B →(A∧ B)) 
4. A∧ B → A ;	A∧ B → B 
5. (A→C) →[(B →C) → ((A∨ B) →C)] 
6. A→ A∨ B	;	B → A∨ B 
7. (A→ B) →[(A→¬B) →¬A)] 
8. ¬¬A→ A 
Equivalencias 
 
Sea T una tautología y Ø un absurdo. 
 
1) A→ B 	, 	¬B →¬A 	 	Ley de la Contrapuesta. 
2) A→ B 	, 	¬A∨B 	 	Equivalencia de la implicación. 3) ¬(A→ B), 	A∧¬B 	 	Negación de la implicación. 
4) (A∨ B)∨C , 	A∨(B∨C) 	 	Ley asociativa para la disyunción 
4’) (A∧ B)∧C , 	A∧(B∧C) 	Ley asociativa para la conjunción 
5) A∨ B 	, 	B∨ A 	 	Ley conmutativa para la disyunción 
5’) A∧ B 	, 	B∧ A 	 	Ley conmutativa para la conjunción 
6) A∧(B∨C) , 	(A∧ B)∨(A∧C) 	Ley distributiva de la conjunción 
6’) A∨(B∧C), 	(A∨ B) ∧(A∨C) 	Ley distributiva de la disyunción 
7) ¬(A∨ B) , 	¬B∧¬A 	 	Ley de De Morgan; negación de la disyunción 
7’) ¬(A∧ B) , 	¬B∨¬A 	 	Ley de De Morgan; negación de la conjunción 
8) A∨T 	, 	T 	 8’) A∧T 	, 	A 	 
 
 
9) A∨ Ø , A Leyes de idempotencia 9’) A∧ Ø , Ø 
10) ¬¬A 	, 	A 	 	 	Ley de la doble negación 
 
1) Escriba la contrapuesta de cada proposición. 
 
a) Si hoy es lunes, entonces mañana es martes. 
b) Si un triánguloes isósceles, entonces los ángulos de su base son iguales. 
c) x +y = z implica x < z 
 
2) Opcional: Verifique las equivalencias anteriores (1 – 10) mediante una tabla de verdad.
Serie 3: 	Argumentos, Validez y Deducciones. LÓGICA MATEMÁTICA. 
 
1) Buscar la validez de cada uno de los siguientes argumentos. Analice con unos y ceros. 
a) P →Q,	R → P,	Q → R ∴ P 
b) P∨Q,	Q → R, ¬R ∴ P 
c) P∧Q,	R∧ P ∴ P 
d) P∨Q,	P∨¬Q ∴ P 
e) P →¬Q,	Q∨ R, ¬R ∴¬P 
f) P∨Q,	Q → R,	Q∧S ∴ P 
g) P∨Q, ¬P∨¬Q ∴ P ↔Q 
h) P →Q,	Q → P,	R → P, ¬R →¬S ∴ S →Q 
i) P∧Q ∴ P∨Q 
j) P →¬Q,	Q → R,	R →¬S ∴¬S ∨¬P 
k) R → S,	S →¬R ∴¬R 
l) (P∨Q) →T,	R →¬P, ¬Q, R ∴ T 
 
2) Reescriba cada uno de los siguientes argumentos en forma simbólica usando las letras sugeridas. Después verifique la validez del argumento. Si el argumento es válido, construya una deducción. 
 
a) Si Juan está sano ( J ), entonces puede hacer lógica ( L ). Si no está sano, entonces no puede servir como jurando ( S: Servir como jurado ). Juan no puede hacer lógica. Por lo tanto, no puede servir como jurado. 
b) Si Enrique es un profesor ( P ), entonces es mexicano ( M ). Si no es mexicano, entonces es una persona fría ( F ). Por lo tanto, si es un profesor entonces no es una persona fría. 
c) Si hoy es viernes ( V ), entonces ayer fue jueves ( J ). Ayer fue jueves. Por lo tanto hoy es viernes. 
d) El tren está retrasado ( R ) si nieva ( N ). No está nevando. Por lo tanto, el tren no está retrasado. 
e) Si este carro está fabricado en Inglaterra ( I ), entonces las refacciones son difíciles de conseguir ( O ). El carro es caro ( C ) o sus refacciones no son difíciles de conseguir. Pero el carro no es caro. Por lo tanto, no fue fabricado en Inglaterra. 
f) A menos que Ramírez sea elegido ( R ) perderemos la base aérea ( B ). Ramírez será elegido si el tiene tu apoyo ( A ). Si nosotros conservamos la base aérea, entonces Ramírez será elegido. Salvaremos la base aérea. Por lo tanto, Ramírez tiene tu apoyo. 
g) Si el profesor imparte clase ( C ), el profesor asigna tarea ( T ). Si es día feriado ( F ), entonces no habrá clase. No habrá ambas (clase y tarea). Pero habrá una o la otra. Por lo tanto tendremos tarea. 
h) Mis vacaciones serán en junio ( J ) o en diciembre ( D ). No pueden ser en las dos ocasiones. Si son en diciembre, entonces habrá nieve ( N ). Seguramente no nevará en junio ( W ). Si las vacaciones no son en diciembre, entonces estará muy caluroso ( C ). El calor implica vacaciones en junio. Por lo tanto, cuando tome mis vacaciones estará caluroso o estará nevando. 
i) Juan y Pedro tienen la misma edad ( A ), o Juan es mayor que Pedro ( M ). Si ellos son de la misma edad, entonces María y Juan no son de la misma edad (N). Si Juan es mayor que Pedro, entonces Juan también es mayor que Susana (S). Por lo tanto, o María y Juan no son de la misma edad o Juan es mayor que Susana. 
j) Si Samuel está en la cárcel ( C ) entonces no causa problemas a su familia ( P ). Si no causa problemas, entonces está en el ejército ( E ). Si es “la oveja negra” de la familia ( O ), entonces causa problemas. Por lo tanto, no es “la oveja negra” de la familia o está en el ejército. 
k) Carlos ya recibió su salario ( C ), o Samuel está gastando más de lo que puede (S). Si Samuel está gastando más de lo que puede, entonces su cuenta de banco está vacía ( V ). Pero la cuenta de banco de Samuel está vacía. Por lo tanto, Carlos ya recibió su salario. 
l) María está casada ( M ) y Silvia está soltera ( S ). Si Arturo tiene trabajo ( T ), entonces María está casada. Por lo tanto, Arturo tiene trabajo. 
m) O la Lógica es difícil ( D ) o no le gusta a muchos estudiantes ( N ). Si las Matemáticas son fáciles ( F ), entonces la Lógica no es difícil. Por lo tanto, si a muchos estudiantes les gusta la Lógica, entonces las Matemáticas no son fáciles. 
 
3) Determine si son válidos los siguientes argumentos y escriba un enunciado del argumento en lenguaje común utilizando el significado de las proposiciones simples que aparece a la derecha del argumento. Si es válido el argumento, construya una deducción. 
 
a) E: Estudia 
E↔T
	T→D	T: Termina con ella 
 	 D→F
D: Busca distracciones fáciles 
∴E→F
	 	F: Acaba frustrado. 
 
	b) 	 
¬T →H
	H →¬F	T: Hay trabajo 
	F∨R	 
H: Hay hambre 
¬R
	∴T	F: Hay felicidad 
	 	R: Hay revolución 
 
 
 
c) 
	C∧P	 
P→(E∨L)
	 	C: Pongo el café 
E→¬C
	∴L	P: Me echan pleito 
	 	E: Me enojo 
 
L: Lloro 
d) 
	(L∨H) →¬C	L: Me saco la lotería 
B→¬H
	 	H: Heredo 
B∧¬L
	∴C	C: Me caso 
 
B: Ando de borracho 
 
e) 
	D→(¬T→P)	D: Me divorcio 
¬E∨D
	 	T: Consigo trabajo 
¬T
	∴E→P	P: Pierdo la casa 
 
E: Engordo 
f) 
	¬L→¬R	 
	L	 
		L: Sale la llave 
∴R
R: Está puesta la reversa 
 
g) 
	C →T	 	 
B→ D
	(D∧T) →Z	 	C: Voy a clase a las 7:00 am 
¬Z
		T: Me tengo que levantar temprano 
∴¬C∨¬B
B: Voy a bailar 	Z: Ando “zombie” 
D: Me desvelo 
 
	h) 	 
L
	¬R	L: Llueve 
 
(S∧L) →R
R: Caen rayos 
∴¬L→R
S: El sol brilla 
i) 
	E→H	 
E∧¬H 
	∴P	E: El elefante abre el refrigerador 
	 	H: Deja huellas en la mantequilla 
P: El maestro se la rifa. 
j) 
	M →A	M: Soy moderna 
A→¬D
	 	A: Me admiran 
J →D
	∴J →¬M	D: Me desmayo 
 
J: Juego mucho. 
k) 
	¬L→T	L: Llueve 
T →P 
	∴P∨L	T: Llego temprano 
	 	P: Acabo pronto 
l) 
	L→M	 
	M	 	 
		 
∴L
L: Ayer fue lunes 	M: Hoy es martes 
m) Para el siguiente argumento, cada subinciso es una conclusión diferente. 
 
(¬C∧F) →¬H
	¬N → (H ∧F)	 
¬W →(A→¬C)
______________________ 
∴ 
 
1) (¬W ∧A) →N
2) (A∧¬C) →H
3) N → (¬H∨¬F)	 
4) A→[¬N → (W ∧C)]
5) A→[¬N → (W∨¬C)]
 
 
 
 
 
 	 
A: Se activa la alarma 
C: Hay corriente eléctrica 
F: La caldera está fría 
N: Se produce NH3 
W: Hay suficiente agua 
H: Hay humo 
Serie 4: 	 Cuantificadores. LOGICA MATEMATICA 
 
1) Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados (Aquí el conjunto universal es el de los números reales) 
 
a) ∀ x, x2 = x 	d) ∀ x, x−3< x 
b) ∃ x, 2x = x 	e) ∃x, x2 − 2x+ 5 = 0 
c) ∃x, x2 +3x− 2 = 0 	f) ∀ x, 2x+3x = 5x 
 
2) Negar los enunciados del problema 1. 
 
3) Sea {1, 2, 3, 4} el conjunto universal. Determinar el valor de verdad de cada enunciado. 
 
a) ∀x, x+3 < 6 	c) ∀x, x2 −10 ≤ 8 
b) ∃x, x+3 < 6 	d) ∃x, 2x2 +x=15
 
4) Negar los enunciados del problema 3. 
 
5) Negar los enunciados. 
 
a) ∀x p(x) ∧ ∃x q(x) 	c) ∀x ¬p(x) ∨ ∀x q(x)
b) ∃y p(y) → ∀y ¬q(y) 
 
6) Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica y negarlos, tanto de forma simbólica como en texto. 
 
a) Si el profesor está ausente, algunos estudiantes no terminan su tarea. 
b) Todos los estudiantes terminaron su tarea y el profesor está presente. 
c) Algunos estudiantes no terminaron su tarea o el maestro está ausente. 
 
7) Dar un contraejemplo para cada enunciado falso. Aquí {3, 5, 7, 9} es el conjunto universal. 
 
a) ∀x, x+3 ≥ 7 	b) ∀x, x es impar 
	 	d) ∀x, x =x
c) ∀x, x es primo 
8) Negar los enunciados del problema 7. 
 
9) Sea {1, 2, 3} el conjunto universal. Determinar el valor de verdad de cada enunciado. 
 
	a) ∀x∀y, x2 + 2y<10 
b) ∃x∀y, x2 + 2y<10 
 
10) Negar los enunciados del problema 9. 
 
11) Negar los siguientes enunciados. 
 
	c) ∀x∃y, x2 + 2y<10 
d) ∃x∃y, x2 + 2y<10
	a) ∀x ∃y ∀z p(x, y,z) 
b) ∃x ∀y (p(x)∨¬q(y)) 
	c) ∀x ∃y (p(x, y) → q(y)) 
d) ∃x ∃y (p(x)∧q(y))
 
12) Sea {1, 2, 3, 4, 5} el conjunto universal. Hallar el conjunto de validez de las siguientes funciones lógicas. 
 
a) ∃x, 2x+ y < 7 	c) ∀x, 2x+ y < 7 
b) ∃y, 2x+ y < 7 	d) ∀y, 2x+ y < 7
 
 	 
Serie 5: 	Conjuntos 
 
1) Escribir en notación conjuntista. 
 
a) R es superconjunto de T. 	e) z no pertenece a A. 
b) x es elemento de Y. 	f) B está incluido en F. 
c) M no es subconjunto de S. 	g) Conjunto vacío 
d) El conjunto potencia de W. 	h) R pertenece a Ψ 
 
2) Enunciar verbalmente. 
 
a) A = { x | x vive en París} 	d) 	D = { x | x es ciudadano 
b) B = { x | x habla danés} 	francés} 
c) C = { x | x es mayor de 21 años} 
 
3) Escribir en forma tabular. 
 
a) P = { x | x2 – x – 2 = 0} 
b) Q = { x | x es una letra de la palabra «calcular»} 
c) R = { x | x2 =9, x – 3 = 5} 
d) S = { x | x es una vocal} 
e) T = { x | x es una cifra delnúmero 2324} 
 
4) Si E = {1, 0}, indicar entre las afirmaciones siguientes cuáles son correctas o incorrectas. 
 
a) {0}∈E 	d) 0∈E 
b) Ø ∈E 	e) 0⊂ E 
c) {0}⊂E 
 
Subconjuntos 
 
1) Si B = {0, 1, 2}, hallar todos los subconjuntos de B 
 
2) Si F = {0, {1, 2}}, hallar todos los subconjuntos de F 
 
	3) Sean 
	
	A = {2, 3, 4} 
B = { x | x2 =4, x es positivo} 
	C = { x | x2 – 6x + 8 = 0} 
D = { x | x es par} 
Completar las siguientes afirmaciones insertando ⊂, ⊃ o «nc» (no comparables) entre cada par de conjuntos. 
a) A … B 	d) A … D 
b) A … C 	e) B … D 
c) B … C 	f) C …D 
 
4) Sean A = {1, 2, … , 8 , 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {3, 4, 5}, E = {3, 5}. ¿Cuáles conjuntos pueden ser iguales a M dadas las condiciones siguientes? 
 
a) M y B son disjuntos 	c) M ⊂ A y M ⊄ C 
b) M ⊂ D y X ⊄ B 	d) M ⊂ C y M ⊄ A 
 
5) Sea el conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f, g} y sean A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C = {b, e, f, g}. Hallar: 
 
a) A∪C 	g) (A−C)C 
b) B∩A 	h) CC ∩A 
c) C −B 	C
d) BC 	i) (A−B) 
e) AC −B 	j) (A∩AC)C
f) BC ∪C 
 
6) En los diagramas de Venn que siguen, señalar 
a) V ∩W 
b) WC 
c) W −V 
d) VC ∪W 
e) V ∩WC 
f) VC −WC 
	Álgebra Superior 	Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes 
 
 
7) Dibujar un diagrama de Venn con tres conjuntos A, B y C de modo que A, B y C tengan las siguientes características: 
 
a) A⊂B, C⊂B, A∩C= Ø 
b) A⊂B, C⊄B, A∩C≠ Ø 
c) A⊂C, A≠C, B∩C= Ø 
d) A⊂ (B∩C), B⊂C, C≠B, A≠C 
 
8) De las siguientes afirmaciones, indicar cuáles son ciertas y cuáles son falsas 
a) Ø ∈ Ø 
b) Ø ⊂ Ø 
c) Ø ∈ {Ø} 
d) Ø ⊂ {Ø} 
 
9) Demuestre que si A, B y C son conjuntos, entonces: 
Nota: Si va a utilizar tablas de verdad, cambie: 
· los conjuntos por proposiciones, 
· por →, 
· complemento por negación, 
· por 
· por , 
· igualdad por 	, 
· el conjunto vacío por absurdo, 
· el conjunto universal por tautología. 
 
1) A ⊂ B ⇔ BC⊂ AC 	6) 	A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C 
2) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A 	7) 	A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C ) 
3) A ⊂ B ⇔ A U B = B 	8) 	( AC )C = A 
4) A ⊂ A 	9) ∅C = X 
5) A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇔ A = B 	10) 	A - A = ∅ 
 
	Facultad de Química UNAM 	16 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
Álgebra Superior 	Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes 
 
11) A - ∅ = A 
12) A - B = A ∩ BC 
13) A U ∅ = A 
14) A U X = X 
15) A U A = A 
16) A U AC = X 
17) ( A U B )C = AC∩ BC 
18) ∅⊂ A 
19) A ∩ B ⊂ A , 	A ∩ B ⊂ B 
20) A ⊂ A U B , 	B ⊂ A U B 
21) A - ( B U C ) = ( A - B ) ∩ ( A - C ) 22) 	A - ( B ∩ C ) = ( A - B ) U ( A - C ) 
23) A - B = ∅⇔ A ⊂ B 
24) A - B = B - A ⇔ A = B 
25) A - B = A ⇔ A ∩ B = ∅ 
26) A - B = A ⇔ A ⊂ BC 
 
 
 
27) A - B = A ⇔ B ⊂ AC 
28) (A U B ) ∩ BC = A ⇔ A ∩ B = ∅ 29) 	A U B = A ∩ B ⇔ A = B 
30) (A ∩ BC ) U ( AC∩ B ) = A U B ⇔ A ∩ B = ∅ 
31) Defina A + B = ( A - B ) U ( B - A ) 
32) Demuestre:A + B = ( A U B ) ( A ∩ B ) 
33) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 
34) A + B = B + A 
35) A + ∅ = A 
36) A + A = ∅ 37) 	A U B = ( A ∩ BC )U ( AC∩ B ) U ( A
∩ B ) 
38) ( A ∩ BC ) ∩ ( A C∩ B ) = ∅ 
39) (A∩ BC ) ∩ ( A ∩ B ) = ∅ 
40) ( AC U B ) ∩ ( A ∩ BC ) = ∅ 
Facultad de Química UNAM 	17 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
	Álgebra Superior 	Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes 
 
Serie 6: Ecuaciones lineales 
Para los ejercicios 1 al 4, considere las siguientes ecuaciones 
a) 3x – 5 – x = 2x + 2y + 5 
b) 2x + 3y – x = x + 3y – 1 
c) 1 + x + y + z = 1 
d) x + y + z = 1 + y 
e) x + y + z = 1 + y − w + t 
f) xy + z = x − y 
 
1) Indique si la ecuación es lineal o no lineal. Si es lineal, indique si es homogénea o no homogénea. 
 
2) Para cada sistema lineal, escriba sus coeficientes, su término constante y su ecuación homogénea asociada. 
 
3) Para cada sistema lineal, ordene sus variables y diga cuál es la variable delantera y cuáles son libres. 
 
4) Para cada sistema lineal determine, si es posible, la solución general y dos soluciones particulares. 
 
5) ¿Cuáles de los puntos P(2, -3, 0), Q(2, -3, 1), R(1/2, -1/2, -2)y S(1/2, 1/2, -2) están en el plano definido por la ecuación x – y + z = -2? 
 
6) ¿Cuáles de los puntos P(1, -1, 1), Q(-2, 5, 3), R(1/2, -1/7, 10)y S(0, 0, 0) están en el plano definido por la ecuación 2x – 7y + z = 10? 
 
7) Encuentre todos los valores de a, tales que cada una de las siguientes ecuaciones tenga: 
i) 	Exactamente una solución ii) 	Soluciones infinitas 
	iii) 	Ninguna solución 
a) a2x – 2 = 4x + a 	c) (a2 – 4)x = 0 
b) (a2 – 4)x = 3 	d) ax - a2y = 3a 
 	 
 
	Facultad de Química UNAM 	18 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
8) Encuentre todos los valores reales de a, tales que cada una de las ecuaciones tenga: 
i) Infinitas soluciones ii) Ninguna solución 
	a) a2(x + y) – x – y – a + 1 = 0 	b) a(x + y) – x – y – a + 1 = 0 
 	 
Serie 7: Sistemas lineales 
 
1) Replantee el sistema lineal en la forma canónica. 
2x +4z + 1 = 0 
2z +2w – 2 = x -2x –z + 3w = -3 y + z + t = w + 4 
Determine: 
a) La matriz de coeficientes 
b) El vector de constantes 
c) La matriz aumentada 
d) El sistema homogéneo asociado 
 
2) Escriba la matriz aumentada del sistema y resuélvalo por el método de escalón reducido. 
 
	x1 + 2x2 + x3 	 	+ x5 	 	= -1 
	-2x3 	 	 	+ 4x6 	= 2 
	4x4 – 2x5 	 	= 0 
 
3) Dada las siguientes matrices, escríbalas en forma de sistema de ecuaciones y exprese su solución, única o general, en su caso. 
 
Ejemplo: Se tiene la matriz homogénea. A. Se usará el símbolo para indicar que una matriz es equivalente a otra, y se pretende darle la forma de escalón reducido (ceros arriba y debajo de la diagonal). 
 
a) b	c	d	e	f	 a	b	c	d	e	f
	6	0	0	0	0 −1 1	0	0	0	0 −1/6	1	0	0	0	0 −1/6 
		 			
	0	1	0	0	0 −4 0	1	0	0	0 −4 	0	1	0	0	0 −24/6
 A =0	0	2	0	0 −3≈ 0	0	1	0	0 −3/2 ≈ 0	0	1	0	0 −9/6  
	0	0	0	1	0 −2 0	0	0	1	0 −2 	0	0	0	1	0 −12/6
	0	0	0	0	1 −1 0	0	0	0	1 −1 	0	0	0	0	1 −6/6 
Hay 5 variables delanteras, y una variable libre f , ésta se convierte en un parámetro, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Se bautiza f como r. Se despejan las variables delanteras a, b, c, d, e en función de r. 
a = r b = r
c = r
 
d = r
e = r f = r
	 a 	 1 
	 		
	b 	24

Finalmente, podemos expresar la solución general del sistema. x = c = r  9  r ∈ℜ 
d  6 12
	 e 	 6 
	 f 	 6 
 
	1 0 01 	 

a) 0 1 0−4 
	0 0 17 	10 04 10 −23 00 −1172 

e) 
	 	0 0 0 0 1 −28
2 0 0π 	 
b) 0 3 0−2 
	0 0 4−e	f) 03 −02 02 −53 00 −110−14 

 	0 0 0 0 5	11 
	1	0 − 2	12	 
c) 0	1	3 − 24 
7 4 0 0 −1 33
 	
g) 0 0 1 0 −2 81 
	3	0 −1	57 	0 0 0 3 4 −72
d) 0	2	2 −311 
6 0 0 0 0 −1
		
0 1 0 0 0 −4
h) 0 0 2 0 0 −3 
0 0 0 1 0 −2 0 0 0 0 1 −1
 
4) Sin resolver realmente los sistemas, demuestre que son equivalentes. 
 
	 x – y + z = 1 	 	4x – 4 y + 4z = 4 
	 2x + 2y + z = 1 	 	2x + 2y - 3z = -2 
	-3x + 4y + 4z = -1 	 	 5y + 2z = -2 
 
5) Encuentre la intersección de las rectas: 
 
a) y + x = 1 y y – 2x = ½ 	b) 2y – 3x = 5 y y + 2x = 50 
 
6) Determine los sistemas consistentes y calcule sus soluciones generales. 
 
	−x + y −z =1	 
a) −2x + y +3z =10 
−x +3y −2z =−17
	3x	+ y +2z =3
	e) − 2x −3y	=14 
 
−3x +7y −2z =1
	y +2z =6	 
b) 3x −3y −3z =−15 
x + 3y −3z = 2
x +3y +2z =11	f) 	 
−3x + y + z = 6
 
 
3y +z =−9
1
c) 3x + y	=−8 	3x + y + z =5 3
1
2
1
3
1
	3x +7y +2z =−26	g) 1	5
− x − y − z =−
 	3	3
 
3x + y +3z =15
d) −x +3y − z =−5 
2x +4y +2z =9
Álgebra Superior 	Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes 
 
Álgebra Superior 	Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes 
 
Álgebra Superior 	Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes 
 
 
Facultad de Química UNAM 	19 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Facultad de Química UNAM 	19 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Facultad de Química UNAM 	19 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
3y + z −w =3
	h) 	x + y−2z	=6 
j) 
−2x + y +2z −w =9
 
 
x +3y + z − w =0
i) 3x + y +3z =−2 2x +6y +2z −2w =2
k) 
 
 
7) Despeje θ del sistema. Entiéndase, resuelva para sen después obtenga la función inversa. 
 
x + y =1 y +z =1
 
z +w =1 x +w =1
x + y =1 y + z =1
 z + w =1 y + w =1
 como en un sistema de ecuaciones y 
2senθ +( 2)tanθ = 2 2
4senθ −(3 2)tanθ =− 2 
Para que se le facilite puede usar cualquier método para resolver sistemas de ecuaciones de solución única, matrices, sustitución , igualación, cramer etc.se le presenta un ejemplo senθ −4cosθ = 4
 
4senθ −4cosθ = 4
De ambas ecuaciones se despeja el término senθ 
senθ= 4+4cosθ senθ=(4)(1+ cosθ) ⇒ senθ=1+ cosθ 
Se iguala 4+4cosθ=1+cosθ de donde, cosθ=−1 asì que θ= arccos(−1) 
El único valor que satisface esta igualdad es θ = π. Se comprueba en el sistema original: senπ −4cosπ = 0−4(−1) = 4
 
4senπ −4cosπ = 4(0)−4(−1) = 4
Forma de escalón 
En los ejercicios 1 a 5, clasifique cada matriz en una de las siguientes categorías. 
· Forma de escalón, pero no forma de escalón reducido. 
· Forma de escalón reducido. 
· Diferente de la forma de escalón. 
 
		0	0	2 −1
a) 0	1	d) 0	1  
 
	1	4	0	5	0	8
	1	0	e) 	00	00	10	40	01	42 

b) 0	0	1	5	0	5	0
	 	0	0	1	11	0
	f) 	0	0	0	0	1 
	0	1	0	0	0	0	0
c) 1	0

 
2) Reduzca las matrices siguientes a la forma de escalón. 
 
	
	1 g) 0
0
3 h) 7
	9
0
0
4
5
	0 5
1 3
0	0
7
12 
	0
0
1
	8
17	 
13
		0 −1 0 −1	−1

	a) 2 0 1 1  	b)  0
	0 1 1 1 	 1

	 	 0
3) Determine la forma de escalón reducido de cada matriz. 
 
	0
1
1
0
	−1
1  
1 
 −1
	
	
	
	
		0	0	0	0	0	−1
a) 1 −1	1 −1	0 	c)  5
	0	0	1	0	1	 4
		
	0	0	0 −1	0	 
 
−1
	0	0	0	0	0	d)  54
b) 1 −1	0 −1	0 

	−6
30 24
−4
20
16
	0 1
1 −6 1 −5
0 −5
1 29
1 24
	0
0
1
0
0
1
	−2
13 15
−6
34 
30
	
	
	0	0	1	0	1	 
		
	1	0	0 −1	0
 
 0 −1 −1 1 0
 0 −1 −1 1 0 e) −1 0 1 0 1
		
 0 0 −1 0 1  0 0 1 0 0
 
4) Resuelva los sistemas de ecuaciones 
 
x	+ z + w =−5 x	− z + w =−1 a) 	 x + y + z + w =−3
	2x	+ 2z	=−2
 
	x1	−8x2	+7x4	=9
b) −2x1 +16x2 −x3 −20x4	=−24 
2x1 −16x2 +6x3 +50x4 +x5 =51
 
x + y + z + w −t =1 y	=−1
c) −2z − w +t =−3 
w −3t =−1 t	=1
 
x −t =−2 y − z +t =5
d) − y + z −t =−5 y − z +t =5
	− y	− w	=−1
 
x +2y +3z +4w =0
	e) 	2x +2y +3z +4w =0 
3x +2y +3z +4w =0
 
	x + y	=a
f) x − y	=b x + y +z =c
 
	x + y	=a
g) x − y =b x − y +z =0
 
 
5) Demuestre que los valores de λ, para los cuales el sistema tiene soluciones no triviales, deben satisfacer la ecuación cuadrática λ2 −(a+d)λ+ad−bc= 0 
 
	(a −λ)x	+by	= 0
 cx	+ (d −λ)y = 0
 
6) Resuelva los sistemas con las matrices aumentadas dadas. 
 
	1	3	4	7	2	0	2	2	5	2
	3	3	0	6	12	2	2	1	3	1
	a) 	 b) 	 
	3	2	1	6	13	1	0	1	0	2
	2	2	1	2	3	1	2	2	3	1
 
7) Resuelva el sistema homogéneo de cada matriz de coeficientes 
 
	1	1 2⁄	1 3⁄
	1	2	3
	a) 	2	2	3 b) 1 2⁄	1 3⁄	1 4⁄	 
	5	5	5	1 3⁄	1 4⁄	1 5⁄
 
8) Calcule los valores de a tales que el sistema cuya matriz aumentada se indica tenga: 
 
i) 	Exactamente una solución ii) 	Soluciones infinitas 
	iii) 	Ninguna solución 
 
	2	3	4	2	3	4
 a) 	 b) 	 
	4	8	4	6
 
 c) 2	3	4 d) 2	3	4 
	6	2	3
Serie 8: Balanceo Algebraico de Ecuaciones químicas 
Balancee las siguientes ecuaciones que representan reacciones químicas usando sistemas de ecuaciones. 
Se presenta la solución trabajada por el método largo, sin embargo, con objeto de no ocupar demasiado espacio, no se proporciona ninguna de las matrices (ni la original del sistema ni la escalón reducido), tampoco el conjunto solución o la solución general. Sólo se indica el número total de variables, variables libres (parámetros) y en los casos en que ocurren, las desigualdades que deben ser resueltas para obtener un balanceo de la reacción química en cuestión. En todos los casos, se da sólo una solución particular, un ejemplo de asignación de valores a los parámetros para el balanceo. Se recomienda al estudiante en los casos de más de un parámetro, asignar otros valores y obtener otros balanceos. 
A pesar de que a este titular no le gusta, el uso del método largo aquí se debe a que el método corto es difícil para el grueso de los alumnos, se recomienda fuertemente mejorar su método largo ya que el corto no es apto para todos. 
Se ordenan por grado de dificultad en su resolución, de 1,2, 3 y 4 parámetros, y de 2 y 3 parámetros que incluyen resolución de desigualdades para obtener una solución particular 
adecuada 
1. P2I4+ P4+ H2O → PH4I + H3PO4 
2. KOH + H2SO4+H2O → KHSO4 
3. FeI2 + HIO3 + HCl → FeCl3 + I2 + H2O 
4. Na2Cr2O7 + NaI + HCl → CrCl3 + I2 + H2O + NaCl 
5. HCl + KMnO4 → Cl2 + KCl + MnCl2 + H2O 
6. CaF2 + H2SO4 → CaSO4 + HF 
7. FeS + O2 →Fe2O3 +SO2 
8. K2Cr2O7 + H2O + S→ SO2 + KOH + Cr2O3 
9. CaC2O4 + KMnO4 + H2SO4 	 → CaSO4 + MnSO4 + K2SO4 + CO2 + H2O 
10. CuSCN + KIO3 + HCl + O2 → 	CuSO4 + ICN + KCl + H2O 
11. PbCrO4 + KI + HCl → PbCl2 + Crl3 + KCl + I2 + H2O 
12. Cl2 + KOH → KCl + KClO3 + H2O 
13. Ba(OH)2 + HCl + H2O → BaCl2 
14. K2Cr2O7 + CH3CH2OH + H2SO4 →Cr2(SO4)3 + CH3COOH + K2SO4 + H2O 
15. KCLO3 + HCl → KCl + H2O + Cl2 + ClO2 
16. C + O2 → CO + CO2 
17. C2H4 + HCl → C2H6 + C5H5Cl + C2H4Cl 
18. [Cr(N2H4CO)6]4[Cr(CN)6]3 + KMnO4 + H2SO4 → K2Cr2O7 + MnSO4 + CO2 + 
KNO3 + K2SO4 + H2O 
19. C3H8 + O2 → H2O + C + CO + CO2 
20. Zn + HNO3 → Zn(NO3)2 + H2O + H2 + NH4NO3 + Zn(NH2)2 + NO2 + NO 
21. As2S5 + HNO3 → H3AsO4 + H2SO4 + H2O + NO + NO2 
22. NaBrO + H2O2 → NaBr + O2 + H2O 
23. HNO3 + Cu + Ag → CuNO3 + AgNO3 + NO + H2O 
24. Cu + HNO3 → Cu(NO3)2 + NO2 + NO+ H2O 
25. KMnO4 + H2SO4 + H2O2 → MnSO4 + K2SO4 + H2O + O2 
26. 	CH3CH2CH3 + O2 → C + CO2 + CO + H2O 
27. 	PbS + Cu2 S + HNO3 → Cu(NO3)2 +Pb(NO3)2 +NO +NO2 + H2O + S SOLUCIONES: 
1. 	P2I4+ P4+ H2O → PH4I + H3PO4 
Solución: 5 variables, 1 libre, 1 parámetro, si 1, , (Coeficientes, 10, 13, 128, 40,32) Donde coeficientes se refiere a una solución particular, y se da un juego de valores para los coeficientes de los compuestos que balancean la reacción como está escrita. 
2. 	KOH + H2SO4 + H2O → KHSO4 
Solución: 4 variables, 1 libre, 1 parámetro, si 1, , (Coeficientes, 1,1,−1,1) quedan el signo negativo del tercer coeficiente nos indica que el agua va del otro lado (es producto en vez de reactivo) 
3. FeI2 + HIO3 + HCl → FeCl3 + I2 + H2O 
Solución: 6 variables, 1 libre, 1 parámetro, si 1 (coeficientes: 10, 6, 30, 10, 13, 18) 
4. Na2Cr2O7 + NaI + HCl → CrCl3 + I2 + H2O + NaCl 
Solución. 7 variables, 1 libre, 1 parámetro, si 1 (coeficientes: 1,6, 14, 2, 3, 7, 8) 
5. HCl + KMnO4 → Cl2 + KCl + MnCl2 + H2O 
Solución: 6 variables, 1 libre, 1 parámetro, 1 (Coeficientes 16, 2 , 5, 2, 2, 8) 
6. CaF2 + H2SO4 → CaSO4 + HF 
Solución: 4 variables, 1 libre, 1 parámetro, si 1, (Coeficientes 1, 1, 1, 2) 
7. FeS + O2 →Fe2O3 +SO2 
Solución: 4 variables, 1 libre, 1 parámetro, si 1, (Coeficientes 4,7,2,4) 
8. K2Cr2O7 + H2O + S→ SO2 + KOH + Cr2O3 
Solución: 6 variables, 1 libre, 1 parámetro, si 1, (Coeficientes 2, 2, 3, 3, 4, 2) 
9. CaC2O4 + KMnO4 + H2SO4 	 → CaSO4 + MnSO4 + K2SO4 + CO2 + H2O 
Solución: 8 variables, 1 libre, 1 parámetro, si 1, (Coeficientes 5, 2, 8, 5, 2, 1, 10, 8) 
10. CuSCN + KIO3 + HCl + O2 → 	CuSO4 + ICN + KCl + H2O 
Solución: 8 variables, 1 libre, 1 parámetro, si 1, (Coeficientes 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 2) 
11. PbCrO4 + KI + HCl → PbCl2 + Crl3 + KCl + I2 + H2O 
Solución 8 variables, 1 libre, 1 parámetro si 1, (Coeficientes 2, 12, 16, 2, 2, 12, 3, 8) 
12. Cl2 + KOH → KCl + KClO3 + H2O 
Solución 5 variables, 1 libre, 1 parámetro si 1, (Coeficientes 3, 6, 5, 1, 3 ) 
13. 	Ba(OH)2 + HCl + H2O → BaCl2 
Solución: El agua va del otro lado. Si no lo nota inmediatamente, obtiene 4variables, 1 libre, 1 parámetro si 1,(Coeficientes 1, 2, −2, 1) el signo del tercer coeficiente le indica que el agua va como producto. 
14. K2Cr2O7 + CH3CH2OH + H2SO4 →Cr2(SO4)3 + CH3COOH + K2SO4 + H2O 
Solución: 7 variables, 1 libre, 1 parámetro si 1, (Coeficientes 1, 3, 4, 1, 3, 1, 7 ) 
15. KCLO3 + HCl → KCl + H2O + Cl2 + ClO2 
Solución: 6 variables, 2 libres, 2 parámetros, si 1 (Coeficientes : 2, 4, 2, 2, 1, 2) 
16. C + O2 → CO + CO2 
Solución: 4 variables, 2 libres, 2 parámetros, 1 (Coeficientes 3,2, 2, 1) 
17. C2H4 + HCl → C2H6 + C5H5Cl + C2H4Cl 
Solución: 5 variables, 2 libres, 2 parámetros, 1 (Coeficientes 14, 4, 7, 2, 2) 
18. [Cr(N2H4CO)6]4[Cr(CN)6]3 + KMnO4 + H2SO4 → K2Cr2O7 + MnSO4 + CO2 + 
KNO3 + K2SO4 + H2O 
Solución: 9 variables, 1 libre, 1 parámetro (1879 en la diagonal de la matriz escalón reducido) si 1 ( Coeficientes 10, 1176, 1399, 35, 1176, 420, 660, 223, 1879) ¡UFFF! 
19. 	C3H8 + O2 → H2O + C + CO + CO2 
	Solución: 5 variables, 3 libres, 3 parámetros, si 	1, , (Coeficientes 4, 14, 16, 
3, 6, 3) 
20. Zn + HNO3 → Zn(NO3)2 + H2O + H2 + NH4NO3 + Zn(NH2)2 + NO2 + NO Solución: 9 variables, 4 libres, 4 parámetros, si 1, , (Coeficientes, 
17,40,16,15,1,1,1,2,2) 
21. 	As2S5 + HNO3 → H3AsO4 + H2SO4 + H2O + NO + NO2 
Solución: 7 variables, 2 libres, 2 parámetros, se obtiene la desigualdad 4 12 0 es decir 3 se resuelve si 1, , (Coeficientes 2, 56, 4, 10, 12,12, 44) 
22. 	NaBrO + H2O2 → NaBr + O2 + H2O 
Solución: Ya está balanceada. Si no se da cuenta desde el principio, obtiene 5 variables, 2 libres, 2 parámetros, debe resolver las desigualdades 2 0, 0 y 
	0 se obtiene 	2 	 0 	 0 si 1 (coeficientes 1,1,1,1,1) 
23. 	HNO3 + Cu + Ag → CuNO3 + AgNO3 + NO + H2O 
Solución: 7 variables, 2 libres, 2 parámetros, debe resolver la desigualdad – 3 0 de donde 3 ; si s 1 (coeficientes: 8,3 3, 3, 2, 3, 4) 
24. 	Cu + HNO3 → Cu(NO3)2 + NO2 + NO+ H2O 
Solución: 6 variables, 2 libres, 2 parámetros, se deben resolver las desigualdades 
	4	2	0, por lo que 	2 funcionan 	3 	1 (Coeficientes 4, 12, 4, 2, 
2, 6) 
25. 	KMnO4 + H2SO4 + H2O2 → MnSO4 + K2SO4 + H2O + O2 
Solución: 7 variables, 2 libres, 2 parámetros, se deben resolver las desigualdades 
	 –	0, 5	3	0 de donde 5	3	3 , 	si 	2 	3 (Coeficientes 
2, 3, 1, 2, 1, 4, 3) 
26. 	CH3CH2CH3 + O2 → C + CO2 + CO + H2O 
Solución: 6 variables, 3 libres, 3 parámetros, se deben resolver las desigualdades 
	–	2	3	0, de donde 3	2 , si 	1 	2 (Coeficientes 4, 
14, 4, 3, 3, 6, 16) 
27. 	PbS + Cu2 S + HNO3 → Cu(NO3)2 +Pb(NO3)2 +NO +NO2 + H2O 
Solución: 9 variables, 3 libres, 3 parámetros, se deben resolver las desigualdades: 
	 	3	2	0, 	3	0 y 	2	2	0, o cual se resume en 
2 3 y al probar con varios valores se encuentra que si 1; 2 3 se obtienen valores positivos para todos los compuestos, 
(Coeficientes : 1,2,16,4,1,2,4,8,3) 
 
Serie 9: Matrices 
 
Matrices; igualdad de matrices 
1) Identifique los renglones, las columnas, los tamaños y los elementos (2, 2) de las matrices. Determine el elemento (3, 1) de A y el elemento (2, 3) de B. 
−1 0
	A= −22 13 	 	B = −21	02 −12 
2) Determine los valores de x, y y z tales que las matrices siguientes sean iguales. 
 
1 0 1   x 0 1  1 0 1  x + z 0 1  a) 0 2 −3 = x + y 2 x + z b) 0 2 −3 =  − y 2 − z
 
3) ¿Cuál(es) de las matrices son de los siguientes tipos? 
 
	1
A = 1

1
B =1

 
	1
0 
0
0 
	1
C = 1

1
D =0

	0
1 
1
0 
	0
E = 1

1
F =0

	1
0 
0
2 
	3
G = 0

0
H = 1

	0
3 
1
1 
a. Triangular superior 	d. Escalar 
b. Triangular inferior 	e. Nada de lo anterior 
c. Diagonal 
 
Suma, multiplicación por escalar. 
4) Calcule, si es posible, lo siguiente. Si las operaciones no pueden efectuarse, explique por qué. 
 
	1 −1 0	1	1 1 −1
a) 0	1 +1	2 	b) −31 1 −1 

 	 
	1 −1 0	1	2
c) 0	1 +0 	e) −[1 − 2]+4	3 
 	 
−2 3   7 −6  0 2  3 −5 d)  4 −5−−5 4  f) 3− 4 − 6− 47 0 
−6 7   3 −2
 
	 1 − 2	0	1 	 8 − 2
5) Sean A = −3	4  ,	B = 5 − 2 y	C = − 6	4  
 
Determine la matriz X que satisfaga las ecuaciones: 
 
a) 2X +B =−3A+C 	d) 2X +B+C =0 
 	 
b) A−X = B+ 2C 	e) A−X = B−C 
 	 
c) 0C+ X +5B = 2A 
	f) 	0C+X = 2A− 4B 
 
	Multiplicación de matrices. 
1) Si es posible, calcule. 
 
	
	
	
	
	
	
	3
	 1
	2
	3
	4
	1
	− 2
a) 4 [1	2] 	d) − 2 − 4	3	0 4	0  
 	 
	3	−3 0 
b) [1	2] 4 	e)  2 −5 10 10 11
	 	−7 4 
	1 − 2  1	2	3	4
c) 4	0  − 2 − 4	3	0 
 
2) Obtenga el tercer renglón de AB si 
 
3 4
	A= 14 32	B= 16 52 52 16 
3) Calcule la segunda columna de AB si 
3 4
	1 2 5	4 3 
	A= 6 5 2	B= 1 2

4) Encuentre el elemento (2, 2) de 
	1	2  2 −1
	3	4 −3	1  
5) Determine (2A)3 si 
	3	 1	1 
A = −5 − 2 
6) Calcule A8 si 
1	1 A = 0	1
Serie 10: Matriz inversa 
 
	3	2	7	5
1) Determine las inversas de las siguientes matrices: 1	2 , 4	4 
 
	1	1	−10	20 
2) ¿Por qué las siguientes matrices no son invertibles? 2	2 ,  20 − 40 
 
	4	4
3) Determine la inversa de 10A si la inversa de A es: 8	6 
 
 cosθ senθ
4) Encuentre la inversa de: − senθ cosθ 
 
	1	3
5) Obtenga una matriz cuya inversa sea: 2	8 
 
1 1 0
6) Determine A, si: A−1 = 1 −1 1 
0 0 1
 
7) Aplique el algoritmo de inversión de matrices para calcular la inversa de la matriz dada,( en caso de ser posible). 
 
	−3 − 2	−1 1 0
a) −5 −3 	c)  0 −1 0 
	 	 0	0 1
 
	 1	1 
b) −− 233	313 	 13	23	12  
	− 	d) 
−6 −4 −2
 
	−1	0	1 	−1	1	1 −1
 
e)  1	23 − 43	−01	10 −11	01  
g) 
	 0 −1	1 		
	 0	0	1 −1
 
 
1 1 −1
f) 33 32 11  	h) −01	00	11	12
	−1	1	1	2
		
	−1	1	1	1
 
8) Resuelva los sistemas calculando primero la inversa de la matriz de coeficientes. (AX = b) 
 
	x + y −z =1	−2x + y	=a
1) x	−z =2 	3) 	x − y −z =b 
	−x + y	=3	x + y −z =c
 	 
	x − y −z =2	−x + y +z =a
2) x − y =4 4) −x +z =a2 x −2y −z =−1 y −z =a3
 
9) Calcule las inversas de las siguientes matrices .Se adjunta la respuesta. 
 
	1	2	1	4	24	10		43
	0	1	0	1	13	03
a) A	00	3	2	1	03 567 0033 
	3	03
	b) 5
	3
=
5
		8	67
> 5
4
	7; ?
@
	7;
A 
;
	/	4	1	2	12	03
	@:	@:
	1	4	9	4
c) 5	=	> 567	 
	2	9	2	1
	1	0	2	13	8;	:;4
d) 5	3	1	5 567	00 1	7;33 
0
0 2	1	/ 2	; 2
	5	2	1	2	16	3
e) 5	0	1	2 567	6	53	10 
	3	4	10	3	26	5
	B	<	;	<
0 7	1	1	10	:<C	:C	7C	:C43
1 4	
	0 2	4	3	0 3	03
f) 5	0	3 567	00	87C	8C	:C	8C33 
0 1	0	2	2 3	0	7@	7@	7@	7@3
	/ 0	5	0	32	0	<	7	7	;3
	/	:8	:8	7:	D2
 
Serie 11: Determinantes 
1) Calcule los siguientes determinantes: 
 
b) a)
 
7
4
6
3
 
7
6
4
3
 
100
1
1
0
−
−
 
d)
 
2
1
2
1
2
1
2
1
−
 
e)
 
4
0
3
0
5
0
2
0
1
 
f)
 
5
0
0
0
4
3
0
2
1
 
g)
 
0
0
1
0
2
0
3
0
0
 
h)
 
0
3
0
2
0
1
1
5
3
−
−
 
c) 
 
1 2 3 
 
4
9
6
 
i) 4 5 6 
7 8 9
1 2 3
j) 2 2 3 
3 3 3
1 0 0 0
0 0 0 1
k) 
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
5 2 0 0
l) 
7 0 3 0
9 −1 4 0
1 2 −3 −4
0 2 5
m) 
0 0 3 0 0 0
1 0 1 0
2 1 0 −1
n) 
3 0 1 1
4 0 1 0
 
	2) Calcule el determinante de la matriz de coeficientes del sistema. 
 
 
5x −2y =1
a) −x + y +2z =−3 
−7y +2z =−2
 
y −z =0
b) x	−z =1 
	−x + y	=−1
3) Calcule todos los valores de λ (reales o complejos) tales que los determinantes sean cero. 
 
1−λ 21 0 0 a) 
 
λ
−
1
0
1 3−λe) 0 λ−2	1
	1−λ 50	2 λ−1
b) 
2 10−λ2−λ 0 λ 1	f) 1 3−λ 0
	c) 4 λ 0	1
1−λ −1
d) 
	1	1−λ
 
x −1 12
1
=
x
x
4) Calcule el valor x 
−1 x −1
5) Despeje el valor de x. 
	x	0	2x−1	1	0
	0 x−3 −1 = −2 x−7	0 
	2	0	x−63	0	x−2
6) Determine a, b talesque 
a b a 4 =	=0 1 2 1 a
7) Evalúe los determinantes sólo por inspección. 
 
5 1 141 −1 1
	a) 0 10 2 	b) 2 −1 2 
0 0 −14 −2 4
1 1 20 1 0 0 c) 2 2 3 0 0 1 0
h) 
4 4 80 0 0 1
1 0 0 0
1 1 1 0
1 1 1 01 0 0 0 0
d) 
0 1 1 12 2 0 0 0
	0 0 1 1	i) 3 6 3 0 0 
4 6 6 4 0
0 0 0 1
5 5 5 5 −1 0 1 0 0
e) 
0 0 1 00 0 0 0 1 1 0 0 00 2 0 0 2 
1 0 0 0	j) 0 6 3 0 3
0 6 6 4 5
0 0 0 1
f) −1 5 5 5 5
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
g) 
1 0 0 0 0 0 0 1
 
Serie 12: Regla de Cramer 
 
1 Aplique la regla de Cramer para resolver los sistemas siguientes: 
 
	x + y =1	2E	 F	 G	 4
a) g) E G 2 
x − y =1
	 F	 5 G	 1
	x +2z =1	x	 y	 z	 w	 0
	b) 	 
	3x +4z =1	x	 y	 z	 w	 2
h) 	x	 y	 z	 w	 1 x	 y	 z	 w	 1
3x −3y −2z =3
	c) −x −4y +2z =2 	K	 L	 7
	5x +4y +z =1	i) 	 2	 M	 2 
4K	 	3 3M	 5L	 2
x − y −z −w =0
	−x − y +z +w =2	K	 	 M	 L	 6
	d) 	 
x + y −z +w =1 j) 2K M L 4 x + y +z +w =1 K 3M 6L L 5 3
	2E	 2F	 G	 7	 
e) E 2F G 0 E F 3 G 1
 
	E	 F	 G	 8
f) 4F	 G	 	2 
	3E	 F	 2 G	 0
 
2) Aplique la regla de Cramer para despejar x y y del sistema siguiente: 
 
(cosθ)x − (senθ)y = cosθ− 2senθ
 
(senθ)x + (cosθ)y = senθ+ cosθ
 
 
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes 
Serie 13: Cálculo de Determinantes por Propiedades de los Determinantes. 
SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICES Y DETERMINANTES. 
 
	1	1	2	0	3	15	5	15	0
	1	4	1	4
02 4	5	4	113	0	1	2	1	43
03 5	4	11	1233 det −18 	6) 00	1	1	1	333 det 35 
1) 0
	001	5	4	7	1533	/	3	1	2	52
	/1	3	3	18	72
	1	1	0	3	1
1 4
2 1	4	2	0	2	2	1	0	43
1 4	0	3
	0	1	0	1	13	7) 0	3	1	2	1	33 det 14 
2) 00	3	2	1	033 det −12 	00	3	6	1	3	033
	/	4	1	2	12	/	1	3	1	3	22
	2	1	0	2	1	4	2	2	3
1 4	1	4
	0	1	0	1	1	33	0	1	2	1	13
3) 00	0	1	0	0	133 det −10 	8) 00	0	1	1	233 det 41 
	00	2	1	2	5	033	/	1	1	3	12
	/	1	0	2	1	22
1 2 0	3
1	4
0 2 2 1	43
4) 00	4	1	1	333 det 7 
	/	3	1	2	52
	1	1	0	3	1
1 4 0	2	2	2	0	43
	0	3
5) 0	3	1	2	1	33 det −44 
	00	3	6	1	3	033
	/	1	1	1	3	22
Números Complejos 
Serie 14: Operaciones Básicas. NUMEROS COMPLEJOS 
 
Exprese en la forma a + bi 
1) 2	8N	7N;	3N<	16N:C 
2) O2N;P@ 
O:6<QPR
3) 7S;Q6:QRSQTS:QU ésta déjela indicada como división 
4) 3N7;	4N	5N78	8N:<	O3N:P; 
5) 5N77	14N;;	2N8<	12N:B	O4N:;P: 
6) O1	3N:;P:	5NBB	4N<	2N7;	16N;@ 
Realice las siguientes operaciones y exprese en la forma a + bi, sumas, diferencias, productos, divisiones 
Álgebra Superior 
 
Álgebra Superior 
 
Álgebra Superior 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
7) O5	7NP	O8	2NP 
8) O11	2NP	O3	4NP 
9) O3	7NP	O6	5NP 
10) O19	NP	O2	13NP 
11) O15	2NP	O6	4NP 
12) O20	11NP	O25	2NP 
13) O	10	9NP	O3	7NP 
14) O6	14NP	O	10	17NP 
15) V1	N√3X	V7	2N√3X 
16) V√2 N√3X	V6√2	7N√3X 
17) O2	6NP	O6	5NP	O4	11NP 
18) O6	3NPO2	4NP 
19) O9	8NPO7	6NP 
20) O6	3NPO2	5NP 
21) O5	3NPO7	2NP 
22) V2	N
√
3
XV5
6
N
√
3
X
 
23) V7√2	6N√5XV2√2	7N√5X 
24) O3	2NPO7	8NPO	2	9NP 
25) O5	3NP: 
26) O3	2NP; 
27) V2	N√3X Y V5	6N√3X 
28) O8	3NP Y O9	4NP 
29) O2	NP Y O3	2NP 
30) 3N Y O6	2NP 
31) V√3 N√7X Y V2√3	3N√7X 
32) V8√5 N√3X Y V2√5	6N√3X 
33) V√6	6N√10X Y V2√6	3N√10X 
34) O2	3NPO3	4NP Y O5	4NP 
Números Complejos 
	35) 
36) 
37) 
	O5
O
O8
	6NP: Y O9
5	8NP Y O3
7NP Y ZO5
	2NP 
2NP: 
6NPO5
	2NP[ 
	39) 
40) 
	O7S:QPO:S;QP
O;S8QPO8S@QP 
O;6@QPO<S8QP
 
O@S;QPO96QP
38) 	ZO	3	10NPO3	4NP[ Y O	8	9NP 
 
Resuelva: pista: sustituya M	\N y M]	\N 
41) O1	NPM	O1	NPM]	4 
42) MM]	3OM	M]P 7 
Serie 15: Forma Rectangular a Forma Trigonométrica y Operaciones en Forma Trigonométrica. 
Escribir en forma Trigonométrica rcisθ 
	1) 
	7	7N 
	4) 
	1
	N√3 
	7) 
	−8i 
2) 	√3 N 	5) 	6	6N√3 	8) 	4	2i 
3) 	5	5N 	6) 	−4 
Pasar de forma Trigonométrica rcisθ a rectangular abi 
	9) 
10) 
11) 
	M	3√2 bN 225º 
M	2bN 30º 
M	3bN 90º 
	13) 
14) 
15) 
	M	√2 bN 45º 
M	4bN 120º 
M	2bN 300º 
12) 	M	2bN 270º 
Calcule las potencias 
16) 	M	O1	NPD 17) 	M	O3	4NP; 
18) M	O5	12NP: 
19) M	d 
:
20) 	M	O	3	3NPB 
Realice las operaciones que se indican, transforme primero a forma trigonométrica los números que están expresados en forma rectangular. 
21) 2Obf 25°	N hi25°P5Obf 75°	N hi75°P 
22) 8Obf 18°	N hi18°P6Obf 24°	N hi24°P 
23) 15Obf 140°	N hi140°P4Obf 280°	N hi280°P 
24) V1	N√3XO4	4NP 
25) 	O6	6NPV	7	7N√3X 
26) 2Obf 15°	N hi15°P3Obf 70°	N hi70°P4Obf 65°	N hi65°P 
27) 10Obf 125°	N hi125°P Y 5Obf 85°	N hi85°P 
28) 3Obf 130°	N hi130°P Y 6Obf 217°	N hi217°P 29) 	 Obf 250°	N hi250°P Y Obf 140°	N hi140°P 
30) V4	4N√3X Y O6	6NP 
31) O1	NP Y O1	NP 
32) V	√3	3NX Y V√6	3N√2X 
33) 	V6√3	6NX Y V√2 N√6X
Serie 16: Teorema de De Moivre. Potencias y Raìces . NUMEROS COMPLEJOS. 
Use el teorema de De Moivre para elevar a la potencia indicada: 
	1) 	Z4Obf 12°	N hi12°P[; 	8) 	V√3 NX7: 
	2) 	Z3Obf 18°	N hi18°P[8 	9) 	Z5Obf 16°	N hi16°P[68 
		9
	3) j√3Obf 25°	N hi25°Pk 
4) Z2Obf 20°	N hi20°P[D 
5) O1	NP7C 
7:
	6<
10) j√5Obf 4°	N hi4°Pk	 
11) Zbf O	10°P N hiO	10°P[9 
12) Zbf 10°	N hi10°[69 
	6) 	V1	N√3X	 	13) 	V√3 NX67C 
D
	7) 	V	2√3	2NX 	14) 	O	1	NP67: 
 
Obtenga las raíces que se indican 
15) Raíces Cuadradas de M	25Obf 100°	N hi100°P 
16) Raíces cúbicas de M	8Obf 72°	N hi72°P 
	17) 	Raíces cúbicas de M	27Obf 27°	N hi27°P 
	Álgebra Superior 	Números Complejos 
 
	Álgebra Superior 	Números Complejos 
 
	Álgebra Superior 	Números Complejos 
 
	Facultad de Química UNAM 	46 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
	Facultad de Química UNAM 	46 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
	Facultad de Química UNAM 	46 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
18) Raíces cuadradas de M	1	N√3 
19) Raíces cúbicas de M	1	N√3 
20) Raíces cúbicas de M	1	N√3 
21) Raíces cúbicas de z 	 1 
22) Raíces cúbicas de z 	 8 
23) Raíces cúbicas de z 	 − 1 
24) Raíces cúbicas de z 	 8 
25) Raíces cúbicas de z	 i 
 
	27) 
	Raíces cuartas de M
	16√2O
	1
	NP 
	28) 
	Raíces quintas de z 
	 1 
	
	
	29) 
	Raíces sextas de z 
	 −27i 
	
	
	30P 
	Raíces quintas de M
	32O1
	NP
	
26) Raíces cúbicas de z	 3	4i 
Serie 17: 	Raíz Cuadrada de un número complejo en forma rectangular, ecuación de segundo grado y sistemas de ecuaciones de variable compleja. 
Encuentre las raíces cuadradas de los siguientes números complejos en forma rectangular. 
1) M	1	N√3 	8) 	 M	2	2N√3 
2) M	1	N√3 	9) 	M	8N 
3) M	2N 	10) 	M	5	12N 
4) M	16 	11) 	 M	3	4N 
5) M	2N 	12) 	M	3	4N 
6) M	4 	13) 	M	12	5N 
7) 	M	24	10N 	14) 	M	15	8N 
15) M	40	42N 
Resuelva las siguientes ecuaciones 
16) M:	3M	3	N	0 
17) M:	2NM	9	6N	0 
18) M: 3O1	NPM	5N	0 
19) O1	NPM:	O1	2NPM	2	0 
20) M:	2NM	1	0 
 
Resuelva 
26) 	MM]	3OM	M]P N 
27) 	2M	M	M]	4	2N 
2M 3L 10 5N 28) p M] 6L ;< 2N q
:
29) 	r3M	 L	4	 2N q 2M	 NL	3	 2N
21) 5M: M√2	1	0 
22) M:	O4	NPM	5	N	0 
23) M:	O5	3NPM	2	6N	0 
24) M:	O2	3NPM	O5	5NP 0 
25) L9 L;	1	0 
	O1	NPM	 O1	NPL	0q
	30) 	sO1	NPM	 O1	NP L	4 
	M7 M: M;	6	 4N
	31) 	tNM7 O1	NPM: O1	NPM;	7	 4N q
	M7 NM:	 	M;	 2N
	M7	 2M: 3M;	1	 2N
	32) 	u4M7 5M: 6M;	2	 N q
	7M7 8M: 9M;	3	 	 4N
	Serie 18: 	División Sintética y Teorema del Residuo. TEORIA DE 
ECUACIONES 
Utilice la división sintética para efectuar las siguientes operaciones: 
1. OK;	6K:	7K	8P Y OK	2P 
2. OK;	4K:	5K	6P Y OK	3P 
3. OK;	3K:	25K	12P Y OK	4P 
4. O6K;	12K:	K	20P Y OK	5P 
5. O5K;	6K:	17K	9P Y OK	7P 
6. OK8	7K;	2K:	15K	4P Y OK	4P 
7. O2K8	3K;	4K:	5K	6P Y OK	2P 
8. OK;	7K:	2K	4P Y OK	1P 
9. O7K;	K	24P Y OK	6P 
10. O2K;	10K:	5K	11P Y OK	5P 
11. OK8	2K;	14K:	30K	63P Y OK	3P 
12. O4K8	120K:	18K	720P Y OK	6P 
13. O3K8	4K;	7K	22P Y OK	5P 
14. OK@ K;	x	1P Y OK	1P 
15. O2K;	7K:	5K	4P Y dK	7:e 
16. O4K;	4K:	11K	6P Y dK	e ;
:
17. O3K;	2K:	15K	10P Y VK	√5X 
18. OK;	15K:	60K	46P Y VK	7	√3X 
 
Utilice la división sintéticay el teorema del residuo para los siguientes ejercicios: 
19. Dado vOKP K;	5x:	3x	2 encuentre vO3P, vO	3P 
20. Dado vOKP	2K8	3K;	7K:	6K	5 encuentre vO2P, vO	5P 
21. Dado vOKP K8	2K;	3K:	7K	8 encuentre vO4P, vO	4P 
22. Demuestre que K	4 es un factor de 2K;	5K:	32K	80 
23. Demuestre que OK	2P: es un factor de 3K8−10K; K:	28K	20 
Serie 19: 	Dibujo de gráficas de polinomios. Ceros de Polinomios, Cotas Superiores e Inferiores. TEORIA DE ECUACIONES 
Dibuje las gráficas de los siguientes polinomios. Obtenga los valores exactos de sus ceros enteros y localice sus otros ceros reales entre enteros consecutivos. 
1. K;	3K:	10K	24 	9. 	6K; K:	32K	20 
2. 3K;	13K:	2K	8 	10. 	2K;	11K:	18K	14 
3. K;	3K:	13K	15 	11. 	2K;	7K:	22K	13 
4. 2K; K:	16K	15 	12. 	5K;	29K:	29K	7 
5. K;	4K:	7K	28 	13. 	K8	2K;	5K:	6K	24 
6. K;	7K: 3 	14. 	K8	2K;	4K:	6K	3 
7. K;	7K	3 	15. 	K8	2K; K:	2K	10 
8. 2K;	K	10 
16. 16K8	3K;	37K:	4K	60 
Encuentre cotas inferiores y superiores para las raíces de las siguientes ecuaciones. (el entero más cercano posible hacia abajo y hacia arriba, respectivamente) 
17. K; K:	3K	4	0 
18. K;	4K:	2K	7	0 
19. K;	5K:	K	4	0 
20. 2K;	7K:	4K	3	0 
21. K8	4K;	2K:	7K	3	0 
22. K8	3K;	2K:	5K	1	0 
23. 2K8	5K;	7K:	K	8	0 
24. K8	4K;	6K:	K	150	0 
 
 
Serie 20: 	Ecuaciones con raíces surdas y raíces complejas. TEORIA DE ECUACIONES. 
1. Resuelva la ecuación K8K; 16K: 59K 13 0 dado que una de sus raíces es 3+2i. Recuerde que como ya se le ha dado una raíz compleja, debe 
construir el polinomio con los factores de la raíz dada y su conjugada 
	ZK	O3	2NP[ZK	O3	2NP[ K:	6K	13 mismo polinomio que a su vez es 
factor de la ecuación de cuarto grado. Al dividir la ecuación de cuarto grado por la de segundo grado, se obtiene una ecuación de segundo grado que puede resolver con la ecuación general de segundo grado. Al hacer esto obtendrá las otras dos raíces que resultan ser surdas cuadráticas :X . 
2. Resuelva la ecuación K8 9K; 25K: 19K 6 0 dado que 2 √5 es una raíz. 
3. Resuelva la ecuación 6x8 35x; 58x: 23x 22 0 dado que que 3 i√2 es una raíz. 
4. Resuelva la ecuación x9 2x@ x8 4x; x: 2x 1 0 dado que i es una raíz doble. 
	que √7 es una raíz doble. 
	
	
	
	6. Resuelva la ecuación x9 16x@	86 x8	114x;	191x:
	832x
	676
	0 
	dado que 4 √3 es una raíz doble. 
	
	
	
	7. Resuelva la ecuación x9 13x@ 66 x8 152x; 108x: dado que 3 i es una raíz doble. 
	140x
	200
	0 
5. Resuelva la ecuación 2x9x@ 29x8	14x;	112x:	49x	49	0 dado 
 
 
 
 
 
 
1) x3 + − =4 1 0x	 	20) 	3x4− −4x3 7x2 −18 22 0x− = 
2) x3 −8x2 − =9 0 	21) 	2x4− −5x3 8x2 − + =3 1 0x	 
3) x3 + + =x2 5 0 	22) 	x4−20x3 −10x2 + + =3 24 0x	 
4) x3 −5x2 + − =2 3 0x	 	23) 	5x4+ − + =4x3 7 11 0x	 
5) 2x3 −3x2 − + =x 9 0 	24) 	3x4− +5x2 19 15 0x− = 
6) 3x3 −2x2 − − =7 5 0x	 	25) 	x5 + − + =x x4	12 0 
7) x3 +3x2 + − =7 2 0x	 	26) 	6x4+ −3x3 7x2 − =20 0 
8) 2x3 −5x2 + + =2 6 0x	 	27) 	x6 +4x2 − =30 0 
9) 5x3 + − + =x2 4 1 0x	 	28) 	4x4+ + =2x2 1 0 
10) 4x3 −7x2 − − =x 15 0 	29) 	x5 − =2 0 
11) x3 +2x2 − − =5 8 0x	 	30) 	x6 − =12 0 
12) 2x3 +3x2 + + =4 5 0x	 
13) 8x3 −10x2 + − =4 9 0x	 
14) x3 −17x2 −11 14 0x+ = 
15) 22x3 −19x2 −15 12 0x− = 
16) x4−10x3 + + + =x2 6 11 0x	 
17) 2x4+ −3x3 5x2 + − =2 22 0x	 
18) 5x4− +2x3 3x2 − + =4 10 0x	 
19) x4−17x3 −14x2 + − =x 5 0 
	Álgebra Superior 	Teoría de Ecuaciones 
 
	Álgebra Superior 	Teoría de Ecuaciones 
 
	Álgebra Superior 	Teoría de Ecuaciones 
 
	Facultad de Química UNAM 	46 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
	Facultad de Química UNAM 	46 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
	Facultad de Química UNAM 	46 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Serie 21: Regla de los Signos de Descartes. Encuentre toda la información posible de la Regla de los Signos de Descartes para las siguientes ecuaciones. TEORIA DE ECUACIONES. 
Álgebra Superior 	Teoría de Ecuaciones 
 
Serie 22: Raíces Racionales. Encuentre las raíces racionales de las siguientes ecuaciones. TEORIA DE ECUACIONES. 
1) x3 + − − =x2 5 2 0x	 
2) x3 −3x2 − − =8 10 0x	 
3) x3 + + =x 10 0 
4) 2x3 −3x2 − − =7 6 0x	 
5) 2x3 +7x2 −19 6 0x+ = 
6) 2x3 + + − =x2 x 1 0 
7) 5x3 +3x2 +13 6 0x− = 
8) 3x3 +4x2 −16 8 0x+ = 
9) 6x3 −19x2 + + =x 6 0 
10) 6x3 −29x2 +39 10 0x− = 
11) 2x3 −3x2 + − =x 6 0 
12) 2x3 +13x2 +12 3 0x+ = 
13) 12x3 −32x2 −33 7 0x− = 
14) 24x3 +50x2 −31 15 0x− = 
15) x4 + −x3 16x2 − + =4 48 0x	 
16) x4 −3x3 −21x2 −43 60 0x+ = 
17) 12x4 −20x3 −57x2 +50 75 0x+ = 
18) 28x4 −3x3 −154x2 −54 36 0x+ = 
19) x4 − −x3 9x2 +11 6 0x+ = 
20) 8x4 −24x3 +5x2 + − =52 15 0 
21) 6x4 −31x3 −44x2 +371 392 0x−	= 
Álgebra Superior 	Teoría de Ecuaciones
 
22) x4 +10x3 +20x2 +20 44 0x− = 
23) K7C 7KB 2KD 126K< 303K9 135K@ 1328K8 1376K; 448K: 1392K 576 0 
24) 32KB	144KD	32K<	824K9	582K@	1121K8	887K;	591K:	305K	150
0 
25) 4K7:	12K77	63K7C	256KB	141KD	1596K<	1427K9	2400K@	4557K8
	968K;	2616K:	2016K	432	0 
26) x7:	7x77	16x7C	172xB	18xD	1446x<	752x9	4816x@	3659x8 5947x;	5064x:	2412x	2160	0 
27) K78 K7;	25K7:	35K77	233K7C	415KB	963KD	2185K<	1546K9
	5372K@	136K8	5680K;	2080K: 	2112K	1152	0 
28) 16K7;	128K7:	384K77	532K7C	303KB	181KD	768K<	1064K9	654K@
	22K8	384K;	532K:	335K	75	0 Si i es raíz doble 
29) KB	32KD	449K<	3618K9	18416K@	61312K8	133364K;	182648K:
	142896K	48672	0 Si 	x	y es raíz doble 
30) K78	2K7;	6K7:	6K77	3K7C	12KB	24KD	12K<	9K9	18K@	30K8
	6K;	5K:	8K	12	0 Si 	z es raíz triple 
31) K9	14K@	70K8	140K;	49K:	154K	120	0 
Álgebra Superior Teoría de Ecuaciones
 
Serie 23: Ecuación General Cúbica y Ecuación General de Cuarto Grado. Resuelva por los métodos de Cardano para ecuación cúbica y de Ferrari para Cuarto Grado. TEORIA DE ECUACIONES. 
 
1) x3 − − =6 6 0x	 	20) 	x4 +10x3 +35x2 +46 10 0x+ = 
2) x3 −12 20 0x− = 	21) 	x4 −6x3 +16x2 −54 63 0x+ = 
3) x3 − + =3 1 0x	 
4) x3 − − =6 2 0x	 
5) x3 + + =9 6 0x	 
6) x3 −12 8 0x− = 
7) 2x3 − − =6 5 0x	 
8) 9x3 −30 82 0x− = 
9) x3 +6x2 + − =6 10 0x	 
10) x3 −6x2 +21 20 0x− = 
11) x3 −6x2 − − =3 8 0x	 
12) x3 −9x2 − − =9 15 0x	 
13) x3 − + =3x	2	0 
14) x3 +3x2 + + =9 9 0x	 
15) x4 +6x3 +8x2 + − =8 16 0x	 
16) x4 −8x3 +20x2 −16 21 0x− = 
17) x4 +2x3 −8x2 − − =6 1 0x	 
18) x4 −8x3 +9x2 + − =8 10 0x	 
19) x4 +5x3 −25 25 0x− = 
Álgebra Superior Teoría de Ecuaciones
 
Serie 24: Raíces Irracionales. Encuentre hasta tres decimales, las raíces irracionales de las siguientes ecuaciones. TEORIA DE ECUACIONES. 
1) K;	K	1	0 
2) K;	12K	20	0 
3) K; K:	3	0 
4) K;	K	5	0 
5) K;	3K	1	0 
6) 2K; K:	7	0 
7) 2K;	9K:	9	0 
8) K;	9K	12	0 
9) K;	3K:	4K	2	0 
10) K;	6K:	6K	10	0 
11) K;	2K:	K	1	0 
12) K;	9K:	21K	15	0 
13) 4K;	9K	6	0 
14) K;	9K:	31K	15	0 
15) K;	3K:	3K	3	0 
16) K;	3K:	2K	3	0 
17) K8 K;	2K:	3K	1	0 
18) K8	3K:	6K	2	0 
19) K;	2K	5	0 
20) K;	6K:	K	9	0 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Serie 25: {| Operaciones Vectoriales. ESPACIOS VECTORIALES 
En los ejercicios 1 a 4 realice las operaciones vectoriales indicadas, de ser posible. 
 
1) a) 	 d1e	d	2e 	b) 	d5e	d	2e 
	3	4	3	4
2) a) 	1}4 d28e 	b) 3 d12e	2 d45e 
	5	2	5	2
3) a) 	~	3•	~1• 	b) 	~	3•	~1• 
	2	4	2	4
4) a) 	3 d1e	2 d1\e 	b) 	2 ~21•	d41e 
3
5) Sean €	d5e , •	d	2e , ‚	d7e, Calcule 
	8	4	0
a) 2a−4b+3c 	a) 	2a−0b−6c + ƒ d	1e 
1
6) Determine un vector x tal que 
a) 3„	d12e	:7 d24e b) 	„	2 140	744	 
En los ejercicios 7 a 9 trace los vectores que se piden si 
	…7	22 , …:	30, …;	14, L7	112, L:	103, 
7) …7, …:, …; , …7 …:, …: …;, …; …7, 
8) 2…7 …:, 3…:	2…; , 	…7, …7	4…; 
9) L7, L:, L7 L:, 3L72L: 
En los siguientes ejercicios, del 10 al 12 determine el o los valores (si los hay) de y \ que hacen válidas las igualdades 
	1	1	\	\
10) a) 	 	 	b) 	 
	\	1	2\	0
	\	7 \	0	\	11 
11) a) 	 \	:	0 	b) 	3
4
	\	7 \	0	\	1
12) a) 	 \	:	1 	b) 	0	1 
Para los ejercicios 13 a 15, sean a y b vectores 3, (3 componentes) 
13) Determine el vector 3, x, tal que 2x−4b = 3a 14) 	Encuentre el vector 3 tal que 4x+3b = 2a 
	x y y tales que 4††	3‡‡ 	 € 2€ • 
15) Calcule los vectores 3, 
5
	†	‡	100	 
16) Determine los vectores 2, x y y tales que 2†	3‡
15
17) Trace el vector libre Šˆ‰ŠŠŠ y calcule sus componentes 
 	a. 	ˆ	O1,1P, ‰	O1,	1P 	b. 	ˆ	O2,	1, 1P, ‰	O	1, 1, 3P 
En los ejercicios 18 a 25 diga si el primer vector es una combinación lineal de los restantes 
	2\	1	2 18) 	,	,	 
	4	3\	4	3
	\	b
19) 	,1,1 
	\	2b	1	2
	1
20) ,1,1 
3 1	2
1
21) ,1,1 
3 1	1
Álgebra Superior Espacios Vectoriales 
 
Álgebra Superior Espacios Vectoriales 
 
Álgebra Superior Espacios Vectoriales 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
Facultad de Química UNAM 	1 
Tareas para los alumnos de la Prof. Susana Rubín 
 
0	1	1 22) 	2, 1,1 
0 1	1
1 1	0 23) 	2, 1,1 
0 1	1
1 1	1	0 24) 	2, 1,	0,1 
	0	1	1	1
3 1	1	0 25) 	2, 1,	0,1 
4 1	1	1
En los ejercicios 26 a 30 determine si b es una combinación lineal de las columnas de A 
26) 
5 10	12, \43 	29) 	5	12	11, \12 
27) 5	1	1, \K 	0	2	4
	3	2	6	1	1	1
	30) 	5	3	2	1, \	1 
28) 5	0	1	1, \2 	3	0	2	0
	1	0	1	1
 
31) Demuestre que cualquier vector =\> ‹ {; , es una combinación lineal de b
	1	1	0
 	 1,	0 1 
	1	1	1
32) Compruebe que cualquier vector=\> ‹ {; , es una combinación lineal de las columnas b
	1	0	1
	de 	1	1	0 
	1	0	1
•
33) Calcule el o los valores de k tales que 	2 ‹ {; , sea una combinación lineal de las 
2•
0 1
	columnas de 2	0 
1 •
33) Calcule el o los valores de k tales que 10 sea una combinación lineal de las columnas 
	1	•	1
	de 	 
	0	•	0
34) Escriba los siguientes sistemas en forma de ecuaciones vectoriales. 
	K	4	1	K	4	1
a. 2K	0 	b. 	2K	0 
35) Exprese los siguientes sistemas en forma de ecuaciones vectoriales. 
	K	2	M	1	M	2
a. K 	2M	1 	b. 	K	2	M	1 	2M	0	K	0
36) Plantee las ecuaciones vectoriales en forma de sistemas lineales. 
a. K	3	1	1 	b. 	K	3	4 
	2	5	2	2	5
 	 
Serie 26: 	Producto Punto, Norma, Ángulos entre dos vectores, Ángulos y Cosenos 	directores, 	Proyecciones 	Ortogonales−ESPACIOS VECTORIALES 
Sean 	O	1, 2,	2P, …	O4,	3, 5P, L	O	4,	2, 0P Ž	O	1,	2, 1, √3P 
 
1) Encuentre las longitudes de los siguientes vectores. 
 	u, v, w, 	u + v, u − v, u − v + w, d, 10 d, 	•Ž•Ž 
2) Calcule las siguientes expresiones. •	+ … • , • • + •… •, 
 	• •	•… •, •… •, •… •… + •L •L , O•‘ 7•PŽ 
3) Determine las siguientes expresiones 	’ …, L ’	, 	’ O… + LP, 
	… ’	+ L ’	, Ž ’ Ž, OŽ ’ ŽPŽ 
4) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son indefinidas y por qué? 
 	’ … ’ L, 	’ O… ’ LP, O’ …PL, O’ …PO… ’ LP, ’ O3…P, 
 	 ’ O3 + …P, OŽ ’ ŽP;, Ž ’ Ž + 2 
5) Determine el vector unitario en cada dirección u, v, w, d 
6) Encuentre un vector de longitud 3 con la dirección de u. 
7) Calcule un vector de longitud 2 con dirección opuesta a la de u. 
8) Determine un vector en la dirección de d cuya longitud sea 9 veces la de d 
9) Encuentre un vector de longitud 9 en la dirección de d. 
10) Calcule la distancia entre los puntos P y Q 
 	a. P ( 1, 1,−1) Q (−2,3,4) b. P (4, −3, 2, 0) Q (0, 2, −6, 4) 11) 	¿Cuáles pares de vectores son ortogonales? 
 	a. (1, 1), (1, −1) 	b. (1,−1, −1), (0, 1, −1) 
 c. ( 4, −2, −1), (−2, 3, 4) d. (−7,−3, 1, 0), (0, 2, 6, 4) 12) Encuentre dos vectores que sean, cada uno, ortogonales a (1, −2, 4) 13) Determine un vector unitario que sea ortogonal a (−2, 3, 1). 
 
Para el siguiente ejercicio calcule el ángulo que forman u y v (en alguno tal vez necesite una calculadora) 
14) a) u = (1,1), v = (1,−1) 	b) u = (−1, 1, 1), v = (2, −2, 1) 
 	c) u = (1,−1, 1, −1 ), v = (0, 1, 1,0 ) 	d) u = (3, 4), v = (5, 12) 
 	e) u = (√3, 1, −2 ), v = (1, √3, −2 ) 	f) 	u = (1, −1, −1, −1), v = (1, 1, 1, 1) 
15) Calcule la proyección ortogonal de u sobre v 
a) u = (2,3), v = (−2,1) 	b) u = (0, −1, 6), v = (−1, −3, 5) 
 	c) u = (−2,−1, 0, 1), v = (0, 0, −1,3) 	d) u = (3, 4), v = (1, 1) 
16) Ahora encuentre la componente vectorial de u ortogonal a v 
17) Compruebe la desigualdad de Cauchy −Schwarz para los pares 
a) ˆ	O1, 1P, ‰	O1,	2P 	b. 	ˆ	O2,	1, 1P, ‰	O	1, 1,	1P 
18) Describa geométricamente el conjunto de todos los vectores 2 tales que • • 1. 
19) Exprese geométricamente el conjunto … de todos los vectores 3 tales que •…• 1. 
20) Compruebe que ( bf E, bf F, bf GP es un vector unitario. Si E, F G son los ángulos directores 
21) Determine, los cosenos directores y los ángulos directores para los siguientes vectores 
a) O1, 0, 1P 	b) 	O1,	1, 1P 	c) 	O	1, 1, 0P 	d) 	O2,	1, 0P 
 	e) 	O1, 1, 1P 	f) 	O	1, 1,	1P 	g) 	V√3, 1, 0X 
 	 
Serie 27: 	Espacio Generado e Independencia Lineal−ESPACIOS VECTORIALES− 
1) Sean …	9 L3 y –	—L˜¿Es cierto o falso lo siguiente? 
	3	1
 	a) 	… está en – 	b) 	L está en – 
c) … está en Gen( –) 	d) 	L está en Gen ( –) 
	1, \	0, b6, Ž3, 
Para los siguientes ejercicios 3 Y 3 sean 
	3	2	3	9
2) a) 	¿b está en ™hi—, \˜? 	b) 	¿\está en ™hi—, b˜? 
c) ¿ está en ™hi—\, b˜? 	d) 	¿Ž está en ™hi— ˜? 
 	 e) 	¿ está en ™hi—Ž˜? 	f) 	¿Žestá en ™hi—b˜? 
 	 g) 	¿Ž está en ™hi—\, b˜? 	h) 	¿\ está en ™hi— ˜? 
3) a) 	¿Es cierto que el ™hi—, \˜ {:? 	 
b) ¿Es cierto que el ™hi—, Ž˜ {:? 
c) ¿Es cierto que el ™hi—, b˜ ™hi—\, b˜? 
d) Compare el ™hi— ˜ con el ™hi—Ž˜ 
e) ¿Cuál es el ™hi—, \, b˜? 
f) ¿Cuál es el ™hi—, b, Ž˜? 
g) ¿ Cuál es el ™hi—, \, b, Ž˜? 
h) ¿Cuál es el espacio generado de las columnas de 5	 Z \ Ž[ 
 
	1	2	1	1
Para los ejercicios 4 y 5 sean …7	3 …:	3 …;	0 …8	0 1	0	0	4
4) a) 	¿ …8está en el ™hi—…7, …:, …;˜? 
b) ¿ …8está en el ™hi—…7, …:˜? 
c) ¿ …8está en el ™hi—…:, …;˜? 5) a) Demuestre que el ™hi—…7, …:, …;˜ {;. 
b) Demuestre que el ™hi—…7, …:, …8˜ {;. 
c) Demuestre que el ™hi—…7, …;, …8˜ ™hi—…:, …;, …8˜. 
En los ejercicios del 6 a 9 determine si las columnas de la matriz dadas de šKi generan a {› 
	1	2	1	3
6) a) 	 	b) 	 
	3	4	3	9
	2	\
7) a) 	 	b) 	 
	\	2\	2	2\
1 1	0	0	5
8) a) 	 	b) 	1	1 
	7	3	1
1 3
2 0	5	0
9) a) 	0	2	0 	b) 	0 
1 1	2	1	0	1
\
10) Encuentre un conjunto generador finito para œ	r	,	, \ ‹ {• 
2 + 4\
3 \
11) Encuentre un conjunto generador finito para œ	u	4\	,	, \ ‹ {ž 
	1	1	0
12) Encuentre todos los valores de K tales que ™hi u 1, 0 ,1 ž	{;. 
	0	1	K
13) Encuentre todos los valores de K tales que ™hi r 5,10 •	{: 
	1	K
		1	1	0
14) 	2 , 1 , 1 , 
	0	1	1
		1	1
15) 	2 , 1 , 
	0	1
	1	0
0 , 1 
1 1
En los ejercicios 14 a 21 determine si los vectores son linealmente independientes 
 
19) 
16) 1,10100 para Ÿ 0 
 
	\	0
17) = > , \,0 
1 1	1	20) 
	\	1	 
18) = > , \,0 , 	 	Ÿ \ 
1 1	0	21) 
5	1	6
3,	0,3 
1	2	3
,\ 
\
,\,\0	 
+ 2
22) ¿Para qué valores de a es linealmente dependiente el conjunto r 1,	•? 
23) ¿Para qué valores de a el conjunto r 2,2• es linealmente dependiente? 
24) ¿Es cierto que el conjunto cuyos elementos son r 1,21,+ 22	• debe ser linealmente dependiente? 
 	 
Serie 28: 	Producto Cruz, Area, Volumen, Identidad de Lagrange−ESPACIOS 
VECTORIALES− 
1) Sean 	O	1,2,	2P, …	 O4,	3,5P , L	O	4,	2,0P Efectúe lasoperacionessiguientes. 
a) ¡ … 	b) 	O¡ …P ¡ L 	c) 	¡ O… ¡ LP 
 	d) 	O	+ …P ¡ L 	e) 	¡ L + … ¡ L 	f) 	+ O… ¡ LP 
2) Sea 	¡ …	O2,1,	5P Determine 
a) … ¡ L 	b) 	2O… ¡	P 
 	 c) 	¡ O10…P 	d) 	O2P ¡ O10…P 
 	 e) 	•¡ …• 	f) 	¿•O2…P ¡	• 
3) Sea · O… ¡ LP 5 Encuentre 
a) O… ¡ LP ·	 	b) 	… ’ O¡ LP 
 	c) 	· OL ¡ …P 	d) 	L · O¡ …P 
4) Sean , … y L vectores en {; 
a) ¡	¡	 	b) 	O¡P ¡	 	 
 	c) 	· O¡ LP 	d) 	O¡P ¡ O… ¡ …P 
 	e) 	¡ … ¡ L 	f) 	¡ O… ¡ LP 	 
 	g) 	¡ O’ LP 	h) 	O¡ LP ’ O… ¡ LP 
 
5) Compruebe la Identidad de Lagrange para 	O	3,4,1P y …	O0,5,	6P 
6) Calcule el seno del ángulo formado por y … para : 
a) O6,1,	2P, …	O7,5,	1P 	b) 	O9,	7,4P, …	O0,	4,3P 
7) Determine un vector unitario perpendicular al plano definido por u O3, 4,0 P y v O7,5, 4P 
8) Encuentre un vector de longitud 4 que sea perpendicular al plano definido por u O1, 1,1P y v O 1,1,0P 
9) ¿Cuál es el área del triángulo cuyos vértices están en (1, 1, 1), (1, −1, −1) y (0, 1, − 1)? 
10) ¿Cuál es el área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son ¥£¤¥¥¥¥¦ £§¥¥¥¥¥¦ siendo 
	£O1, 1, 1P, ¤O1,	1,	1P y §O0, 1,	1P? 
11) Calcule el volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes son los vectores de 
posición (1,-−2, 3), (2, 0, 5) y (0, 4, −1) 
12) Aplique el producto cruz para demostrar que (1, 2, −1) y (−2, −4, 2) son paralelos. 
13) Utilice el criterio para que tres vectores sean coplanares u ’ Ov ¡ wP 0 , y diga en cuàl(es) de los siguientes ejercicios se cumple. 
a) O	1,	1, 9P, …	O0, 1,	3P, L	O	1, 2, 0P 
b) O1,	1, 1P, …	O1, 0, 2P, L	O1,	1, 0P 
14) ¿Es verdad que si 	¡ …	¡ L , y también Ÿ 0 entonces …	L? 
15) ¿Es cierto que si 	¡ …	0 entonces 	0 o …	0 ? 
16) Demuestre O¡ …P ’ L	’ O… ¡ LP 
17) Demuestre la Identidad de Jacobi O¡ …P ¡ L 	 O… ¡ LP ¡	 	 OL ¡	P ¡ …	0 
18) Formula de Euler. Si , … y L son tres lados adyacentes de un tetraedro con origen común, demuestre que el volumen s3e expresa con œ Z’ O… ¡ LP[. Pista, se sabe de la geometría que œ 7; Oà h Žh © \ hPO©P 
 	 
Serie 29: 	Líneas, Planos e Hiperplanos −ESPACIOS VECTORIALES− 
Esto ya no es lo estoy modificando 
Para todos los ejercicios de ésta serie, sean l1, l2, l3 y l4, las lìneas cuyas respectivas ecuaciones paramétricas son : 
	K	5	3	K	1	6
l
 1: 	4	2 	 	l2: 	6	4 , 
	M	2	M	8	2
	K	5	K	14
l
 3: 7 	 	l4: 	2	2 y P, Q, R Y S los puntos ® 
	M	11	M	13	3
	£O5,	4,2P ¤O 2 ,	2,	1P §O1,	2, 2P –O9,	12,	2P 
1) 	¿ Cuáles de los puntos P,Q, R y S están en l1? 2) 	¿ Cuáles de los puntos P,Q, R y S están en l3? 
3) Obtenga 3 puntos en l1. 
4) Encuentre la intersección de l3 con los planos coordenados. 
5) Obtenga todos los pares de rectas paralelas que hay en el conjunto l1, l2, l3 y l4. 
6) Encuentre todos los pares de rectas perpendiculares que hay en el conjunto l1, l2, l3 y l4, 
7) Demuestre que l1, y l4 se intersecan. Determine su punto de intersección 
8) Compruebe que l1, y l3 son rectas sesgadas, es decir, ni son paralelas, ni se intersecan. 
9) Deduzca las ecuaciones simétricas de l1, l2, l3 y l4. 
10) Para cada recta de l1, l2, l3 y l4, obtenga las ecuaciones de dos planos cuya intersección estè definida por la recta dada. Pista: use las ecuaciones simétricas. 
11) Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P y es paralela a iŠ O4, 3,1P. 
12) Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (-1, 4, 5) y es paralela a iŠ O2, 1,3P. 
13) Obtenga las ecuaciones para métricas de la recta que pasa por P y por Q. 
14) Deduzca las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (-1, 0, -2) y por (1, -3, -1). 
15) Formule las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por (-3, 2, -2) y por (-2, 1, -3). 16) 	Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por Q y tiene la dirección Š–§ŠŠŠ 17) 	¿Cuál de los puntos P, Q, R y S pertenece al plano K	3	3M	1	0? 
En los siguientes dos ejercicios encuentre la forma punto-normal de la ecuación del plano que pasa por el punto X y cuya normal es iŠ 
18) ±	O	5,3,	7P iŠ	O	2,5,	8P 
19) ±	O	3, 1,	2P iŠ	O	1,	6, 2P 
20) Determine una ecuación general del plano del ejercicio 18. 
21) Determine una ecuación general del plano del ejercicio 19. 
22) Obtenga una ecuación punto-normal del plano con ecuación general. 
a) 	3K	2	8M	4	0 	b) 	4K	3	7M	3	0 
23) Obtenga una ecuación del plano que pasa por P, Q y R. 
24) Deduzca una ecuación del plano que pasa por (-1, 2, -4) y l1., 25) 	Formule la ecuación del plano que contiene a las rectas l1, y l4. 
26) Deduzca la ecuación del plano que contiene a las rectas l2, y l3. 
27) Encuentre una ecuación del plano que pasa porO	1,3,	2P y es perpendicular O	2,	3,3P 
28) Encuentre una ecuación del plano que pasa porO1,	5,	2P y es paralelo al plano 
	K	2	3M	4	0 
29) Determine las ecuaciones para métricas de la recta de intersección de los planos 
	x	y	z	3	0 y	x	5y	3z	4	0 
30) Calcule el coseno del ángulo que forman los planos 6x	y	z	3	0 y x	3y	z	1	0 
31) Demuestre que los planos cuyas ecuaciones son x y 2z 3 0 y – x 2y V3}2Xz 0 son perpendiculares 
32) Deduzca una ecuación del hiperplano en {@ que pasa por el punto O 1,	1 , 2 ,	2, 3P y es normal a O	 1,3 , 5 ,	2, 6P