322281950-Trabajo-Colab-2

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NAC
IONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD 
 
 
ALGEBRA LINEAL
 
 
 
 
 UNIVERSIDAD NAC
IONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD 
 
 
ALGEBRA LINEAL
 
 
 
 
 
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO
 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
ACTIVIDADES A DESARROLLAR 
 
 
1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales: 
 
	−𝒙	−𝟒𝒚	−𝟕𝒛	=	−𝟏𝟐
	1.1. 	𝟓𝒙	−𝟕𝒚	−𝟑𝒛	=	−𝟓 
	−𝟖𝒙	𝟓𝒚	𝟔𝒛	=	𝟑
 
 
Dejando como matriz ampliada: 
 
 
Transformando en matriz escalonada reducida por método Gauss-Jordán: 
 
 
Entonces el sistema de ecuaciones (1.1.) si tiene solución única, y ésta es: 
 
 
 
El punto en tres dimensiones en donde los tres planos se intersectan es: 
 
	 
 
	
	
	
	
	
	3𝑥 1.2. 
8𝑥
	−𝑦
−3𝑦
	−𝑧
−𝑧
	4𝑤 −2𝑤
	=
=
	10
 
−18
 
 
Dejando como Matriz ampliada: 
 
 
 
Transformando en Matriz escalonada reducida por método de Gauss-Jordán: 
 
 
 
Como ya se tiene la matriz escalonada reducida por el método de Gauss – Jordán, desde el inicio se ha notado que hubo más variables que ecuaciones, entonces, algunas de aquellas variables quedarían como parámetros, recordando que cada columna en la matriz, representa, las distintas variables del sistema de ecuaciones. En consecuencia, tenemos en forma matricial: 
 
 
 
Así, efectuando este producto de matrices se obtiene el sistema de ecuaciones, que evidencia las variables que serían parámetros, y al mismo tiempo la respuesta del ejercicio: 
 
 
 
 
Se observa que las variables x y y dependen de las variables z y w; esto es, las variables z y w desempeñan el papel de variables independientes (parámetros). Finalmente y en consecuencia, el sistema de ecuaciones original de ejercicio (1.2.), tiene infinitas soluciones; cada solución se obtiene cuando se da un valor a cada parámetro z y w. 
 
2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar A-1 ). 
 
	𝒙
	−𝒚
	−𝟕𝒛
	=
	−𝟖
	𝟑𝒙 −𝟓𝒙
	−𝟖𝒚
𝟐𝒚
	−𝟐𝒛
𝒛
	=
=
	−𝟕 
−𝟐
 
Ahora se trata de encontrar A-1, ya que el producto matricial A(b) deja expresado la solución del sistema de ecuaciones, donde b es la matriz columna de resultados de dicho sistema: 
 Identificando la matriz A:
 
Hallando la matriz inversa A-1, se procede así (utilizando el método Gauss-Jordán): 
 
 
Ampliando
 
A
 
con la matriz idéntica
:
 
 
 
Como consecuencia de lo hasta aquí obtenido, la solución del sistema de ecuaciones (2.) se consigue aplicando A(b). Esto implica el siguiente procedimiento: 
 
 
Entonces el sistema de ecuaciones (2) tiene solución única y esta es: 
Que corresponde al punto donde los planos del S.E.L. se intersectan. 
 
 
La intersección de los planos del S.E.L. (sistema de ecuaciones lineales) que se estuvo resolviendo (2.), se muestra a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que: 
 
 
 
3.1. Contiene a los puntos P = (7, -1,1) y Q = (-1,5 - 3) 
 
 
	P = (7,-1,1) 
 
𝑿𝟏 = 𝟕 
𝒀𝟏 = −𝟏 
𝒁𝟏 = 𝟏 
	Q = (-1,5 - 3) 
 
𝑿𝟐 = −𝟏 
𝒀𝟐 = 𝟓 
𝒁𝟐 = −𝟑 
 
 
𝒗 = (𝒂. 𝒃. 𝒄) = (𝑿𝟐 − 𝑿𝟏), (𝒀𝟐 − 𝒀𝟏), (𝒁𝟐 − 𝒁𝟏) 
𝒗 = (𝒂. 𝒃. 𝒄) = (−𝟏 − 𝟕), (𝟓 + 𝟏), (−𝟑 − 𝟏) 
𝒗 = (𝒂. 𝒃. 𝒄) = (−𝟖), (𝟔), (−𝟒) 
⟹ 𝒂 = −𝟖 
	Ecuación simétrica 
	Ecuación paramétrica 
	 
	 
⟹ 𝒃 = 𝟔 ⟹ 𝒄 = −𝟒 𝑿 = 𝑿𝟏 + 𝒂𝒕 ⟹ 𝑿 = 𝟕 − 𝟖𝒕 
 
𝒀 = 𝒀𝟏 + 𝒃𝒕 ⟹ 𝒀 = −𝟏 + 𝟔𝒕 
 
 
𝒁 = 𝒁𝟏 + 𝒄𝒕 ⟹ 𝒁 = 𝟏 − 𝟒𝒕 
 
 
 
3.2. Contiene a P = (5,3,-7) y es paralela a la recta 
 
 
	P = (5,3,-7) 	 
𝑿𝟏 = 𝟓 	⟹ 𝒂 = 𝟑 
𝒀𝟏 = 𝟑 	⟹ 𝒃 = −𝟒 
𝒁𝟏 = −𝟕 	⟹ 𝒄 = 𝟕 
 
 
	
	Ecuación simétrica 
	Ecuación paramétrica 
	 
	 
𝑿 = 𝑿𝟏 + 𝒂𝒕 ⟹ 𝑿 = 𝟓 + 𝟑𝒕 
 
𝒀 = 𝒀𝟏 + 𝒃𝒕 ⟹ 𝒀 = 𝟑 − 𝟒𝒕 
 
 
𝒁 = 𝒁𝟏 + 𝒄𝒕 ⟹ 𝒁 = −𝟕 + 𝟕𝒕 
 
 
 
 
4. Encuentre la ecuación general del plano que: 
 
4.1. Contiene a los puntos P =(-8,5,0) , Q =(5,-4,-8) y R =(-3,-5,1) 
 
	𝑃𝑄 = (−8 − 5), (5 + 4), (0 + 8) ⟹ 
𝑃𝑄 = (−13 , 9, 8) 
	𝑃𝑅 = (−8 + 3), (5 + 5), (0 − 1) ⟹ 
𝑃𝑅 = (−5 , 10, −1) 
 
 
𝑃𝑄 ∗ 𝑃𝑅 = 
	𝑖
[−13
−5
	𝑗
9
10
	 
−1
= 𝑖(−9 − 80) − 𝑗(13 + 40) + 𝑘(−130 + 45) = 
= −89𝑖 − 53𝑗 − 85𝑘 
 
 
	P =(-8,5,0) 	 
	 	 
	 	 
	0 	 
 
 
 
 
4.2 Contiene al punto P =(-7,-8,-3) y tiene como vector normal a 
 
 
	P =(-7,-8,-3) 	 
	 	 
	 	 
	 	 
 
 
 
 
 
 
5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos: 
 
 
 	 
	 	 
 	 
𝑧 = 𝑡 
 
 
 	 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 
JORGE ELIÉCER Rondón Duran, (Segunda edición), 2010 Módulo Cálculo diferencial. 
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Bogotá D.C. 
 
 2
 
 
 2