391908624-Modulo-Algebral-Lineal

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO
 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
05/OCTUBRE/2018 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
En este trabajo cada uno de los estudiantes realiza su aporte individual respecto a los ejercicios que toca desarrollar con su respectivo desarrollo haciendo el paso a paso con las temáticas que tiene abordo donde se van a desarrollar temáticas como vectores, matrices y determinantes; donde cada uno pone en práctica fundamentos, ejercicios y conceptos básicos sobre cada uno de los temas mencionados, obteniendo como resultado la información solicitada para cada uno de los ejercicios. 
De igual forma el estudiante tiene como apoyo el material de las guías y las temáticas que se observan para cada uno de los ejercicios, donde tiene como apoyo la herramienta del editor de ecuaciones de Word y la herramienta de geogebra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tareas a desarrollar. 
 A continuación, encontrará 6 ejercicios que conformaran la tarea 1 esto se desarrollan individualmente, el ejercicio 7 es colaborativo 
 Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes. 
Para el desarrollo de la tarea 1, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 1. 
 Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. 
Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 5 a la 18. Disponible en Entorno de conocimiento. 
 Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 20 a la 77. Disponible en Entorno de conocimiento. 
 Descripción del ejercicio: 
 Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero: 
a) Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector. 
 
b) Vectores en R2 y R3: algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Matrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Para el desarrollo del ejercicio 2 y 3, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 1. 
Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. 
Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 5 a la 18. Disponible en Entorno de conocimiento. 
 Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 20 a la 77. Disponible en Entorno de conocimiento. 
Descripción del ejercicio 2 
Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3. Presentar la solución con editor de ecuaciones. 
 
 
 a) Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector. 
 
Fig 1. Representación gráfica de un vector. 
 
SOLUCIÓN: 
MODULO 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
DIRECCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SENTIDO 
 
 
 
 
 
 
 
-
 
 
+
 
+
 
+
 
-
 
-
 
 
 
+
 
-
 
 
RTA: el sentido es positivo, positivo 
 
a) Dados los siguientes vectores en forma polar 
 
· 
· 
SOLUCIÓN 
 
 
2
 
 
 
 
120
°
 
Y= 1.7
 
 	X = -1 
 
Usamos la función Coseno para X 
 
Cambiamos de orden 
Usamos la función Seno para Y 
 
Cambiamos de orden 
 
 
3
 
 
 
 
6
0
°
 
Y= 2.6
 
 	X= 1.5 
 
Usamos la función coseno para X 
 
Cambiamos de orden 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usamos la función Seno para Y 
 
cambiamos de orden 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Realice analíticamente, las operaciones siguientes: 
 
· 
· 
 
 Producto escalar 
‖
 
̅
 
 
̅
‖
 
 
|
 
|
 
 
 
 
̅
 
 
̅
 
|
 
̅
|
 
 
‖
 
̅
 
 
̅
‖
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
‖
 
̅
 
 
̅
‖
 
 
 
 
 
 
‖
 
̅
 
 
̅
‖
 
√
 
 
‖
 
̅
 
 
̅
‖
 
 
 
 
 
 
c) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores: 
● = 2i + 9j y = -6i – 4j 
 
SOLUCIÓN 
 
Por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
 
 
 
 
|
√
 
|
 
|
√
 
|
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
√
 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Encuentre la distancia entre los puntos: 
 
● (3, -4, 7); (3, -4,9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
	i 
	j 
	K 
	-7 
	9 
	-8 
	9 
	3 
	-8 
 
	i 
	j 
	k 
	 
 
 
	i 
	j 
	K 
	
	i 
	j 
	k 
	-7 
	9 
	-8 
	
	 -7 
	9 
	-8 
	
	-7 
	9 
	-8 
	9 
	3 
	-8 
	
	9 
	3 
	-8 
	
	9 
	3 
	-8 
9
 
-
8
 
3
 
-
8
 
-
7
 
-
8
 
9
 
-
8
 
 
-
7
 
9
 
9
 
3
 
k
 
J
 
i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRODUCTO ESCALAR ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3: 
 Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 2, resuelve el siguiente problema: Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle 
(a) las componentes de cada desplazamiento, 
(b) las componentes del desplazamiento resultante, 
(c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, 
(d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque. 
SOLUCIÓN (a) las componentes de cada desplazamiento, 
 
· 
 
 
 
 
m
 
2.60
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
· 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3.86 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) las componentes del desplazamiento resultante, 
 
 
 
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, 
 
 MAGNITUD 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DIRECCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABAJO REALIZADO COMPAÑERA JULIA CAROLINA GUERRERO 
b) Vectores en R2 y R3: algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial. 
MAPA CONCEPTUAL 
 
 
Descripción del ejercicio 2 
Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3.< Presentar la solución con editor de ecuaciones. 
a) Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector: 
 
 
 	y 	(12,9) A
 
 
 x 
Fig 1. Representación gráfica de un vector. 
 modulo 
Coordenadas 
 
‖
 
‖
→
 
 
√
 
 
‖
 
‖
→
 
 
 
 
El modulo del vector es 15 
 dirección 
 
 
 
‖
 
‖
→
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La dirección del vector es 37° NE 
 sentido 
el sentido lo determinamos mediante la gráfica ya que el vector sale del punto (0,0) y termina en el punto (12,9); ya que la flecha lo indica; entonces decimos que el sentido del vector es . 
b) Dados los siguientes vectores en forma polar 
· 
· 
Realice analíticamente, las operaciones siguientes: 
● 
 Productoescalar 
 
 
 ‖
 
̅
 
 
̅
‖
 
√
 
‖
 
̅
 
 
̅
‖
 
 
 
 
 
● 
Primero definimos las coordenadas rectangulares de los 2 vectores 
Coordenadas rectangulares de 
Coordenadas rectangulares de 
 
Efectuamos las multiplicaciones y tenemos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⃗
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores: 
● 
 
 
 
 
⃗
 
 
 
 
|
 
⃗
 
|
 
|
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
√
 
)
 
 
 
 
 
 
d) Encuentre la distancia entre los puntos: 
● (3,-4, 7) ; (3,-4,9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. 
● u = -7i + 9j- 8k v = 9i + 3j -8k 
Producto cruz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Producto escalar 
 
⃗
 
 
 
 
 
〈
 
 
 
 
 
 
 
〉
 
〈
 
 
 
 
 
 
〉
 
 
⃗
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⃗
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⃗
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 2 
Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle 
(a) las componentes de cada desplazamiento 
(b) las componentes del desplazamiento resultante 
(c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante 
(d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque. Solución 
· Representamos los desplazamientos con las letras L,M,N y determinamos sus componentes en coordenadas rectangulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
· Determinamos las componentes del vector resultante 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
]
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
· Hallamos la magnitud y dirección desplazamiento resultante 
 
|
 
 
|
 
√
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
|
 
√
 
 
 
 
 
 
|
 
 
|
 
√
 
 
 
 
|
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
Respuestas 
(a) las 	componentes 	de 	cada 	desplazamiento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) las componentes del desplazamiento resultante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante: magnitud , dirección 
 
 
 
 
 
 
 
Descripción del ejercicio 4 
a) Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales: 
 
 
A= Compruebe sus respuestas en Geogebra. 
b. Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de sarrus 
2 10 7 0
0 5 4 1
 
0 10 0 0
	0	0	0 6
Tomamos la primer columna para reducir los determinantes 
 
Las matrices que están multiplicadas por cero no se calculan ya que todo número multiplicado por cero es cero, entonces solo determinamos la matriz que esta multiplicada por 2. 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LA DETERMINATE ES -480 
LA DETERMINANTE ES -10 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LA DETRMINANTE DE B ES -376 
Y realice las siguientes operaciones si es posible: 
a) B*C 
b) DET(C)*DET(A)*B 
 
c) 3 * A 
2*3 10*3 7*3 0*3
0*3 5*3 4*3 1*3
 
0*3 10*3 0*3 0*3
	6
0
 
0
0
	30
15
30
0
	21
12
0
0
	0
3
 
0
18
	0*3	0*3 0*3 6*3
 
d) Compruebe todas sus respuestas en Geogebra 
 
 
 
Descripción del ejercicio 3 
 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 4, resuelve el siguiente problema: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos. 
DATOS 
BANDEJAS 
A,B,C 
QUESOS 
Manchego, roquefort, camembert 
 Estamos hablando de una matriz 3x3 entonces ubicamos los datos 
 
	 	 
MANCHEGO= (2000+9600+15000)=26600gr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ROQUEFORT=(8000+9600+8000)=25600gr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAMEMBERT=(4000+9600+8000)=21600gr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se necesitan 26,6kg de queso manchego,25,6 kg de queso roquefort, y 21,6 kg de queso camembert. 
 
 
Ejercicio 6 
Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: 
 A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. 
 B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. 
C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. 
En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg. 
· Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula 
 
· Compruebe todas las respuestas en Geogebra Solución 
· Representamos los datos en 2 tablas que conformaran las matrices 
	
	Matriz m
	 
	Peras 
	manzanas 
	naranjas 
	A 
	
	2kg 
	1kg 
	6kg 
	B 
	
	2kg 
	2kg 
	4kg 
	C 
	
	1kg 
	2kg 
	3kg 
 
	
	Matriz n
	 
	F1 
	F2 
	peras 
	
	1.5euros/kg 
	1.8 euros/kg 
	manza
	nas 
	1 euro/kg 
	0.8 euros/kg 
	naranja
	s 
	2 euros/kg 
	2 euros/kg 
 
· Representamos las tablas en forma de matrices 
 
· Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán 
 
INVERSA DE LA MATRIZ POR GAUSS 
 
· Hallamos la determinante de la matriz 
 
· Calculamos la transpuesta dela matriz 
 
· Hallamos la matriz adjunta 
 
 la inversa por determinantes 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
TRABAJO REALIZADO COMPAÑERA JEFERSON DANILO GUTIERREZ 
 
MAPA CONCEPTUAL 
(Vectores en r2 y r3: noción de distancia, definición algebraica de vector) 
 
 
Descripción del ejercicio 7 
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de espacios vectoriales, sin embargo es un enfoque de estudio que aplica a casi cualquier cosa de nuestra vida cotidiana, tales como en la solución de problemas de nuestra vida, en la salud, en los sistemas que a diario manejamos, en la administración, ingenierías. Ejemplo: 
 Fig 2. Representación vectorial del movimiento del auto entre dos puntos. 
Entrega final De acuerdo a lo anterior, el grupo debe preparar una presentación en PREZI, en el cual deben definir lo siguiente: 
a) Usos del álgebra lineal en la vida cotidiana 
b) Cómo influye el álgebra lineal en el programa de estudio escogido (aplicación) 
c) Cada integrante del grupo aporta en el foro un uso del álgebra lineal en la vida diaria y la influencia de ésta ciencia en el programa de estudio escogido, no deben repetir información que su compañero ya haya aportado en el foro. 
d) Debe incluir: Introducción, contenido de la presentación, conclusiones y bibliografía según normas APA. 
 
SOLUCIÓN 
LINK VIDEO EN PREZI http://prezi.com/vpqnccu_doaw/?utm_campaign=share&utm_medium=copy CONCLUISONES 
 
· Con el desarrollo del presente trabajocolaborativo Fase No 1, comprendimos que la temática que se desarrolló se manejaron tres conceptos donde podemos concluir que un vector es un agente que transporta algo de un lugar a otro y en donde se obtiene su módulo, dirección y sentido, que una matriz podemos concluir que en esta podemos calcular un arreglo de filas y columnas en donde cada una de estas contiene una determinada información y los determinantes son el resultado de las matrices cuadradas arrojándonos como resultado un número real BIBLIOGRAFIAS 
 
 
· Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional 
	Abierta 	y 	a 	Distancia. 	Páginas 	5 	a 	la 	11. 	Recuperado 	de 
: http://hdl.handle.net/10596/7081 
· Vargas, J. Operaciones entre vectores y ángulo entre ellos. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado dehttp://hdl.handle.net/10596/7108 
· Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Colombia: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la 
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