396487231-Trabajo-Final-de-Algebra-Lineal-Equipo-3-pdf

Vista previa del material en texto

Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO
 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
Resumen:	2 
Introducción:	3 
Desarrollo:	4 
 Circuitos eléctricos sencillos:	4 
 Cuerda Vibrante con Tres Masas:	4 
 Redes de cuatro terminales:	4 
 Mecánica Cuántica:	5 
 Coordenadas generalizadas:	5 
 Matriz de flexibilidad de Maxwell:	6 
 Los ángulos de Euler:	6 
 Los ejes principales de inercia:	7 
 Oscilaciones de péndulo doble:	7 
 Teoremas de Euler y Chasles sobre desplazamiento de cuerpo rígido:	7 
Conclusiones:	9 
Anexos:	10 
Bibliografía:	15 
 
 	 
Resumen: 
 El álgebra tiene numerosas aplicaciones en la vida cotidiana, uno de los aspectos fundamentales sobre el cual incide es en la física. En la física se utiliza el álgebra para la resolución de diversas problemáticas, las cuales se conocen como aplicaciones, de estas podemos mencionar algunas como: modelos matriciales para circuitos eléctricos, también en funciones donde es necesario encontrar el área, perímetro, son funciones expresadas por variables, también las funciones de conmutación que describen cada una de las salidas de un sistema digital para todas las posibles combinaciones de entrada. En física, el álgebra del espacio físico (AEF) es el Clifford o algebra geométrica del espacio euclideo tridimensional con énfasis en su estructura paravectorial, puede ser usada para construir un formalismo compacto, unificado y geométrico para la mecánica tanto clásica como cuántica. La electrodinámica clásica o el campo electromagnético está representado por un bi-paravector F. Estas son solo algunas de las aplicaciones que tiene el álgebra en la física. 
 
Abstract: 
 Algebra has many applications in everyday life, one of the fundamental aspects on which it affects is in physics. In physics, algebra is used to solve numerous problems, which are known as applications, of this we can mention some like: Matrix model for electrical principles, also in functions where it is necesary to find the area, perimeter, are functions expresed by variables, also the switching functions that describe each of the outputs of a digital system for all possible input combinations. In physics, the algebra of physical space (APS) is the Clifford or geometric algebra of the Euclidean space three-dimensional, with emphasis on its paravectorial structure, it can be used to build a compact, unified and geometrics formalism for both elastic and quantum mechanics. Classical electrodynamics or the electromagnetic field is represented by a bi-paravector F. These are just some of the applications that algebra has in physics. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introducción: 
 El Álgebra Lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, matrices y sus transformaciones. Es un área activa que tiene conexiones con múltiples espacios dentro y fuera de las matemáticas como: en el análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadoras y la mecánica cuántica. 
 En la actualidad el Álgebra Lineal ha constituido una teoría matemática de generalizaciones y nuevos métodos de análisis, llegando a convertirse en una herramienta importantísima en diversos campos de la industria y la investigación. Algunas áreas que muestran el avance logrado bajo su aplicación son: la Ingeniería Geofísica para el pronóstico numérico del tiempo, la Ingeniería Civil en la investigación de materiales para conocer el comportamiento de estos bajo condiciones de trabajo, la Ingeniería de Telecomunicaciones en cuanto al marcado de las señales digitales, y, sobre todo, la Física Pedagógica e Investigativa, a la cual está dedicada cada una de las pautas mostradas en este trabajo, mostrando los múltiples avances logrados gracias a la aún hoy necesaria rama de las matemáticas. De esta forma, concientizamos que el ingeniero actual, debe convencerse de que el Álgebra Lineal es una herramienta indispensable en su desarrollo como 
profesional. 
 Esperamos que la infraestructura de este trabajo sirva como fuente de conocimiento especialmente a los futuros Ingenieros Bioinformáticos que transcurren por estudios del Álgebra Lineal y a todo lector que llegue a poseer en sus manos la información aquí contenida. 
Con genuina dedicación, Los autores. 
 
 	 
Desarrollo: 
 Circuitos eléctricos sencillos: 
 Un ejemplo de un sistema con solución única. La unicidad de la solución es clara por razones físicas. [1] (Véase Sección de Anexos Fig. 1: Ejemplo de circuitos eléctricos sencillos) 
 
Ejemplo experimental: 
 SPICE (Programa de simulación con énfasis en circuitos integrados) fue desarrollado por la Universidad de California, Berkeley en 1973 por Donald O. Pederson y Laurence W. Nagel. Es un estándar internacional cuyo objetivo es simular circuitos electrónicos analógicos compuestos por resistencias, condensadores, diodos, transistores, etc. Para ello hay que describir los componentes, describir el circuito y luego elegir el tipo de simulación (temporal, en frecuencia, en continua, paramétrico, Montecarlo, etc.). Este funciona de manera que si por una bobina fluye una corriente que varía en el tiempo, se produce un flujo magnético y por ende un voltaje en esta. Si acercamos otra bobina observamos que las líneas de flujo inciden de manera que recíprocamente en esta se induce un voltaje y si existe trayectoria posible, también existirá una corriente. El voltaje que se induce en la segunda bobina es proporcional al cambio de la corriente de la primera bobina. 
 
 Cuerda Vibrante con Tres Masas: 
 Desde el punto de vista de los sistemas de ecuaciones lineales que resulten donde las soluciones representan los tres modos de vibración libre de la cuerda. Con ella se reconocen los valores propios como las frecuencias de vibración libre, y los vectores propios como los modos de vibración libre. [2] (Véase Sección de Anexos Fig.2 Descripción de cuerdas vibrantes) 
 
Ejemplo experimental: 
 El tubo de rayos catódicos (CRT, del inglés Cathode Ray Tube) es una tecnología que permite visualizar imágenes mediante un haz de rayos catódicos constante dirigido contra una pantalla de vidrio recubierta de fósforo y plomo. El fósforo permite reproducir la imagen proveniente del haz de rayos catódicos, mientras que el plomo bloquea los rayos X para proteger al usuario de sus radiaciones. Fue desarrollado por William Crookes en 1875. Se emplea principalmente en monitores, televisores y osciloscopios, aunque en la actualidad se está sustituyendo paulatinamente por tecnologías como plasma, LCD, LED. 
 
 Redes de cuatro terminales: 
 Un ejemplo eléctrico para introducir la multiplicación de matrices de una manera natural son los circuitos en que se define un par de terminales como puerto de entrada y otro par de terminales como puerto de salida [3]. Ejemplos de redes de dos puertos son los amplificadores y los filtros. Una red de dos puertos puede conectarse con un generador o una carga. También puede conectarse con otra red de dos puertos para constituir una red de dos puertos más compleja. (Véase Sección de Anexos Fig. .3 Descripción de redes con cuatro terminales) 
 
Ejemplo experimental: 
 La distinción más común de los Módems de PC es la que suele hacerse entre módems internos y módems externos, aunque han aparecido módems llamados módems software, más conocidos como winmódems o linuxmódems, que han vuelto complejo el panorama. La principal ventaja de estos módems reside en su mayor integración con el ordenador, ya que no ocupan espacio sobre la mesa y reciben energía eléctrica directamente del propio ordenador. Además, suelen ser algo más baratos debido a que carecen de carcasa y transformador, especialmente si son PCI (en este caso, son casi todos del tipo módem software). Porel contrario, son algo más complejos de instalar y la información sobre su estado sólo puede obtenerse por software. 
 
 Mecánica Cuántica: 
 Una perspectiva sobre un trabajo de Dirac en la física usando matrices de orden cuatro ([3] pág 186 a 187) (Véase Sección de Anexos Fig.4 Descripción visual de la mecánica cuántica) 
 
Ejemplo experimental: 
 El Espectro de la radiación del cuerpo negro, resuelto por Max Planck con la cuantización de la energía. La energía total del cuerpo negro resultó que tomaba valores discretos más que continuos. Este fenómeno se llamó cuantización, y los intervalos posibles más pequeños entre los valores discretos son llamados quanta (singular: quantum, de la palabra latina para «cantidad», de ahí el nombre de mecánica cuántica). La magnitud de un cuanto es un valor fijo llamado constante de Planck, y que vale: 6.626 ×10-34 julios por segundo. El universo comenzó hace 15 mil millones de años con una gran explosión. Los astrofísicos que elaboraron esa teoría hicieron la predicción de que la energía presente en los primeros momentos del universo debe existir aún en el espacio y debe tener un espectro de Cuerpo Negro (a esta energía se le llama radiación cósmica de fondo).El 13 de enero de 1990 el astrofísico John C. Mather anunció al mundo el resultado de la medición del espectro de la radiación cósmica de fondo obtenida por el proyecto COBE de la NASA: resultó ser exactamente un espectro de cuerpo negro correspondiente a una temperatura de 2.725 Kelvin. 
 
 Coordenadas generalizadas: 
 Un ejemplo de un espacio vectorial de seis dimensiones, muy utilizado en la física. [4] (Véase Sección de Anexos Fig.5 Ejemplo de coordenadas generalizadas) Ejemplo experimental: 
 En trasbordador Columbia (primer trasbordador de Estados Unidos, producto de diez años de investigación) fue elevado majestuosamente desde la plataforma de lanzamiento en una mañana fresca de abril en 1981.Es más que importante de por sí, los sistemas de control de los transbordadores espaciales, pues, resultan absolutamente críticos para el vuelo por su fuselaje inestable, requiriendo constante vigilancia desde computadora durante el vuelo atmosférico. Los sistemas de control de vuelo envían una corriente de comandos a la superficie de control aerodinámicas y a 44 pequeños impulsores de propulsión a chorro. Los símbolos de empalme muestran donde se añaden las señales de diversos sensores a la señal de la computadora, estas señales son funciones y pueden sumarse y multiplicarse por escalares, teniendo operaciones con funciones con propiedades algebraicas completamente análogas a las operaciones de suma de vectores en Rn y multiplicación de un vector por un escalar, por tanto, al conjunto de todas las posibles entradas, funciones, se denomina espacio vectorial. 
 
 Matriz de flexibilidad de Maxwell: 
 Un excelente ejemplo de un operador lineal (en un rango de Vn en Vn, donde n lo puede escoger el lector. Queda patente aquí la relación entre matrices y transformaciones y los beneficios que se obtienen de esta relación. La matriz de flexibilidad resulta ser simétrica y generalmente invertible. Una demostración se hace usando transformaciones no singulares. Su inversa se conoce como la matriz de rigidez. [5] (Véase Sección de Anexos Fig.6 Ejemplaridad puesta en práctica de matriz de flexibilidad de Maxwell) 
Ejemplo experimental: 
 Espuma viscoelástica, es un sólido deformable ya que tiende a recuperar su forma para esfuerzos ligeros, aunque el modo de recuperación es retardado a diferencia de un sólido elástico en que la respuesta es prácticamente instantánea. Es básicamente igual que un hule espuma, solamente que algunos productos químicos que se utilizan en su fabricación son un poco diferentes y logran la propiedad de «memoria» que tiene este material. Esta espuma se comporta de diferente manera dependiendo de la temperatura a la que esté. Cuando está fría, es más dura y cuando está caliente se vuelve más suave. Esta espuma se adapta a la forma del cuerpo, disipando muy bien la presión, lo que hace que se emplee para distintas aplicaciones médicas y de descanso. 
 
 Los ángulos de Euler: 
 El resultado básico es que si A pertenece a SO(3), A se puede expresar como la composición de tres rotaciones planas. Hay aplicaciones a la física a través de las computadoras. [6] (Véase Sección de Anexos Fig.7 Esquematización de los ángulos de Euler) 
 
Ejemplo experimental: 
 La suspensión cardán (del francés cardan, por alusión a Girolamo Cardano, 1501-1576, médico y escritor italiano) es un mecanismo de suspensión consistente en dos aros concéntricos cuyos ejes forman un ángulo recto, lo cual permite mantener la orientación de un eje de rotación en el espacio, aunque su soporte se mueva. Fue descrito por Girolamo Cardano en 1550 pero su invención es muy anterior. Aparece en un escrito de Filón de Bizancio, ingeniero griego que vivió en Egipto en el siglo III a.C. Se utiliza para montar giróscopos (masas rotatorias) sobre este, con el propósito de orientar sus ejes de rotación en cualquier dirección del espacio. 
 
 Los ejes principales de inercia: 
 Su teorema se utiliza para demostrar que para cualquier cuerpo existen tres direcciones principales de inercia y que son ortogonales. [7] (Véase Sección de Anexos Fig.8 Descripción de los ejes principales de inercia) 
 
Ejemplo experimental: 
 El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo, en movimientos giroscópicos como en una bailarina, la cual tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae. 
 
 Oscilaciones de péndulo doble: 
 Analizado a través de sistemas de ecuaciones diferenciales con acoplamiento dinámico se llega al sistema AX +BX =0, pero como ni A ni X son múltiplos de I se necesita una técnica más refinada. [8] (Véase Sección de Anexos Fig.9 Esquematización de un péndulo doble y péndulos en movimiento) 
 
Ejemplo experimental: 
 Un péndulo doble o doble péndulo es un sistema compuesto por dos péndulos, con el segundo colgando del extremo del primero. En el caso más simple, se trata de dos péndulos simples, con el inferior colgando de la masa pendular del superior. Normalmente se sobreentiende que nos referimos a un doble péndulo plano, con dos péndulos planos coplanarios. Este sistema físico posee dos grados de libertad y exhibe un rico comportamiento dinámico. Su movimiento está gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por encima de cierta energía, su movimiento es caótico. 
 
 Teoremas de Euler y Chasles sobre desplazamiento de cuerpo rígido: 
 El resultado clave consiste en un buen entendimiento de los valores propios y los vectores propios de las matrices que pertenecen al grupo ortogonal especial, SO (3). Esta aplicación puede ser utilizada para ilustrar el teorema espectral. ([5] pág 118 a 124) (Véase Sección de Anexos Fig.10 Ejemplificación de los teoremas de Euler y Chasles acerca del desplazamiento de cuerpos rígidos) 
 
Ejemplo experimental: 
 En matemáticas, y más especialmente en álgebra lineal y análisis funcional, el teorema de descomposición espectral, o más brevemente teorema espectral, expresa las condiciones bajo las cuales un operador o una matriz pueden ser diagonalizados (es decir, representadas como una matriz diagonal en alguna base). Se identifica así, un tipo de operadores lineales que pueden representarse como una multiplicación de operadores. Ejemplos de los operadores a los que se aplica este teorema son los operadores autoadjuntos, o más en general, los operadoresnormales en espacios de Hilbert y se define como un espacio de producto interior que es completo con respecto a la norma vectorial definida por el producto interior. Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y para generalizar el concepto de series de Fourier, ciertas transformaciones lineales tales como la transformación de Fourier, y son de importancia crucial en la formulación matemática de la mecánica cuántica; los espacios de Hilbert y sus propiedades se estudian dentro del análisis funcional. El Teorema Espectral, proporciona, además, una descomposición canónica (llamada descomposición espectral) del espacio vectorial sobre el cual actúa el operador. 
 
 	 
 	 
Conclusiones: 
 En este trabajo se exponen altísimas posibilidades para adquirir conocimientos del Álgebra Lineal y sus aplicaciones en la física q se puede usar en la vida cotidiana y profesional, dado q ante un problema practico vinculado con su especialidad y donde su solución sea usando los conocimientos del algebra lineal le exige desarrollar sus capacidades mentales generales, es decir, adquiere un método de razonamiento que puede ayudar a otras situaciones futuras en la vida. 
 La contribución del Álgebra Lineal al desarrollo de la física radica especialmente en los contenidos expresados anteriormente exaltando la mecánica cuántica y la creación de circuitos eléctricos sencillos que han permitido la elaboración de resistencia, condensadores, transistores entre otros proyectos que han traído consigo un gran desarrollo no solo en la economía sino también en la tecnología. Además de que todo conlleva a un gran aporte a la formación para la vida de nosotros los futuros ingenieros. Por lo que esperamos que haya sido de gran satisfacción para todo lector el trabajo realizado y haya aportado grandes volúmenes de conocimiento a los futuros Ingenieros Bioinformáticos. 
 Muchas Gracias 
 	 
PAGE 2 
PAGE 2 
Anexos: 
Fig 1:Ejemplo de circuitos eléctricos sencillos 
 
Fig.2 Descripción de cuerdas vibrantes 	 
PAGE 
Fig.3 Descripción de redes con cuatro terminales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.4 Descripción visual de la mecánica cuántica 
 
 
Fig.5 Ejemplo de coordenadas generalizadas 
 
 
 
 
Fig.6 Ejemplaridad puesta en práctica de matriz de flexibilidad de Maxwell 
 
 
Fig.7 Esquematización de los ángulos de Euler 
 
Fig.8 Descripción de los ejes principales de inercia 
 
 
10 
PAGE 2 
PAGE 2 
Fig.9 Esquematización de un péndulo doble y péndulos en movimiento 
 
Fig.10 Ejemplificación de los teoremas de Euler y Chasles acerca del desplazamiento de cuerpos rígidos 
 
PAGE 
Bibliografía: 
[1] Pág 124 a 218, sección 3.4,10.3,y 18.1 de Noble.B Applications of Undergraduate Mathematics, in Engineering.New York, The Macmillan Company,1967 
[2] Pág 274 a 278, Sección 14.3 de Noble, B. Applied Liner Algebra, ENglewood CLiffs,New Jersey, Prentice Hall, Inc, 1950 
[3] Pág 62 a 67 de Summer Conference for College Teachers on Applied Mathematics University o f Missouri rolla, 1971.Berkeley,California,CUMP,1973 
[4] Pág 93 a 97 y 107 a 109,Sección 11.1 de Goldestein, Herbert.Classical Mecanics,Reading,Massachusetts, Addison Wesley Publishing Company,Inc., 1950 
[5] Pág 68 a 70 Davis, P.J The Mathematics of Matrices.Waltham, Massachusetts, Blaisdell Publishing Company, 1965 
[6] Hurley, Dennis P. et al. Teoría de Rotaciones con aplicaciones a la estereoquímica,apuntes del I.P.N., 1974 
 
[7] Harley dennis P. et al. Momentos de Inercia, apuntes, E.S.F.M. , del I.P.N., 1974 
 
[8] Pág 285 a 291 Nering, E. D Linear Algebra and Matriz Theory, 2da Ed, New York, John Wiley and Sons, Inc., 1970 
 
 
10 
10 
PAGE 2