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Trabajo Colaborativo Álgebra Lineal 
Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas 
 
Trabajo Colaborativo Álgebra Lineal 
Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas 
 
 
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CLASE: algebra lineal
Trabajo 
PRACTICA 
GRUPO:8105
NOMBRE DEL PROFESOR: ALBERTO HIGUERA GARCIA
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: SEPTIEMBRE DEL 2021
Trabajo Colaborativo - Álgebra Lineal 
Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas 
 
RESUMEN 
En la actualidad, los sistemas criptográficos no pueden ser considerados solo como retos que activan la imaginación de los seres humanos, es por ello que las matemáticas aplicadas proponen nuevos desafíos que generan diferentes preguntas acerca de la enseñanza de las matemáticas; con base en esto, el presente trabajo se centra en la solución de problemas que involucren mensajes ocultos, enigmas o secretos para nosotros como estudiantes de educación profesional. El propósito es promover el aprendizaje de los objetos matemáticos, en particular las estructuras de matrices y la solución de sistemas de ecuaciones lineales a través de la Criptografía, debido a que sus aplicaciones contribuyen al avance de la ciencia y la tecnología. 
El álgebra lineal no solo aporta, al perfil del ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico y algorítmico si no también modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas. 
Muchos fenómenos de la naturaleza, que se presentan en la ingeniería, se pueden aproximar a través de un modelo lineal. Esta materia nos sirve para caracterizar estos fenómenos y convertirlos en un modelo lineal ya que es más sencillo de manejar, graficar y resolver que uno no lineal, de allí la importancia de estudiar álgebra lineal. 
La actividad está diseñada para el logro de competencias específicas dirigidas al entendimiento de los dominios: números complejos, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, base y dimensión de un espacio vectorial y transformaciones lineales. 
Esta materia proporciona además conceptos matemáticos que se aplicarán en ecuaciones diferenciales y en otras materias de la especialidad. 
 
lineales, Resolución de problemas, Determinantes, Vectores. Palabras Claves: Criptografía, Descifrar, Matrices, Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN. 
La criptografía es el arte que permite construir mensajes secretos y la sofisticación de sus técnicas está en relación directa con los avances de la ciencia. Es así, que a través de la historia de la humanidad tal arte se ha convertido en una medida del avance tecnológico y cultural de las civilizaciones, debido a que ha posibilitado solucionar situaciones problemas que afectan a los seres humanos. En las matemáticas y sus aplicaciones constituyen un recurso esencial para la fundamentación y adquisición de la estructura lógica que necesita una persona para generar estrategias de solución ante cualquier situación que afecte su entorno o el de los demás. 
Por tanto, la propuesta utilizada en este módulo tiene como propósito diseñar actividades con acertijos o mensajes secretos que favorezcan la enseñanza y aprendizaje de conceptos matemáticos, en especial la estructura de las matrices en la solución de ecuaciones lineales; con la ayuda de una de las aplicaciones más interesantes de la Aritmética Modular: la criptografía. 
La Criptografía es un excelente vehículo para presentar conceptos matemáticos fundamentales en el alumno mediante la resolución de problemas y promoción en el trabajo colaborativo. Al respecto argumentamos que la criptografía contiene elementos de motivación e intriga como el suspenso o el espionaje que hacen que se perciba como un juego. 
Las actividades diseñadas se proyectan para nosotros como estudiantes, donde pondremos a prueba nuestras habilidades de encontrar mensajes secretos a través del criptoanálisis en acertijos y textos cifrados, que requieran el estudio riguroso de métodos criptográficos clásicos que conlleven a un proceso intuitivo del concepto, su definición formal para llevar a la practica la solución de este tipo de enigmas. A partir de esto, se pretende estudiar conceptos de matrices, sus operaciones, la inversa de una matriz y solución de ecuaciones; empleando principalmente el cifrado de Lester Hill 
Para la realización del presente trabajo se ha realizado una recopilación de distintos textos, y páginas obtenidas del internet, que mediante la incorporación de conceptos claves de cada uno de ellos se ha podido realizar de una manera clara el trabajo, tratando de presentar los temas con conceptos propios, sacándolos del entendimiento personal. 
 
 
OBJETIVOS. 
OBJETIVO GENERAL. 
Desarrollar las capacidades analíticas y el pensamiento lógico riguroso a través de la práctica del cifrado poligráfico de Lester S. Hill y a su vez asimilar o manejar con fluidez los principales conceptos del álgebra lineal: espacios vectoriales, aplicaciones lineales, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. 
OBJETIVOS ESPECIFICOS. 
1. Establecer las conexiones entre los conceptos básicos de la teoría de espacios vectoriales y la teoría de sistemas de ecuaciones lineales, se aplica la teoría de sistemas de ecuaciones lineales como modelo en la resolución de problemas, se establecen las conexiones entre la teoría de matrices y la de transformaciones lineales. Se introducen los conceptos de valor y vector propio mismos que se aplican en la resolución de problemas. 
 
2. Que nosotros como estudiantes comprendamos el conjunto de conocimientos relacionados con los vectores, matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y situaciones particulares en diferentes campos del saber. 
 
3. Se espera que el final manejemos los contenidos mínimos, a saber: Estructuras Algebraicas, sistemas de ecuaciones lineales y matrices, determinantes, vectores. 
 
 
MARCO TEORICO. 
 
1.1 Sistema de Hill 
El cifrado de Hill es un sistema criptográfico poli alfabético, quiere decir que un mismo signo o letra puede ser representado en un mismo mensaje con más de un carácter. Fue inventado por Lester S. Hill en el año 1929 y está basado en el álgebra lineal, específicamente las reglas del algebra de matrices y era sumamente practico para trabajar con más de tres símbolos simultáneamente en la segunda guerra mundial. Las indicaciones para su uso son: 
· Asignar un valor numérico a cada letra del alfabeto a utilizar iniciando en cero. 
 
· La clave a utilizar debe constar de tantas letras como se desee siempre que sea posible colocar los equivalentes numéricos de cada una de ellas en una matriz de NxN. 
 
· El mensaje clave (Mcla) se divide en diagramas, trigramas o N-gramas necesarios, tal que sus equivalentes numéricos sean colocados en matrices de Nx1 
 
· El criptograma se obtiene multiplicando las matrices K*Mcla, K= matriz clave que debe ser cuadrada K(NxN) * Mcla (Nx1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICACIÓN. 
1.2 A partir de la consulta anterior, con sus propias palabras, describa el paso a paso para cifrar la palabra DEDICACIÓN empleando la matriz clave y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo “_” representa el espacio entre las palabras). 
 
El ciframiento de DEDICACION = 3 4 3 8 2 0 2 8 15 13 
Con clave 
 Como la matriz clave es cuadrática 2x2 solo podemos encriptar de a 2 letras y se obtiene realizando los productos. 
Se observa que esta matriz es válida como clave, dado que: 
 
1. Letras D = 3 E= 4 
 Debemos 
convertir el número negativo a positivo de la siguiente manera: al número negativo le sumamos la congruencia modular que en este caso es 29. 
 
2. Letras D = 3 I= 8 
 
Para pasar a positivo 
3. Letras C = 2 A= 0 
 
4. Letras C = 2 I= 8 
1	−1	 2 	1 ∗ 2 − 1 ∗ 8	 2 − 8	−6 
[	] [	] = [	] = [	] = ⌊	⌋ 
0	 1	8	0 ∗ 2 + 1 ∗ 8	0 + 8	 8
−6 + 29 	23 	 𝑊 para pasar a positivo [	] = [ 	] = [	]
	8	8	𝐼
5. Letras O = 15 N= 13Según el proceso realizado la palabra "DEDICACION" encriptada es .EXICAWICN 
1.3 Describir el proceso (paso a paso) para desencriptar el mensaje obtenido en el punto anterior. 
El mensaje del punto 1.2 fue: .EXICAWICN, para desencriptarlo o descifrarlo por medio del método de HILL se debe realizar: 
 
Paso 1: se halla el determinante de la matriz clave (llamaré matriz clave K): 
 
K= D= (1 ∗ 1) - (-1 ∗ 0) D = 1- 0 = 1 
El determinante de la matriz es 1 
 
Paso 2: una vez hallado el determinante procedemos a invertir la matriz. 
 
A invertida lo que hacemos es intercambiar de lugar a con d y b y c cambian de signo. 
K= invertida 
Paso 3: después lo que hacemos es ubicar el determinante sobre uno y lo multiplicamos por la matriz invertida así: 
 al multiplicarlo por uno queda igual. 
Paso 4: procedemos a desencriptar, una vez invertida la matriz la multiplicamos por los números según la asignación de la tabla de la congruencia modular 29 así: 
Nota recordemos que las letras se agrupan de acuerdo a la matriz en este caso 2X2 
Letras .=28 E=4 
 
 
Letras X=24 I=8 
 
Letras C=2 A=0 
 
 
Letras W=23 I=8 
 
Letras C=2 N=13 
 
 
La palabra oculta en el criptado .EXICAWICN es DEDICACION. 
Este ejemplo muestra como el criptoanálisis del sistema criptográfico de Hill, permite el estudio de la solución de sistemas de ecuaciones y los criterios de inversivilidad en matrices. Lo anterior prueba que estos procesos pueden llevarse a nuestra cotidianidad motivados por las técnicas criptográficas necesarias para analizar este tipo de sistemas. 
 
Actividad 2 
 2.1 Suponga que se intercepta el mensaje 
 
EHSSYYLKHFNZHSSIPCVFKDÑXDPFNUW y que de él se sabe lo siguiente. 
 
a. Las tres primeras letras del mensaje oculto son "SIN" y las tres últimas son ""A_ _" 
 
 
b. La matriz clave es de la forma 
 
𝑎	𝑏	𝑐 3	3	1 1	2	1
 
c. El determinante de la matriz clave es 1. 
 
2.2 A partir de esta información, responda y realice lo que se muestra a continuación, según corresponda: 
 
2.2.1 ¿Es posible descifrar el mensaje con la información dada? 
observemos lo siguiente a, b y c son variables desconocidas, el problema dice que el determinante de la matriz clave es 1 luego: 
Adj 
 
3	2 ] − [b	 2] [b	 3[
-
[
[
]
 
]
 
1	 1	c	 1	c	 1
1
	3	1 ] [a	 1] − [a	 3] = [−2 
	1	 1	c	 1	c	 1
3
3	1 ] − [a	 1] [a	 3
3	 2 	𝑏	 2	b	 3
 
 
Se usó 4, 7 y 19 que corresponden a las letras EHS las ecuaciones planteadas son las siguientes 
 
Donde 12, 8 Y 13 son los valores S, I, Y N que el ejercicio propone que son las primeras letras. 
= no existe solución a la matriz no es singular 
S, I Y N son las primeras letras según el ejercicio del mensaje oculto. 
Ahora si se hace uso de las tres letras finales A_ _ donde para A corresponde el 0, para _ corresponder el 27 se tiene luego que: 
 
= no existe solución a la matriz no es singular 
Dado que el ejercicio carece de información se dificulta el análisis de resultados dado que no es posible descifrar el mensaje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSIONES. 
Abordar temáticas como solución de sistemas de ecuaciones lineales, aritmética de matrices y una de las técnicas criptográficas con sus aplicaciones en la enseñanza de las matemáticas, permite generar habilidades que nos acercan y familiarizan con la actividad matemática, en cuanto nos exige en el desarrollo de la comunicación, el razonamiento, la resolución de problemas, la ejercitación de procedimientos y la modelación. 
Uno de los objetivos de este trabajo consistió en presentar diferentes opiniones, análisis y soluciones que podrían ser usadas como recurso para la enseñanza. 
Así mismo, hoy en día el avance de las tecnologías de información y comunicación, impulsan a replantear qué y cómo se enseña en la educación universitaria, pues los conceptos que en ocasiones se plantean para estos grados de escolaridad no corresponden a las demandas y vivencias de la humanidad, es importante que la tendencia actual es ocultar y proteger la información en distintos contextos sociales. 
Con el diseño e implementación de esta actividad para la enseñanza aritmética de las matrices y la solución de sistemas de ecuaciones lineales a través de la criptografía, se puede concluir que: 
· Permitió desarrollar habilidades en los estudiantes como: razonamiento y argumentación, comunicación, representación y modelación, formulación y solución de problemas; además nosotros como estudiantes valoramos el lenguaje algebraico y numérico para los resolver las situaciones planteados, permitiéndonos alcanzar confianza y cercanía con algunas estructuras matemáticas como las de congruencias, matrices, ecuaciones lineales; definiendo las estrategias de solución para conseguir los resultados. 
· Estrategias de solución de problemas como lo fueron: Entender el cifrar y descifrar mensajes (lectura compresiva), Configurar un plan (identificar conocimientos existentes y requeridos), Ejecutar el plan (No desfallecer ante la dificultad de la pronta solución, o revisión y formación de los conceptos necesarios en la solución), mirar hacia atrás (institucionalizar los conceptos aprendidos). 
· Uso de la criptografía como recurso de motivación: para introducir algunos conceptos matemáticos fundamentales para los estudiantes a través de la resolución de problemas y promoción del trabajo colaborativo en el aula; la criptografía involucra situaciones de motivación debido a que mezcla la intriga, la curiosidad y astucia como estrategias para ocultar información, así como, la habilidad para descubrir mensajes. 
· Elevar niveles de exigencia y aprobación: emplear esta estrategia de mejoramiento 
Finalmente, es importante resaltar que abordar algunas temáticas no fue sencillo debido al tiempo de cada uno de los integrantes del grupo y el conocimiento que surgen de introducir la enseñanza de la criptografía en las matrices y demás temas relacionados, esto afirma que se debe fortalecer con consultas en los diferentes medios. 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA. 
 
https://culturacientifica.com/2017/01/11/criptografia-matrices-cifrado-hill/ (Enlaces a un sitio externo.)Enlaces a un sitio externo. 
 
http://blog.andresed.me/2015/07/cifrado-de-hill.html (Enlaces a un sitio externo.)Enlaces a un sitio externo. 
 
https://www.textoscientificos.com/criptografia/hill (Enlaces a un sitio externo.)Enlaces a un sitio externo. 
 
http://www.nibcode.com/es/blog/7/cryptography-and-linear-algebra (Enlaces a un sitio externo.)Enlaces a un sitio externo. 
 
http://materias.fi.uba.ar/6669/docs/Hill.pdf (Enlaces a un sitio externo.)Enlaces a un sitio externo. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=ZAXkmBq9Zl0&t=228s 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Cifrado_Hill 
 
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/T_matrdeter/MatrDeter