-divergencia-y-rotacional-de-un-campo-vectorial-docx

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2020
ÍNDICE
CAMPOS VECTORIALES …………………………………………….. 4
1. LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL …………… 5
· COORDENADAS CARTESIANAS ………………………………….. 7
· COORDENADAS ORTOGONALES
· COORDENADAS CILÍNDRICAS ………………………… 8
· COORDENADAS ESFÉRICAS …………………………… 9
· COORDENADAS GENERALES ………………………………………. 10
DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL: INTERPRETACIÓN FÍSICA 
· FUENTES ………………………………………………………… 12
· SUMIDEROS ……………………………………………………. 13
· CAMPO SOLENOIDAL……………………………………….. 14
2. ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL
· ROTACIONAL EN EL ESPACIO……………………………… 15
· ROTACIONAL ESCALAR EN EL PLANO ………………………16
· COORDENADAS CILÍNDRICAS …………………………… 17
· COORDENADAS ESFERICAS ……………………………. 18 
· UN CAMPO CONSERVATIVO ……………………………. 19
EJERCICIOS RESUELTOS
DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL
CAMPOS VECTORIALES
Un campo vectorial en es una función F: → donde es un subconjunto de que usualmente será abierto. Por tanto, un campo vectorial tiene n coordenadas, que son campos escalares; concretamente, para ∈ , el vector F(X) ∈ deberá tener la forma:
 
Mas explicitamente:
O abreviadamente: 
Es claro que, para k = 1,2,..., n, la función : → R así definida es un campo escalar en . Veamos la notación que suele usarse en los dos casos particulares que nos interesan. 
Un campo vectorial en el plano vendrá dado por una función definida en un conjunto ⊆ y con valores en . Sus componentes suelen denotarse por P y Q, con lo que, para ∈ , tendremos
O abreviadamente: 
Es costumbre representar gráficamente un campo vectorial plano F: → haciendo que, para cada x ∈ , el vector F(x) tenga su origen en el punto x, obteniéndose una imagen que sugiere claramente un “campo” de vectores.
Las componentes de un campo vectorial → F, definido en ⊆ y con valores en suelen denotarse por P, Q y R, de forma que, para ∈ , se tendrán: 
O abreviadamente: 
Los campos vectoriales aparecen con frecuencia en Física, para representar magnitudes vectoriales: para cada punto X de una región en el plano o en el espacio, F(x) es el valor en ese punto de la magnitud vectorial descrita por el campo. Piénsese por ejemplo en el campo de velocidades de un fluido en movimiento o en campos de fuerzas, como un campo gravitatorio o electromagnético.
LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL
Definición: La divergencia es un operador que toma una función vectorial que define a este campo vectorial y arroja como valor de salida una función escalar.
Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto ⊆ y consideremos sus coordenadas . Supongamos que F es diferenciable en un punto ∈ , lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares, con k = 1,2,..., n, sean diferenciables en el punto . De hecho cada vector gradiente ∇ es la k-ésima fila de la matriz jacobiana de F en . Pues bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la divergencia del campo F en el punto , y se denota por Así pues, se tendrá: Vector simbólico “nabla”
 
Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de tenemos una función que en cada punto x ∈ toma el valor de la divergencia en dicho punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre funciones, válida en todo punto de :
· Para un campo vectorial plano → = , que sea diferenciable en un punto tendremos :
Cuando F sea diferenciable en un abierto ⊆ podremos escribir
· Análogamente, si es un campo vectorial en el espacio, diferenciable en un punto , tendremos:
Y cuando F sea diferenciable en un abierto ⊆ podremos escribir:
Vector simbólico “nabla”. Para operar con las nociones que estamos estudiando es útil introducir el simbolismo
Y manejar ∇ como si se tratase de un vector de .
Por ejemplo, si es un campo escalar definido en un abierto ⊆ . y diferenciable en un punto a ∈ , al multiplicar simbólicamente el “vector” ∇ por el escalar se obtiene la expresión correcta del vector gradiente:
∇
Cuando f es diferenciable en todo punto de podemos hacer el mismo cálculo simbólico con el “escalar variable” f, que multiplicado por ∇ nos da
∇
Si ahora es un campo vectorial definido en el abierto y diferenciable en el punto a ∈ , cuando calculamos simbólicamente el producto escalar del “vector” ∇ por el vector obtenemos:
∇.
Esto explica que frecuentemente se denote por ∇.F(a) a la divergencia del campo F en el punto a. Cuando F es diferenciable en, tenemos igualmente: 
Con las debidas precauciones, este cálculo simbólico con el “vector” ∇ resulta útil. Destacamos como siempre los dos casos particulares que nos interesan:
· En el caso tenemos 
· Analogamente para sera 
COORDENADAS CARTESIANAS
Sea un campo vectorial	
 
La divergencia se denota 
COORDENADAS ORTOGONALES
Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es: 
Donde los son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados con la forma del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas. 
Para COORDENADAS CILÍNDRICAS resulta:
, , 
Sabemos que un vector unitario en dirección del vector viene dado por:
Entonces 
Los vectores unitarios , y 
Derivadas de los vectores unitarios
 Nabla cilíndrica 
Entonces la divergencia de 
Para COORDENADAS ESFÉRICAS resulta: 
, , 
Los vectores unitarios , y
Derivadas de los vectores unitarios
Nabla esferica 
Coordenadas generales
En sistemas de coordenadas generales, no necesariamente ortogonales, la divergencia de un vector puede expresarse en términos de las derivadas parciales respecto a las coordenadas y el determinante del tensor métrico:
DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL: INTERPRETACIÓN FÍSICA
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. 
La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente igual a cero, describe al flujo incompresible del fluido. Llamado también campo solenoidal.
Si imaginamos que F es el campo de velocidades de un gas (o de un fluido), entonces div F representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del gas (o del fluido). Si  div F < 0, el gas (o fluido) se está comprimiendo.
Para un campo vectorial en el plano, la divergencia mide la razón de expansión del área.
Ejemplo: 
· Considerar el campo vectorial en el plano dado por:
V (x , y) = (x , 0)
Relacionar el signo de la divergencia de V con la razón del cambio de áreas bajo el flujo.
Solución:
Interpretamos V como el campo de velocidades de un fluido en el plano. El campo vectorial V apunta hacia la derecha para x > 0, y hacia la izquierda para x < 0, como podemos ver en la siguiente figura la longitud de V es más corta cuando nos acercamos al origen. Cuando el fluido se mueve, se expande de manera que es de esperar que div V > 0.
El fluido se está expandiendo
Si lo calculamos con las derivadas parciales tenemos: V (x , y) = (x , 0)
FUENTES
· La líneas de flujo del campo vectorial  F (x , y) = (x , y) son semirrectas que parten del origen.
Líneas de flujo del campo F (x , y) = (x , y)
Si estas líneas de flujo se corresponden con un fluido, entonces éste se está expandiendo conforme se aleja del origen, de modo que div F debería ser positiva. En efecto:
SUMIDERO
· Consideremos el campo vectorial F (x , y) = (-x , -y). A diferencia del caso anterior, aquí laslíneas de flujo apuntan hacia el origen.
Líneas de flujo del campo F (x , y) = (-x ,- y)
Por tanto, el fluido se está comprimiendo, de manera que esperamos que div F < 0.
Haciendo los cálculos, vemos que:
CAMPO SOLENOIDAL
· Las líneas de flujo de F (x , y) = (-y , x) son circunferencias concéntricas centradas en el origen, moviéndose en el sentido contrario al de las manecillas del reloj (anti horario). Según la Figura parece que el fluido ni se comprime ni se expande.
Líneas de flujo del campo F (x , y) = (-y ,x)
Esto se confirma calculando:
Como la divergencia es igual a cero describe un flujo incompresible del fluido, llamado también campo solenoidal.
· Otro ejemplo físico más sencillo es el del campo electrostático. Las cargas eléctricas (que son las fuentes escalares) producen el campo eléctrico. El campo eléctrico radia hacia el exterior de las cargas positivas, que son sus manantiales, y converge hacia las cargas negativas, que son sus sumideros.
ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL
¿Qué es el rotacional de un campo vectorial?
El rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Aquí, es el área de la superficie apoyada en la curva, que se reduce a un punto.
También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
Aquí,  S es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos.
ROTACIONAL EN EL ESPACIO.
Sea un campo vectorial definido en un abierto Q ⊆ y diferenciable en un punto a ∈ Q. Del mismo modo que la divergencia se obtiene como el producto escalar simbólico ∇.F(a), podemos pensar en el producto vectorial, también simbólico, ∇×F(a). El vector que así se obtiene es, por definición, el rotacional del campo F en el punto a y se denota también por rotF(a). Así pues:
Cuando sea diferenciable en todo el abierto Q podremos escribir:
ROTACIONAL ESCALAR EN EL PLANO.
La noción de rotacional recién introducida sólo tiene sentido para campos vectoriales en el espacio. Sin embargo, aun campo vectorial en el plano puede asociarse de forma natural un campo vectorial en el espacio, como vamos a ver. 
Sea F= (P, Q) un campo vectorial definido en un abierto Q ⊆. Consideramos el conjunto Q, que es claramente un subconjunto abierto de , y para definimos
Obteniendo un campo vectorial . La relación entre las componentes de y es bastante clara, si ponemos , tenemos:
, , 
Si es diferenciable en un punto deducimos que es diferenciable en cualquier punto de la forma y calculamos fácilmente el rotacional en cualquiera de esos puntos:
Hemos motivado así la siguiente definición:
Sea F= (P, Q) un campo vectorial definido en un abierto y diferenciable en un punto .el rotacional escalar de F en el punto se define por:
Si F es diferenciable en todo punto del abierto podemos pues definir mediante la igualdad.
COORDENADAS CILÍNDRICAS:
 Nabla cilíndrica 
 
Entonces el rotacional de 
 
 
COORDENADAS ESFERICAS
, , 
Los vectores unitarios , y
UN CAMPO CONSERVATIVO
Un campo es conservativo si, y solo si, el rotacional de ese campo vectorial en todos los puntos es cero. Y más importante: un campo de fuerzas es conservativo si y sólo si podemos encontrar una función escalar potencial llamada de energía potencial, de la cual su gradiente sea esa fuerza. 
EJERCICIOS RESUELTO
 DIVERGENCIA EN UN CAMPO VECTORIAL
1. hallar la 
 
2. demuestra que no es un campo conservativo
 
Si fuera conservativo 
Entonces 
 
ROTACIONAL EN UN CAMPO VECTORIAL
1. hallar la 
 
 
2. Comprueba si el campo vectorial es conservativo y en caso afirmativo obtenga la función potencial de .
¿ ? ¿ ? 
 
 F es conservativo
 
 
3. Consideremos el campo vectorial .Un cálculo prueba que, por tanto es conservativo. Hallemos la función potencial es decir tal que.
 
pág. 21
Lic. Eladio, Sánchez Culqui