Calculo-Vectorial-Unidad-5

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2020
5.1 introducción
Se denomina integral al proceso mediante el cual un determinado elemento se incorpora a una unidad mayor
La integración es un concepto de cálculo y del análisis matemático una integral es una suma de infinitos sumados infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrada en el cálculo infinitamente es una rama de las matemáticas en el proceso integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de área y volúmenes de regiones y solidos de resolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow y que los trabajos de Isaac Barrow y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Dada una función f(x) de una variable real y un intervalo a, b de la recta real, la integral
Es igual al área de la región del plano (x, y) limitada entre la grafica de f. el eje x, y las líneas verticales x=a y x=b donde son negrativas las áreas por debajo del eje x.
5.2 INTEGRAL DE LINEA
Un tipo de generalización de la integral definida se obtiene mediante la sustitución de conjunto sobre el que se integra, por conjuntos de dos y tres dimensiones. Esto conduce alas integrales dobles y triples de capítulo 16. Una generalización muy diferente resulta de la sustitución de por una curva C. resultante se le llama integral de línea, pero con mayor propiedad se llamara integral curva.
Sea C una curva plana suave; es decir, que C una curva dada en forma paramétrica mediante
Donde y son continuas y no ambas nulas sobre . Supóngase que c esta orientada positivamente(es decir, que su posición positiva corresponde a valores crecientes de ). Entonces, C tendrá un punto inicial y un pinto determinal Considérese la participación del intervalo paramétrico obtenida al insertar los dos puntos
Esta participación de produce una división de la curva C en subarcos en los que corresponde a . Denótese como la longitud del arco y sea la norma de la participación esto es, sea la máxima . Para determinar, escójase un punto que muestra sobre el subarco .
Considérese ahora la suma riemanniana
Si es no negativa, esta sema se aproxima al área de la cortina vertical curva que se muestra en la figura 1. Si es continua en una región vertical que contenga a la curva C, entonces la suma de riemmiana tendrá un límite cuando Este límite se llama integral de línea de a lo largo de C y de a ; es decir, 8
Por supuesto, una curva puede se parametrizada de muchas formas diferentes; por suerte, cualquier parametrización que conserve la orientación de C produce el mismo valor de 
La definición de integral de línea puede ampliarse al caso en el que C, aunque no suave totalmente, sea suave por partes, es decir, que conste de varias curvas suaves , unidas, como se muestra en la figura 2. Bastara con definir la integral sobre como la suma de las integrales sobre las curvas individuales. También, si representa la curva con orientación opuesta a la de , definimos 
AQUÍ VA FIGURA 1
EJEMPLOS Y APLICACIONES: Comencemos con dos ejemplos en los que es parte de un circulo
EJEMPLO 1
Evalué , donde esta determinada por las ecuaciones paramétricas 
Solución
Trabajo
supongas que la fuerza que actúa sobre un punto del espacio está dado por el campo vectorial
Donde son continuas. Queremos encontrar el trabajo que realiza al mover una partícula a lo largo de una curva suave orientada . Sea el vector de posición de un punto de la curva. Si T es el vector tangente unitario en . El trabajo realizado por F al mover la partícula desde una distancia corta a lo largo de la curva tiene un valor aproximado de y en consecuencia, el trabajo realizado al mover la partícula desde a a lo largo de C se define como . En la sección aprendimos que por lo que tenemos las siguientes alternativas como formulas del trabajo.
Para interpretar la última expresión, imagine que representa eñ trabajo realizado por F al mover la particula a lo largo del vector tangente “infinitesimal” , la formulación preferida por los físicos y muchos matemáticos en las aplicaciones.
Todavía hay otra aplicación del trabajo que a menudo es útil en los cálculos. Si convenimos en escribir , entonces
Y
Las integrales son una clase especial de integrales de línea. Se define tal como fue definida al principio de esta sección, salo que es sustituido por respectivamente.
5.3 INTEGRALES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES
Existe una manera de calcular el volumen de un sólido que al menos intuitivamente parece menos valido .corte el sólido en rebanadas por medio del plano paralelo a .El área de la cara de esta rebanada depende de su distancia al plano ; esto es , depende de por lo tanto designamos área como 
El volumen de △ de la laja esta dado aproximadamente por:
△
Y recordando nuestro viejo lema (rebane, aproxime, e integre), podemos escribir:
 
Por otra parte podemos calcular por medio de una integral simple ordinaria:
∫ 
Concluimos que:
∫[∫]
A esta expresión se llama integral iterada 
Al igual que las ecuación (1) y (2) de , obtenemos el resultado que queríamos.
∫∫ ∫[∫]
Si hubiésemos comenzado el proceso anterior rebanado el sólido con planos paralelos al plano , abríamos obtenido otra integral iterada en la que las interacciones abrían ocurrido en el orden inverso.
∫∫ ∫[∫]
Dos observaciones son necesarias .Primera que mientras los dos resultados de los recuadros sean deducimos con la hipótesis de que era no negativa ,son válidos en general .Segunda que el ejercicio entero resultaría insustancial a menos que se puedan evaluar las integrales iteradas .Por fortuna las integrales iteradas son a menudo fáciles de evaluar como probaremos en la seguida :
Evaluación de las integrales iteradas 
Ejemplo 1 Evaluar ∫ [∫]
Solución: en la integración anterior ya es una constante por lo que:
∫[] =
Evaluar ∫ [∫]
Solución: en la integración anterior ya es una constante por lo que:
∫[] =
5.4 APLICACIÓN A AREAS Y SOLUCION DE PROBLEMAS 
Introducción a áreas 
Dos problemas ambos geométricos, motivaron las dos grandes ideas del cálculo .El problema de la tangente nos conduce a la derivada .El problema del área nos llevara a la integral definida.
Para los polígonos (figuras planas cerradas limitadas por segmentos rectilíneos) el área apenas y es un problema .Se empieza por definir el área de un rectángulo como el producto de su longitud por su ancho y a partir de esto se deducen en sucesión las áreas del paralelogramo el rectángulo y un polígono cualquiera .La sucesión de dibujos de la figura 1 sugiere como hacerlo.
 Rectángulo paralelogramo triangulo 
 
	w	h h
₰	b b
 A= A= A=1/2 
Aun en esta colección simple, es claro que deseamos que el área satisfaga 5 propiedades.
1. el área de una región plana es un número (real) no negativo.
2. el área de un rectángulo es el producto de su longitud por su ancho (medidas ambas con las mismas unidades).
3. regiones congruentes que no se traslapan más que en un segmento lineal es la suma de las áreas de las dos regiones.
5. si una región está contenida en una segunda, el área de la primera es menor o igual que la segunda.
Cuando consideramos una región limitada por una curva ,el problema de asignar el área es de una dificultad mucho mayor .Sin embargo ,hace más de 200 años ,Arquímedesprodujo la clave de la solución .Considérese ,dijo, una sucesión de polígonos inscritos que se aproximen a la región curva con una precisión cada vez más grande .Por ejemplo ,para el círculo del radio 1,sonsiderese polígonos inscritos regulares de 4 lados ,8,16…como se muestra en la figura .el área del circulo es el límite cuando de las áreas de .Por lo tanto ,si designa el área de la región entonces 
 
 
 P3
P2
P1
 
 
 	 
Arquímedes sugirió más adelante, considerando también polígonos circunscritos T1, T2, T3.Demostro que se obtiene el mismo valor del área
 
T3
T2
T1
	
	
	
Del circulo de radio 1 (en concreto, π≈3.14159) ya sea que se unen polígonos inscritos o circuincritos.No hay más que un pequeño paso entre lo que el izo y nuestro tratamiento moderno al área.
Área mediante polígona inscrita 
Considérese la región limitada por la parábola ², el eje de las la vertical =2.nos referimos a como la región bajo la curva comprendida entre y .Nuestro abjetivo consiste en calcular su área .
Divídase el intervalo [0,2] en sub intervalos, cada uno de la longitud △=2/ 
0=< 
 
 
 
△ =6/
 
 
Considérese el rectángulo de base y altura Su área es (véase la parte de la izquierda de ña figura 6). La unión de todos esos rectángulos forma el polígono inscrito que se muestra en la parte de la derecha de la figura 6.
Grafica figura 6
Se puede calcular el área 
Ahora bien,
Por lo tanto,
Concluimos que 
AREA MEDIANTE POLIGONOS CIRCUNSCRITOS
Quizá aún no esté convencido de que . Podemos dar una mayor evidencia. Considere el rectángulo de base y altura . Su área es La unión de dichos rectángulos forma un polígono circunscrito a la región , según se muestra a la derecha.
El área se calcula por analogía con el cálculo de 
Como antes. 
En consecuencia,
5.5.- APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
La aplicación más obvia de las integrales dobles es el cálculo de volúmenes de los sólidos. Este uso de las integrales de las integrales dobles ha sido ampliamente ilustrado, por lo que ahora nos volvemos hacia otras aplicaciones (masas, centros de masa, momentos de inercia y radios de giro).
Considérese una hoja plana tan delgada que puede ser tomada como bidimensional. En la sección 6.8 llamamos lámina a dicha hoja, pero allí hablamos solo de láminas de densidad constante. Aquí deseamos estudiar láminas de densidad variable (es decir, laminas hechas de material no homogéneo.
Supóngase que una lámina cubre una región S del plano x y y sea el símbolo de la densidad (masa por unidad de área) en el punto (x, y). Divídase S en pequeños rectángulos R1, R2,…Rk. Escójase un punto de Rk. Entonces, la masa de Rk será aproximadamente y la masa total aproximada de la lámina será
La verdadera masa m se obtiene tomando el límite de la expresión anterior cuando la norma de la partición tiende a cero, la cual es, por supuesto, una integral doble.
Ejemplo 1 una lámina de densidad esta limitada por el eje de las x, la recta x=8 y la curva y=x2/3. Encuentre su masa total.
Solución
CENTRO DE MASA le sugerimos que revise el concepto de centro de masa en la sección 6.8. Allí aprendimos que si m1, m2,…mn es una colección de puntos de masa situados en (x1, y1),(x2, y2),…,(xn, yn) en el plano, respectivamente, entonces los momentos totales con respecto a los ejes y y x están dados por
Además, las coordenadas del centro de masa (punto de equilibrio), son
Considérese ahora una lámina de densidad variable que cubre una región S del plano x y. Divídase esa lamina y supongamos como una aproximación que la masa de cada Rk está concentrada en el punto , k=1, 2,…, n. para concluir, tómese el limite cuando la norma de la partición tiende a cero. Esto conduce a las formulas.
 
Un lector perspicaz bien podría hacer una pregunta en este punto ¿Qué ocurre si la lámina es homogénea? Es decir, ¿Qué pasa si , es una constante? ¿ las formulas deducidas en esta sección, que involucran integrales dobles, concuerdan con las de la sección 6.8, que cubren solo integrales sencillas? La respuesta es afirmativa. Para dar una justificación parcial, considérese el cálculo de Mx mediante una región S en y- simple.
La integral simple de la derecha es la que se dio en la seccion6.8.
MOMENTOS DE INERCIA aprendimos en física que la energía cinética KE e una partícula de masa m y velocidad u, que se mueve en una línea recta, es (1) 
Si en lugar de moverse sobre una línea recta la partícula gira alrededor de un eje con una velocidad angular de radianes por unidades de tiempo, su velocidad lineal será , donde r es el radio de su trayectoria circular. Si esto se sustituye en (1), se obtiene
La expresión r2m se llama momento de inercia de la partícula y se designa como I. por lo tanto, para una partícula en rotación,
(2)
Concluimos de (1) y (2) que el momento de inercia de una partícula en movimiento circular juega un papel similar al de la masa de un cuerpo en movimiento rectilíneo.
Para un sistema de n partículas en un plano con masas m1, m2,…, mn a las distancias r1, r2,…, rn de la recta L, el momento de inercia del sistema con respecto a L se define como
En otras palabras, se suman los momentos de inercia de las partículas individuales.
Consideremos ahora una lámina de densidad que cubre una región S del plano x y. Si se divide a S, se aproximan los momentos de inercia de cada pieza Rk, se suma y se toma el límite, llegamos a las siguientes formulas. Los momentos de inercia (también llamados segundos momentos) de la lámina con respecto a los ejes x, y y z, están dados por
5.6 COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS.
En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano x,y a P.
Ecuaciones para transformar de cilíndricas a rectangulares:
Como resultado de ello, la función se transforma en 
Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría.
Ecuaciones para transformar de rectangulares a cilíndricas:
· 
· 
· 
Ecuaciones para transformar de cilíndricas a esféricas
Las coordenadas cilíndricas pueden ponerse en función de las coordenadas cartesianas y 
viceversa, de acuerdo con las relaciones
	y sus inversas
El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.
Ejemplo 1:
Convertir el punto a coordenadas cilíndricas
Encontramos 
Ahora encontramos 
El cuadrante donde es negativo y es positivo es el IV cuadrante.
Cuadrante.
Ahora encontramos 
Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es 
Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =│OP│ es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que
El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.
Dado un vector  del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:
Sistema de coordenadas esféricas
Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene representado por un trío ordenado, donde:
Las coordenadas cilíndricas funcionan como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas esféricas. Éste último se relaciona con el de las cilíndricas por las ecuaciones.
y sus inversas
 
· Convertir el punto  a coordenadas rectangulares.
 El punto en coordenadas rectangulareses:  .
5.7 INTEGRALES TRIPLE EN COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS.
En geometría plana, el sistema de coordenadas polares se usa para dar una descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. La figura siguiente hace posible que recordemos la conexión entre coordenadas polares y cartesianas. Si el punto P tiene coordenadas cartesianas  y coordenadas polares entonces, de la figura.
 
 y
	
	r
	y
	
0	x
En tres dimensiones hay un sistema de coordenadas, llamadas coordenadas cilíndricas, que es semejante a las coordenadas polares y da descripciones cómodas de algunas superficies y sólidos que por lo general se presentan. Como veremos algunas integrales triples son mucho más fáciles de evaluar en coordenadas cilíndricas.
En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio tridimensional está representado por el triple ordenado, donde r y q son coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P.
Evalúe 
 
podemos ver que la proyección de E sobre el plano  es el disco. La superficie inferior de E es el cono  y su superficie superior es el plano. Esta región tiene una descripción mucho más simple en coordenadas cilíndricas:
 
.
por lo tanto la integral se puede escribir de la siguiente manera:
CONCLUSION
Este trabajo nos sirvió para de manera en equipo reunirnos y trabajar en equipo que era lo que se pedía esto nos ayuda a poder colaborar unos con otros ya que en un trabajo tienes un equipo .
Bueno el trabajo en si nos favoreció a aplicar algunas cuestiones de Word para poder insertar las formulas recopiladas, bueno lo que nos explica los temas es como integrar con enlace dobles y triples bueno esto nos favorece para que podamos aprender cómo desarrollarlas, ya sea con coordenadas y aplicarlas a área tales como circulares , rectangulares y esféricas.
CALCULO VECTORIAL UNIDAD 5
CALCULO VECTORIAL UNIDAD 5
 pág. 1
GLOSARIO:
FUNCION: representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo.
CURVA: es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente
LONGITUD DE ARCO: es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
TRABAJO: el producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y del desplazamiento del cuerpo en la dirección de esta fuerza
FUERZA: la fuerza es una magnitud vectorial que mide la Intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas.
INTEGRAL DE LINEA: es aquella integral cuya función es evaluada en una curva.
VECTOR: Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio.
EJE: Es usada como línea de referencia para medir sobre ella.
ESCALA: término que se utiliza para designar la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad.
TEOREMA: Un teorema es una proposición que afirma una verdad demostrable.
 SISTEMA DE COORDENADAS: un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.
ANGULO: un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.
CIRCUNFERENCIA: una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro.
CONSTANTE: Una constante es una cantidad que tiene un valor fijo en un determinado cálculo, proceso o ecuación.
CONTINUIDAD: una función continua es aquella que intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función.
COCIENTE: Es el resultado que se obtiene de dividir una cantidad por otra.
COSECANTE: Es la razón trigonométrica inversa del seno.
DETERMINANTE: Se define determinante como una forma matrilineal alterada de un cuerpo.
DIFERENCIAL: Se refiere a un cambio en la linearizacion de una función. 
DOMINIO: El dominio de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir los valores por la cual la función está definida.
EXPONENTE: Se refiere al número de veces que debe multiplicar pos sí misma la base de una potencia.
FACTORIAL: Producto obtenido al multiplicar un número positivo dado, por todos los enteros positivos inferiores a ese número.
FACTORIZACION: La factorización de un polinomio es el mecanismo que permite expresar a ese polinomio como el producto de dos o más polinomios.
FUNCION: Es una asociación que se establece entre los elementos de un conjunto A y los de un conjunto de B.
INFINITO: Cantidad sin limite la misma puede ser numerable o no numerable.
INTEGRAL: La integral es la operación inversa respecto a la derivada.
INTERVALO: Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos en otros dos datos.
LIMITE: Él limite describe la tendencia de una sucesión o una función.
LOGARITMO: El logaritmo de un numero en una base determinada.
MATRIZ: Una matriz es un arreglo en filas y columnas de números que son llamados coeficientes .
ANEXO 1
CUESTIONARIO 
1.- ¿Que es una integración?
Es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático.
2.- ¿Que acumula una integral de línea a lo largo de una curva?
La integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva
3.- ¿En que tienen importantes las aplicaciones de la integral lineal en la física?
 Cuando se trata con campos vectoriales.
4.- ¿Que es un campo vectorial?
Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano de la forma ϕ:Rn Rn
5.- ¿Que representa un campo vectorial?
En matemáticas un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.
 
6.- ¿En qué área la integral de línea tiene varias aplicaciones?
En el área de ingeniería 
7. ¿-A qué se le llama prisma rectangular o intervalo tridimensional?
Al siguiente subconjunto de R3
8.- ¿Que es una magnitud vectorial?
Toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos.
9.- ¿Porque puede sustituirse un sistema de vectores?
Por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado.
10.- ¿Cómo se le llama al sistema equivalente que tiene un número mayor de vectores?
El procedimiento se llama descomposición.
11.- ¿Cómo se le llama al sistema equivalente que tiene un número menor de vectores?
El procedimiento se denomina composición.
12.- ¿A qué se le llama componentes de un vector?
A aquellas que los sustituyen en la composición.
13.- ¿Que es una coordenada polar?
Son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto se determina por una distancia y un ángulo.
14.- ¿Que es una coordenadas cilíndricas?
Es una generalización de las coordenadas polares en el espacio.
15.- ¿Cuál es el polo en una gráfica?
Se llama el polo al punto (0, 0,0)
16.- ¿En un sistema de coordenadas cilíndricas un punto p del espacio como se representa?
Se representa por un trío ordenado (r, ө, z).
17.- ¿Es el sistema de coordenadas esféricas cada uno se representa por un trío ordenado cuáles son?
 La primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ángulos.
18.- ¿En el sistema de coordenadas de sistemas esféricas un punto p del espacio como se representa?
Se representa por un trío ordenado (p, ө, ǿ).
19.- ¿Cómo se le llama al sistema de coordenadas en tres dimensiones?
Es llamadas coordenadas cilíndricas
 
20.- ¿Qué es una integral de línea?
Es una integral de una función a integrar es evaluado a lo largo de una curva 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
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VERTICALES
1) Son usadas como línea de referencia para medir sobre ellas.
2) Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una dimensión lineal.
3) El producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo 
4) Es el resultado que se obtiene de dividir una cantidad por otra 
5) Se refiere al número de veces que debe multiplicar por si misma la base de una potencia 
HORIZONTALES
1) Cantidad sin limite la misma puede ser numerable o no numerable 
2) describe la tendencia de una función o sucesión.
3) Es la parte del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen
4) Es una magnitud vectorial que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partículas.
5) Es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente.
ANEXO 2
0
ΔAk = (r2 k+1 – r2k) Δθk = (r k+1 + rk) (r k+1 - rk) Δθk = r*k ΔrkΔθk
PROBLEMARIO
1.-
Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerzas, sometido a la ley del inverso del cuadrado.
 
Para mover una partícula a lo largo de la curva C (en la línea recta) desde .
Solución A lo largo de de modo que Usando como parámetro, obtenemos
Por supuesto, deberán asignarse unidades apropiadas que dependerán de la longitud y la fuerza.
2.- 
evalué la integral de línea
A lo largo de la curva C cuyas ecuaciones paramétricas son 
Puesto que y
3.-
, donde esta determinada por las ecuaciones paramétricas 
Solución
4.-
 Encuentre la masa de un alambre de densidad si el alambre tiene la forma de una hélice C cuyos parámetros son
5.-
Evaluar ∫ [∫]
Solución: en la integración anterior ya es una constante por lo que:
∫[] =
6.-
Evalúe ∫ [∫]
Solución: Note que solo hemos invertido el orden de la integración del ejemplo 1; esperamos la misma respuesta de ese ejemplo 
∫([]
=
7.-
Evaluar ∫ [∫]
Solución: en la integración anterior ya es una constante por lo que:
∫[] =
8.-
Evaluar ∫ [∫]
Solución: en la integración anterior ya es una constante por lo que:
∫[] =
9.-
Considérese el rectángulo de base y altura Su área es (véase la parte de la izquierda de ña figura 6). La unión de todos esos rectángulos forma el polígono inscrito que se muestra en la parte de la derecha de la figura 6.
Se puede calcular el área 
Ahora bien,
Por lo tanto,
Concluimos que 
10.-
El área se calcula por analogía con el cálculo de 
Como antes. 
En consecuencia,
11.-
Supónganse que un objeto viaja a lo largo del eje de las de modo que su velocidad en el momento esta dada por pies por segundo. ¿Cuánto avanzara entre Se puede resolver este problema mediante el método de ecuaciones diferenciales pero cuando tenemos otra cosa en mente.
Nuestro punto de partida es el hecho familiar de que si un objeto viaja a velocidad constante durante un intervalo de tiempo de magnitud , entonces la distancia viajada será . Pero esto no es más que el área de un rectángulo.
Enseguida consideremos el problema donde . En la mitad izquierda de la figura que aparece en la gráfica. Divídase el intervalo en subintervalos de longitud mediante los puntos . Considérese después el correspondiente circulo circunscrito que se desarrolla en la mitad derecha de la figura 10 (también pudimos haber considerado el polígono inscrito). Su área, será una buena aproximación de la distancia viajaba, en especial si es pequeña, puesto que en cada subintervalo la velocidad verdadera es casi igual a una constante (el valor de al final del subintervalo). Además, esta aproximación se puede hacer mucho mejor al aumentar . Llegamos a la conclusión de que la distancia exacta viajada es el ; es decir, es el área de la región bajo la curva de la velocidad, comprendida entre 
Figura 10
Para calcular notese que , por lo que el área del -esimo rectángulo es 
)
Entonces,
Concluimos que 
El objeto viajo al redor de 8.06 pies entre 
12.-
una lámina de densidad esta limitada por el eje de las x, la recta x=8 y la curva y=x2/3. Encuentre su masa total.
Solución
13.-
encuentre el centro de masa de la lámina del ejemplo 1
Solución: en el ejemplo 1, demostramos que la masa m de esta lamina es . Los momentos My y Mx con respecto al eje de las y y al eje de las x son, respectivamente,
Conclusión que 
14.-
encuentre el centro de masa de una lámina que tiene la forma de un cuarto de circulo de radio de radio a y cuya densidad es proporcional a la distancia al centro del circulo
Solución: por hipótesis, , donde k es una constante. La forma de S sugiere el uso de coordenadas polares.
Concluimos que
15.-
encuentre los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados, de la lámina del ejemplo 1.
Solución
Considere el problema de reemplazar un sistema general de masas de masa total m mediante un solo punto de masa m con el mismo momento de inercia con respecto a la recta L. ¿Qué tan lejos de L estará este punto? La respuesta es , donde . El numero
Se llama radio de giro del sistema. Entonces, la energía cinética del sistema en rotación alrededor de L con velocidad angular es
ANEXO 3
SOPA DE LETRAS
ENCUENTRA LAS SIGUIENTES PALABRAS
	F
	H
	V
	E
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