-Calculo-multivariado-tarea-4

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2023
Tabla de contenido
Introducción	3
Objetivos	4
General	4
Especificos	4
Desarrollo de ejercicios literal A: Gloria Ajala	6
Desarrollo de ejercicios literal B: Fernando Omar Escobar	15
Desarrollo de ejercicios literal C: Oscar Mateus Sanchez	19
Desarrollo de ejercicios literal D: Wilson Alfonso Oliveros	23
Desarrollo de los ejercicios literal E: Ramón Hernán Bacca Picón	30
Conclusiones	46
Referencias Bibliográficas	47
Introducción
	En el presente trabajo individual, con la consolidación de la parte colaborativa, se sustentan 5 ejercicios del literal A, B. C. D y E, teniendo en cuenta los grupos de ejercicios de aplicación establecidos: integrales dobles, integrales triples, integrales de línea, integrales de flujo y teoremas de integración, con situación de los diferentes campos de aplicación que tiene la física experimental y que son base en nuestra formación.
Objetivos
General:
 	Utilizar el cálculo integral de funciones de varias variables para dar solución a problemas de orden práctico, mediante los teoremas de integración.
Específicos
· Reconocer las integrales dobles y de volúmenes, con base en la solución del ejercicio propuesto.
· Demostrar las integrales triples en diferentes coordenadas, apoyándose en procedimiento gráficos, con la solución analítica del ejercicio.
· Diferenciar integrales de línea y de flujo, con los procedimientos del problema planteado.
· Aplicar los teoremas de integración, fundamentados en los ejercicios propuestos de los cinco grupos planteados.
. 
 
Pasos de la estrategia individual
Tabla 1: Rol elegido por estudiante Grupo 28
	Nombre del estudiante.
	Rol a desempeñar.
	 Gloria Ajala
	 Alertas
	 Ramón Hernán Bacca Picón
	 Entregas
	 Wilson oliveros Manrique
	
	 Oscar Mateus Sánchez
	Revisor
	 Fernando Omar Escobar
	Evaluador
Fuente: Tutoría.
Paso 1-Elección de los ejercicios en el foro
Tabla 1: Elección de ejercicios integrantes grupo 28.
	Nombre del estudiante
	Selección de ejercicios.
	
	Grupo de ejercicios 1 – Integrales Dobles
	Grupo de ejercicios 2 – Integrales Triples
	Grupo de ejercicios 3 – Integrales de línea
	Grupo de ejercicios 4 – Integrales de flujo
	Grupo de ejercicios 5 – Teoremas de Integración
	Gloria Ajala
	A
	A
	A
	A
	A
	Fernando Omar Escobar
	B
	B
	B
	B
	B
	Oscar Mateus Sánchez
	C
	C
	C
	C
	C
	Wilson A. Oliveros
	D
	D
	D
	D
	D
	Ramón Hernán Bacca Picón
	E
	E
	E
	E
	E
Paso 2 - Revisión de los contenidos de la Unidad 2. 
Integrales Dobles, Integrales triples, Integrales en línea, integrales de flujo y teoremas de integración
Paso 3 - Presentación de aportes en el foro colaborativo.
Paso 4 – Realimentación de los aportes en el foro. 
Paso 5 – Compilación del trabajo final.
Desarrollo ejercicios literal A: Gloria Ajala
Grupo de ejercicios 1 – Integrales Dobles. (Aplicaciones de las integrales dobles – Momento de Inercia)
Se plantea la integral doble:
Integral indefinida
Se calcula los límites
Se remplaza en la integral doble
Se calcula la integral indefinida
Se desarrolla por sustitución trigonométrica teniendo en cuenta
Se remplaza
Se utiliza la propiedad de:
Se aplicamos regla de suma
Se sustituye 
Se calculan los límites
Ahora se calcula
Se desarrolla la integral indefinida
Se Aplica sustitución
Ley de exponentes
Se aplica Sustitución
Ahora se calcula
Integral indefinida
Sustitución trigonométrica:
Se simplifica usando 
Se utiliza la siguiente identidad
Se aplica ley de la suma
Se aplica sustitución 
Se calcula los límites
Remplazamos para calcular el momento de inercia
Grupo de ejercicios 2 – Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio)
a. sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥=1, 𝑦=1 y 𝑧=1.
Solución:
Se halla el volumen del cubo
Se calcula el valor de f sobre el cubo
Integrar con respecto a x
Integrar con respecto a y
Integrar con respecto a z
Grupo de ejercicios 3 – Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza)
a. 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶: el segmento de recta desde el origen hasta el punto (2,2).
Solución:
Se parametriza el segmento de la recta:
Se reemplaza
Se tiene
Se obtiene que la ecuación vectorial de la parábola
Como tenemos
Se remplaza
Como W joules es el trabajo realizado, se plantea la integral:
Se soluciona la integral indefinida
Se calcula los límites
Grupo de ejercicios 4 – Integrales de Flujo (Aplicaciones a las integrales de superficie – Carga Eléctrica)
a. Sea 𝐸=𝑥𝒊+𝑦𝒋+2𝑧𝒌 un campo electrostático. Usar la Ley de Gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio 𝑧 =√1−𝑥2−𝑦2 y su base circular en el plano 𝑥𝑦.
Solución:
Se halla la divergencia del campo vectorial
Según la ecuación de Gauss
Transformando a coordenadas esféricas:
Sabiendo que:
Se establece los límites:
Se calcula la integral indefinida:
Se calcula los límites:
Se calcula la integral indefinida:
Se calcula los límites
Se calcula la integral indefinida:
Se calculamos los límites
Grupo de ejercicios 5 – Teoremas de Integración (Aplicación de los Teoremas de Integración – Movimiento de un líquido)
Solución:
Se halla el rotacional de la función
Se obtiene de esta superficie el gradiente de la función igualada a 0.
Se calcula
Se tiene
Desarrollo ejercicios literal B: Fernando Omar Escobar
Grupo de ejercicios 1 – Integrales Dobles
Momento de Inercia.
Si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como:
Se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes y . Estos segundos momentos se denotan por e y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia.
 
Donde es el cuadrado de la distancia al eje 
 es el cuadrado de la distancia al eje 
 es la Masa
A la suma de los momentos e se le llama el momento polar de inercia y se denota Por .
Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las siguientes ecuaciones. Realizar las gráficas en Geogebra: 
b. , , , , donde , y la recta 
Teniendo en cuenta la fórmula para el momento de inercia se halla con respecto a la región dada.
· Se mira la región de integración primero para realizar:
Por tanto, se hace:
Entonces el momento de inercia I es: 
Grupo de ejercicios 2 – Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio)
Utilice integrales triples para calcular el valor promedio de sobre la región dada:
b. sobre el sólido rectangular en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos , y .
Teniendo en cuenta el volumen del sólido rectangular, se tiene v=2*2*2=8
Entonces el valor promedio de sobre la región dada es: 1
Grupo de ejercicios 3 – Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza)
Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton.
b. desde el origen hasta el punto .
EL trabajo está dado por: 
Puntos: p1(0,0), p2(2,2) 
Trayectoria en parámetros de t: x= , y=t, por tanto:
Entonces, el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C es:
Grupo de ejercicios 4 – Integrales de Flujo (Aplicaciones a las integralesde superficie – Carga Eléctrica)
En los siguientes ejercicios utilizar la Ley de Gauss para hallar la carga total en el interior de la superficie dada:
1. Sea un campo electrostático. Usar la Ley de Gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio y su base circular en el plano .
Según la ley de Gauss:
Por ello, según teorema de divergencia:
Po tanto:
Por lo tanto, la carga total que hay en el interior de la superficie es: 
Grupo de ejercicios 5 – Teoremas de Integración (Aplicación de los Teoremas de Integración – Movimiento de un líquido)
En los siguientes ejercicios el movimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1, se define mediante el campo de velocidad . Hallar
Donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico:
b. 
Se tiene que: F=Pi+Qj+Rk
Ecuación de la superficie , por lo que 
Teniendo en cuenta lo anterior:
Se tiene, por tanto 
Desarrollo ejercicios literal C: Oscar Mateus Sánchez
Grupo de ejercicios 1 – Integrales Dobles. (Aplicaciones de las integrales dobles – Momento de Inercia)
Momento de Inercia.
Si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como:
Se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes y . Estos segundos momentos se denotan por e y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia.
 
Donde es el cuadrado de la distancia al eje 
 es el cuadrado de la distancia al eje 
 es la Masa
A la suma de los momentos se le llama el momento polar de inercia y se denota Por 
Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las siguientes ecuaciones. Realizar las gráficas en Geogebra
c. , , , donde , y la recta 
Grupo de ejercicios 2 – Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio)
Utilice integrales triples para calcular el valor promedio de sobre la región dada:
c. sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos , y .
El valor promedio de 
Volumen del cubo = V=
= 
= 
= 
= 
 
Grupo de ejercicios 3 – Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza)
c. es el segmento de resta del punto al punto .
Hallar el W en una recta donde .
Se debe poner las ecuaciones o vectores de trabajo y distancia en términos de un parámetro común para poderlos integrar 
Hallamos la ecuación de la recta 
Tomamos el punto la ecuación de la recta junto con la pendiente hallada 
Si pero X va desde hasta 3 por tanto podemos obviar el punto de corte con el eje y ( 0, -
Si 
-
Grupo de ejercicios 4 – Integrales de Flujo (Aplicaciones a las integrales de superficie – Carga Eléctrica)
En los siguientes ejercicios utilizar la Ley de Gauss para hallar la carga total en el interior de la superficie dada:
c. Sea un campo electrostático. Usar la Ley de Gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio y su base circular en el plano .
Teoremas de Integración (Aplicación de los Teoremas de Integración – Movimiento de un líquido)
En los siguientes ejercicios el movimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1, se define mediante el campo de velocidad . Hallar
Donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico:
c. 
Desarrollo ejercicios literal D: Wilson Alfonso Oliveros Manrique
Grupo de ejercicios 1 – Integrales Dobles. (Aplicaciones de las integrales dobles – Momento de Inercia)
Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones
d. , donde y la recta 
Desarrollo
La integral para el momento de inercia respecto a una recta L está dada por
Donde es la distancia a la recta, en este caso se quiere hallar el momento de inercia respecto a la recta , asumiendo un , se tiene que la distancia será:
Reemplazando en la integral se obtiene
Reemplazando ahora los límites de integración se tiene 
Dado que la integración se realiza sobre un círculo es mejor usar coordenadas polares, donde y los limites de interacion es media circunferencia de radio 
Realizando las integrales 
1) 
Se pueden separar por la independencia entre las dos variables
2) 
Se pueden separar por la independencia entre las dos variables
Para realizar la integral 
Usa Identidades Pitagóricas 
Reemplazando en la integral original 2) y realizando la integral
3) 
Se pueden separar por la independencia entre las dos variables
Para realizar la integral 
Se usa , despejando para e integrando 
Aplicando los límites de integración
Reemplazando en la integral original 3) y realizando la integral
Reemplazando las integrales halladas 1), 2) y 3) se obtiene 
Grupo de ejercicios 2 – Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio)
Utilice integrales triples para calcular el valor promedio de sobre la región dada:
d. sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos , y .
Desarrollo
Calculando 
Con los límites de integración planos, se obtiene:
Por la independencia de las variables estas se pueden separar 
Se tiene entonces dado que el volumen de integración es un cubo de arista 1 que el volumen o , reemplazando se obtiene:
Grupo de ejercicios 3 – Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza)
Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton.
d. donde es el arco de la parábola desde el punto (1,1) hasta (4,5) 
El punto final (4,5) no tienen sentido ya que por tal se hará que el punto final está determinado por (4,16)
Desarrollo
Se realiza la parametrización , es decir 
Se tiene el campo vectorial parametrizado:
Realizando el producto punto 
Reemplazando esto en la integral definida
Se tiene:
Grupo de ejercicios 4 – Integrales de Flujo (Aplicaciones a las integrales de superficie – Carga Eléctrica)
En los siguientes ejercicios utilizar la Ley de Gauss para hallar la carga total en el interior de la superficie dada:
d. Sea un campo electrostático. Usar la ley de Gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio y su base circular en el plano 
Desarrollo
Usando la ley de Gauss y el teorema de Gauss de la divergencia:
Realizando la operación
Para realizar la integral dado que el volumen de integración es una esfera se realiza la operación en coordenadas esféricas, donde 
Dada la independencia se pueden separar las variables
Integrando cada una de estas
Reemplazando este en la integral:
Se tiene por tal que la carga encerrada en este volumen es cero, es decir que a pesar que el flujo atraviesa esta superficie la carga que genera el campo eléctrico no se encuentra encerrado en esta superficie 
Grupo de ejercicios 5 – Teoremas de Integración (Aplicación de los Teoremas de Integración – Movimiento de un líquido)
En los siguientes ejercicios el movimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1, se define mediante el campo de velocidad Hallar:
d. 
Desarrollo
Para desarrollar este se puede usar el teorema de Stokes
Para realizar la integral de línea de la superficie tomamos que es un circulo de radio 1, es decir que se parametriza de la forma , 
Se tiene 
Se tiene entonces por resultado
Esto se puede deber a que el campo sea conservativo y por tal al ser una trayectoria cerrada el trabajo neto sea cero, o desde el punto de vista de la superficie que el flujo total atrevesdel cilindro sea cero 
Desarrollo ejercicios literal E: Ramón Hernán Bacca Picón
	Grupo de ejercicios 1-Integrales Dobles
	Momento de Inercia: Si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como: 
Se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes y . Estos segundos momentos se denotan por e y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia.
 
Donde es el cuadrado de la distancia al eje ; es el cuadrado de la distancia al eje es la Masa. A la suma de los momentos (e) se le llama el momento polar de inercia y se denota Por . Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las siguientes ecuaciones. Realizar las gráficas en Geogebra:
	ECUACIÓN
	RAZÓN O EXPLICACIÓN
	, , donde , y la recta 
	Debemos graficar la ecuación para conocer los límites:
	Los límites según la figura 1, es -4 y 4
Figura 1: Ecuación 
Fuente: Geogebra
	Utilizamos el programa Geogebra
	Figura 2: Parábola completa
	, , donde , y la recta 
	Evaluamos los límites de las tres ecuaciones: 
	
	Para la recta y=0
Reemplazamos:
Se despeja
	
	Para la recta y=3
	
	Límites de la lámina a examinar:
Como el termino dA determina el área de la lámina este está dado por la base y la altura de la gráfica dada. 
Con los puntos de intersección hallados podemos calcular la base y la altura del rectángulo dado.
	
	Para la base, determinamos la distancia de la recta comprendida entre los puntos:
 
Base del rectángulo.
	
	Determinamos la distancia de la recta comprendida entre los puntos: 
	
	Se analizan las integrales:
	
	La función es: 
dA=bdy
Base= b= 8
K=
Lo que es constante sale de la integral
Reemplazando:
 Resolviendo el binomio:
Integrando en función de dy, los valores en x son cero.
Pero b=8
	
	De la ecuación se despeja x:
Se definen los límites obtenidos:
Reemplazamos:
Lo que es constante sale de la integral
Se simplifica la raíz por estar elevada al cuadrado:
Se deriva en función de x por lo tanto y=0
Pero h=2
	
	Pero sabemos que el momento polar de inercia es la suma de su valor en x más su valor en y:
El valor del momento polar de inercia es:
	Grupo de ejercicios 2- Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio)
	Utilice integrales triples para calcular el valor promedio de sobre la región dada:
 sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos , y .
	ECUACIÓN
	RAZÓN O EXPLICACIÓN
	
	sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos , y .
	
	Definición de integrales triples:
	
	Pero como la función triple es:
Se reemplaza:
Se colocan los límites de integración para cada variable:
, y .
	
	Se integra en función de dx:
Aplicamos los límites de integración:
	
	Reemplazamos en el conjunto de integrales:
	
	Integramos en función de dy:
Aplicamos límites:
	
	Reemplazamos en la integral:
	
	El resultado de la integral triple es:
	Grupo de ejercicios 3- Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza).
	Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton.
 el segmento de recta desde el punto hasta el punto 
	ECUACIÓN
	RAZÓN O EXPLICACIÓN
	 el segmento de recta desde el punto hasta el punto 
	
 
	
M=-1, reemplazando en la ecuación:
	Calculamos la ecuación de la recta:
Pendiente
Con la ecuación de la recta punto pendiente (M)
	
De la ecuación de la recta obtenida:
Se reemplaza que x=t:
Diferenciando:
	Parametrizamos la recta:
	
Reemplazando:
W=
Resolvemos cada integral entre estos límites:
	La integral es:
Donde el trabajo W: es el producto de la fuerza por la distancia, con límites de una integral
W=
Reemplazamos los parametrizado:
Donde x=t 
Donde a es cualquier valor
Trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F.
La fuerza se da en Newton y el arco C en metros
Nm=Julios
	Grupo de ejercicios 4- Integrales de Flujo (Aplicaciones a las integrales de superficie – Carga Eléctrica)
	e. Sea un campo electrostático. Usar la Ley de Gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio y su base circular en el plano .
	ECUACIÓN
	RAZÓN O EXPLICACIÓN
	
	
En cuadrados elementales
	
	Teorema de la divergencia
	
	Se realiza el producto punto entre el campo eléctrico y la divergencia, sabiendo que:
Reemplazando:
	
	Hacemos cambios a coordenadas esféricas:
Ecuación de la esfera:
Reemplazando:
	
	Se hallan los límites:
	
	La primera integral:
	
	Integral doble:
	
	Se resuelve la siguiente integral:
	
	Despejando q:
	Grupo de ejercicios 5- Teoremas de Integración (Aplicación de los Teoremas de Integración – Movimiento de un líquido).
	En los siguientes ejercicios el movimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1, se define mediante el campo de velocidad . Hallar
Donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico:
	ECUACIÓN
	RAZÓN O EXPLICACIÓN
	
	Donde S, es la superficie superior del recipiente cilíndrico:
	
	Se halla el rotacional de la función:
Reemplazando:
	
	Ecuación de un cilindro:
	
	El movimiento de un líquido en un recipiente se genera en la parte superior del cilindro que tiene normal Z,
	
	Calculamos el vector unitario normal a la superficie S
	
	Se halla la integral:
Calculamos:
	
	Se parametriza la ecuación del cilindro:
La integral doble con los límites:
	
	Se realiza cambios de variables a trigonométricas:
Se resuelve la integral.
Paso 6 – Elaboración de un video explicativo con uno de los aportes presentados
	Estudiante
	Ejercicio para elaborar el video
	Oscar Mateus Sánchez
	2C
	Fernando Omar Escobar
	1B
	Gloria Ajala
	5A
	Ramón Hernán Bacca
	4E
	Wilson Oliveros
	3D
Fuente: Tutoría.
Paso 7 – Links de videos y entrega del trabajo.
Tabla links videos explicativos
	Nombre Estudiante
	Ejercicios sustentados
	Link video explicativo
	Gloria Ajala
	A, de todos los tipos de ejercicios.
	
	Fernando Omar Escobar
	B, de todos los tipos de ejercicios.
	https://youtu.be/igciT_yz0hE
	
	
	
	
	
	
	Ramón Hernán Bacca Picón 
	E, de todos los tipos de ejercicios.
	https://youtu.be/gYGyUA_Xqrg
Fuente: Tutoría.
Conclusiones
	En la resolución de los ejercicios propuestos desde lo individual, fue importante recordar y aplicar cursos pasados como ecuaciones diferenciales y cálculo integral; para poder comprender y darle solución a los mismos desde el campo experimental de la física. En la consolidación del colaborativo, se observa el esfuerzo realizado por cada integrante para presentar la mejor solución al literal escogido.
	 
	
Referencias Bibliográficas
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García, H. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 128-131). Recuperado de https://ebookcentral-proquest-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3227732&ppg=139
García, I. & Maza, S. (2013). Curso de introducción al cálculo para grados en ingeniería. Lérida, ES: Edicions de la Universitat de Lleida. (pp. 161-168). Recuperado de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=171&docID=3212795&tm=1541623326430
Zill, D. (2015). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana.  (pp. 202-207); (pp. 209-213). Recuperado de http://www.ebooks7-24.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=2270&pg=221
Zill, D. (2015). Matemáticas 3 Cálculo de varias variables. México: McGraw-Hill Interamericana.  (pp. 242-246). Recuperado de: http://www.ebooks7-24.com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=2270&pg=261
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