Algebra-Lineal-Actividad-S4

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2023
ACTIVIDAD 4
Objetivo:
1. Reconocer las propiedades del espacio y subespacio vectorial.
2. Distinguir si un conjunto de vectores es linealmente independiente o dependiente.
3. Identificar si un conjunto de vectores son base de un espacio vectorial.
Forma de evaluación:
	Criterios
	Ponderación
	Presentación
	10 %
	Ejercicio 1.
	15 %
	Ejercicio 2.
	15 %
	Ejercicio 3.
	15 %
	Ejercicio 4.
	15 %
	Ejercicio 5.
	15 %
	Ejercicio 6.
	15 %
Instrucciones:
Revisa detalladamente los siguientes ejemplos y apoyate en ellos para responder los ejercicios.
  Video
 
Consulta los siguientes videos para ayudarte a comprender los temas:
· Introducción a la independencia lineal.
· Más sobre independencia lineal.
· Espacios generadores y ejemplos de independencia lineal.
  Lectura
· Matriz de transición (INITE, 2012).
Para conocer el concepto de Base y la forma de realizar una matriz de transición, consulta este documento.
· Espacio Vectorial. (INITE, 2012). 
· Vectores linealmente dependientes e independientes. (INITE, 2012).
· Base de un espacio vectorial. (INITE, 2012).
Desarrollo de la actividad:
Ejemplo (Para ejercicios 1 & 2)
Determina si el conjunto de vectores dado es o no una base para el espacio IR2. Justifica tu respuesta.
{ ( -2 , 2) , ( 2 , 4 ) }
Como la dimensión del espacio IR2 es 2, entonces basta comprobar que son linealmente independientes. Con esto demostraremos que estos dos vectores osn base.
Para ello sean a y b dos números reales tales que:
a ( -2 , 2) + b ( 2 , 4 ) = (0,0)
Sí mostramos que a y b son cero, entonces tendremos que los vectores son linealmente independientes y por tanto base para el espacio.
En efecto, desarrollando tenemos;
1) 🡺 -2a +2b = 0
2) 🡺 2a +4b = 0
Despejando de la primera ecuación
2a = 2b
a = 2b / 2;
a = b;
Como a = b, sustituimos en la segunda ecuación:
2b + 4b = 0
6b = 0
Por tanto
b = 0
Como a = b = 0, entonces son linealmente independientes y si generan a R2
*NOTA: Si nos hubieran dado 2 vectores y éstos deben generar a R3 o R4 o R5, etc. No son base ya que, para generar a Rn se requieren al menos n vectores.
Ejercicio 1. (1.5 puntos)
Determina si el conjunto de vectores dado es o no una base para el espacio IR2. Justifica tu respuesta.
{ ( -4 , 4) , ( 4 , 8 ) }
 a ( -4 , 4) + b ( 4 , 8 ) = 0
1) 🡺 -4a +4b = 0	
2) 🡺 4a +8b = 0
Despejando de la primera ecuación
4a = 4b
a = 4b / 4;
a = b;
a = 0
Como a = b, sustituimos en la segunda ecuación:
4b + 8b = 0
12b = 0
b = 0
Como a = b = 0, entonces son linealmente independientes y si generan a R
Ejercicio 2. (1.5 puntos)
Determina si el conjunto de vectores dado es o no una base para el espacio IR2. Justifica tu respuesta.
{ ( -1 , 1) , ( 1 , -1 ) }
Tenemos un conjunto de generadores {(-1,1)(1,2)} y queremos saber si es una base de ℝ². Al ser solo dos, veamos si son linealmente dependientes. Es decir, si uno de ellos se puede formar multiplicando al otro por una constante "a". Matemáticamente, queremos ver si existe un número "a" tal que: 
(-1,1) = a * (1,2) 
Distribuyendo la constante "a": 
(-1,1) = (a,2a) 
Igualando coordenada a coordenada, obtenemos dos ecuaciones que deben cumplirse en simultáneo: 
-1 = a 
1 = 2a 
Vemos que si a=-1, la segunda ecuación no se cumple (ya que 1 ≠ -2). Concluimos entonces que no existe ningún valor de "a" tal que uno sea múltiplo del otro. En otras palabras, ambos vectores son linealmente independientes. 
Cómo son independientes, entonces forman una base. La dimensión del espacio que forman es simplemente la cantidad de vectores linealmente que constituyen la base. En nuestro caso, demostramos que tenemos dos vectores LI (linealmente independientes), luego la dimensión del espacio que forman es 2. 
Como estamos trabajando en el espacio real, y R² tiene dimensión 2, {(-1,1)(1,2)} es una base de R². 
Ejemplo (Para ejercicios 3 & 4)
Determina la base que genera el siguiente espacio vectorial al despejar la variable y:
M = { ( x , y , z ) | 3x + 4y + z = 0 }
Nota que este espacio es un plano contenido en IR3 que pasa por el 0
Para ello debemos despejar primero a la variable y.
4y = -z - 3x
y = - (1/4)z - (3/4)x
Ahora escribiremos un vector como sigue:
Pero como y = - (1/4)z - (3/4)x , entonces:
Ahora rescribimos éste vector como una suma, el primer término considera a x = 0 mientras que el segundo considera a z = 0; Como sigue:
Si factorizamos:	
Entonces el conjunto de vectores {(0, -1/4, 1), (1, -3/4, 0)}, es la base que genera al Espacio vectorial. 
*NOTA: SI NOS PIDIERAN LA DIMENSIÓN, BASTARÍA ENCONTRAR EL NÚMERO DE VECTORES DE LA BASE, EN ESTE CASO SON 2 Y ESE ES EL NÚMERO DE VECTORES, ES LA DIMENSIÓN DEL ESPACIO (PLANO).
Ejercicio 3. (1.5 puntos)
Determina la base que genera el siguiente espacio vectorial al despejar la variable y:
M = { ( x , y , z ) | 5x + 6y +z = 0 }
Soluciòn
Para ello debemos despejar primero a la variable y.
6y = -5x – z
y=– (1/6)z -5/6x
Ahora escribiremos un vector como sigue:
Pero como y = - (1/6)z - (5/6)x , entonces:
Ahora rescribimos éste vector como una suma, el primer término considera a x = 0 mientras que el segundo considera a z = 0; Como sigue
Si factorizamos
Entonces el conjunto de vectores {(0, -1/6, 1), (1, -5/6, 0)}, es la base que genera al Espacio vectorial.
Ejercicio 4. (1.5 puntos)
Determina la base que genera el siguiente espacio vectorial al despejar la variable y:
M = { ( x , y , z ) | 4x + 2y +6z = 0 }
Ejemplo (Para ejercicio 5)
Sea el vector x=(2,3), determina sus coordenadas relativas a la base 
Sean a y b dos números reales, tales que
x= (2,3) = a(1,1)+b(-1,2)
Igualando coordenada a coordenada tenemos que
1) 🡺 2 = a-b
2) 🡺 3 = a+2b
Despejando de 1)
a = 2+b
Sustituyendo a en 2)
3 = 2+b+2b
1 = 3b
b = 1/3
Sustituyendo b en 1)
2 = a-(1/3)
a = 2+(1/3) = 7/3
Por lo tanto :
Ejercicio 5. (1.5 puntos)
Sea el vector x = (5,6), determina sus coordenadas relativas a la base 
Solución:
Solo debemos suponer 2 constantes a y b que multiplican a las bases y cuya suma es igual al vector x (5, 6)
Como sigue:
x (5,6) = a(1,1)+b(-1,2)
1)	🡺 5 = a-b
2)	🡺 6 = a+2b
Despejando de 1)
a = 5+b
Sustituyendo en 2)
6 = (5+b)+2b
6 = 5+3b
6-5=3b
1=3b
b=1/3
Sustituimos b en la siguiente ecuación
a = 5+b = 5 + 1/3 = 16/3
a = 16/3
Entonces el resultado es:
x (5,6) = 16/3(1,1) + 1/3(-1,2)
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