20329-Investigacion-Calculo-Vectorial

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2020
Definición de función vectorial de una variable real
Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyo dominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales. La notación convencional para tal función es,
De la ecuación anterior está claro que el rango de tal función es R3 o Rm. La interpretación de esta oración sería que la función está asociada con tres o más funciones de variables reales f1, f2,f3 … fm. Por tanto, se puede escribir de tal manera que,
Una función vectorial puede tomar como valor de entrada tanto cantidades escalares como cantidades vectoriales, pero el resultado siempre será una cantidad vectorial. Como podemos ver aquí el rango de dicha función está infinitamente extendido, pero no afecta el rango del dominio de la función de alguna manera. Dado que el rango de la función es infinito, por tanto puede ser dividido sus componentes constitutivos. Por ejemplo, si el rango es de dos dimensiones entonces el rango se puede dividir en sus componentes como,
Y si el rango es de tres dimensiones, entonces puede ser dividida en sus componentes como,
Un punto digno de mención es que el dominio de la función vectorial es la intersección de los dominios de todas las funciones constituyentes que en su totalidad forman el rango de la función vectorial.
Como se deriva el vector de una variable 
Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:
Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t
Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:
(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)
Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:
(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).
Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto
La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)
El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:
Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:
Vector tangente, normal y binomial
La tangente de una curva es una recta que intersecta la curva en un solo punto. Es conocido por nosotros a través del cálculo que mediante la diferenciación de una función se obtiene el punto tangencial para la curva de esa función. Un concepto similar es aplicable al cálculo vectorial, junto con una excepción.
Para una función con un vector de la forma, (x), un vector de la forma es llamado vector tangente en el caso de que esta función sea real y su magnitud no sea igual a cero. En esta situación, la tangente de la función dada (x) en un punto arbitrario es paralela al vector tangente, en ese punto. Aquí, con el fin de tener un vector tangente, 0 es un pre-requisito esencial. Esto es debido a que un vector de magnitud cero no puede tener dirección.
De manera similar, un vector tangencial unitario es definido como,
Aquí s es la longitud total del arco dado, (t) es el vector posición de la función dada y t es la variable de parametrización.
En la figura anterior, X es un punto estático, mientras que P es un punto en movimiento. El punto P se mueve lentamente en la dirección del punto X, mientras el punto P se acerca al punto X, el vector desde el punto X hasta el punto P se acerca al vector tangente en el punto X. La recta que contiene el vector tangente se conoce como recta tangencial.
Un vector normal es algo similar a un vector unitario, suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector normal para la función dada es definida como,
Aquí es el vector unitario de la función dada.
Como se describió en la figura anterior, un vector normal es un vector que está perpendicular a un plano o superficie dada. Un vector normal para una superficie dada en un punto arbitrario, sea (x, y), está dado por una matriz como la siguiente,
Aquí fx y fy son diferenciales parciales de la función dada con respecto a x e y.
De la misma forma, el vector normal a un plano es representado por una matriz como,
Donde la ecuación del plano es,
f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0
Un vector binormal es un producto cruz o producto vectorial del vector normal y del vector unitario normal. Suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector binormal para la función dada se define como,
Como sabemos que tanto un vector unitario como un vector normal son vectores unitarios y que se encuentran perpendicular a la superficie dada, un vector Binormal es también un vector unitario que se encuentra normal a un plano o superficie dada. Este vector es normal a ambos, el vector unitario y el vector normal.
Ecuaciones de los planos rectificantes, normal y osculador
Plano osculador
En cada punto de una curva, el plano osculador es el plano que contiene a su vector tangente y al vector normal a la curva. Para una partícula desplazándose en el espacio tridimensional, el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleración y la velocidad. La ecuación de este plano viene dada por:1
Donde:
, el punto de la trayectoria.
, el vector velocidad en el punto considerado.
, las coordenadas de un punto genérico del plano osculador.
Si se tiene una partícula en la posición, moviéndose con velocidad  y sometida a una aceleración  el plano osculador viene dado por el conjunto de puntos:
Obviamente si la partícula tiene un movimiento rectilíneo el plano osculador no está definido.
Por último, en este apartado de la asignatura, debemos aprender a calcular y a dominar los conceptos de plano Normal, Rectificante y Osculador.
Como podemos ver en la imagen el Plano Normal es perpendicular al Vector Tangente, el Plano Rectificante es perpendicular al Vector Normal Principal y el Plano Osculador es normal al Vector Binormal. Sus expresiones son:
Plano Normal.
(X−r(t))∗T=0
Plano Rectificante.
(X−r(t))∗N=0
Plano Osculador.
(X−r(t))∗B=0
*Nota. En todas estas expresiones X, es un vector (x,y,z) cualquiera.
.-
Ecuación de la recta en el plano
La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría, en un plano xy, podemos representar una recta y= mx + b, y determinar las valores de m y de b que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo las de un problema de geometría, veamos algunos casos del empleo del cálculo aplicado a la geometría:
Tengase en cuenta que en geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta,y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Radio de curvatura de una curva
El radio de curvatura de una línea curva o un objeto aproximable mediante una curva es una magnitud geométrica que puede definirse en cada punto de la misma y que coincide con el inverso del valor absoluto de la curvatura en cada punto:
Por otro lado la curvatura es una medida del cambio que sufre la dirección del vector tangente a una curva cuando nos movemos a lo largo de ésta. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura y el radio de curvatura vienen dados por:
Si en lugar de un parámetro cualquiera usamos el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se simplifica mucho, por resultar un vector tangente constante, y puede escribirse como:
Curvas planas
Para una curva plana cuya ecuación pueda escribirse en coordenadas cartesianas  como  donde t es un parámetro arbitrario, la expresión para el radio de curvatura se reduce a:
En caso que pueda escribirse  de tal modo que para cada punto de la curva exista un único valor de , entonces pude tomarse a  como el parámetro arbitrario, y el radio de curvatura se puede calcular simplemente como:
EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Ejercicio nº 1.Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo:
f (x) = 2x2 + 5x
Solución:
f ' (2) =lím
h →0
= lím
h →0
2 (2 + h ) 2 + 5 (2 + h ) − 18
2 ( 4 + 4h + h 2 ) + 10 + 5h − 18
f ( 2 + h ) − f ( 2)
= lím
= lím
=
h →0
h →0
h
h
h
8 + 8h + 2h 2 + 10 + 5h − 18
2h 2 + 13hh(2h + 13 )
= lím
= lím
= lím ( 2h + 13 ) = 13
h →0
h →0
h →0
h
h
h
Derivada de un vector
Los vectores se derivan componente a componente:
En un caso sencillo, 3D, supongamos el vector , entonces:
Las derivadas son funciones escalares, y no tiene por qué ser una derivación parcial, para verlo basta utilizar la definición de diferencial por ejemplo para una función escalar de 3 variables.
Si ahora nos preguntamos por la variación global de f con respecto a 'x', podemos "dividir por dx" y tenemos:
La derivada total de la función analiza la variación de todas las formas posibles, incluída la derivada local (o parcial) de f con respecto a x.
Es decir, que tiene sentido hablar de derivada total aún cuando no estamos en una variable.
Hallar la longitud del arco de curva  en el intervalo [0, 1].