4204-Calculo-Vectorial

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2023
TEOREMA DE STOKE 
Definición: El teorema de Stokes es una generalización del teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de un campo vectorial sobre una curva cerrada que es borde de una superficie paramétrica simple con la integral de su rotacional en dicha superficie, Para enunciar el teorema de Stokes para superficies en R 3 necesitamos definir lo que es el rotacional de un campo vectorial. Si F: A → R 3 es un campo vectorial de clase C 1 definido en un abierto A de , se define el rotacional del campo F = (P, Q, R), y se denota por rotF 
Sean M,N, y R funciones de tres variables X,Y y Z, y suponga que tienen primeras derivadas parciales continuas en una bola abierta B de . Sea S una superficie suave a trozos que es la frontera de S. Si , y si N es un vector normal saliente unitario de S y T es un vector tangente unitario de C donde S unidades es la longitud de arco medida a partir de un punto particular de C hasta P, entonces:
El teorema de Stokes afirma que la integral de línea de la componente tangencial de un campo vectorial F alrededor de la frontera C de una superficie de la componente normal del rotacional de F sobre S. Otra forma de la ecuación del teorema de Stokes se obtiene al escribir en lugar de en la integral de línea de la izquierda, de modo que:
Este tipo de teorema es útil para pasar de una ecuación diferencial a una ecuación integral. Este método se puede aplicar a diversos ejemplos:
· Un globo aerostático tiene la forma esférica truncada mostrada en la figura, los gases calientes escapan por la cubierta porosa con el campo vectorial de velocidad.
Si R=4, calcular la tasa de flujo del volumen de los gases que pasa a través de la superficie.
Denominándose al flujo pedido como la solución al problema propuesto es:
No se trata de una integral de superficie cualquiera, se trata realmente de una aplicación directa del teorema de Stokes, esta puntualización es fundamental para la resolución del problema, puesto que el teorema de Stokes puede ser aplicado a todas superficies cuyo entorno sea el mismo, y en este caso no conocemos la superficie del globo y en consecuencia no conocemos su parametrización, pero si su contorno, por lo que se tiene que aplicar el teorema de Stokes.
La parametrización es:
x(t) = cos t x(t) = -sen t
y (t) = sen t	 y(t) = cos t						 
Por lo tanto:
TEOREMA DE GREEN 
Definición: El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relación así establecida entre la integral de línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a esta permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la función sobre la frontera de dicho recinto. Los ejemplos y ejercicios de este capítulo ilustraran las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en .
Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R 2, y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea F = (P, Q) : D −→ R 2 un campo vectorial de clase C 1 . Entonces se tiene que:
Una aplicación muy importante del teorema de Green es el cálculo de ´áreas de recintos delimitados por curvas cerradas simples mediante una integral de línea sobre el borde de dichas curvas. Si tenemos un recinto D en el plano cuya frontera es una curva cerrada simple C = ∂D y queremos calcular su ´área, nos basta hallar un campo vectorial (P, Q) tal que ∂Q/∂x−∂P/∂y = 1 y aplicar entonces la fórmula de Green para expresar el ´área de D como la integral de línea de (P, Q) sobre su borde C. Por ejemplo, podemos tomar P = −y/2, Q = x/2, de modo que:
Formulas análogas pueden deducirse poniendo (P, Q) = (−y, 0), o bien (P, Q) = (0, x).
APLICACIÓN: 
TEOREMA DE DIVERGENCIA
El teorema de la divergencia (también conocido como teorema de Gauss) es una generalización del teorema de Green, que relaciona una integral de superficie sobre una superficie cerrada con una integral de volumen.
Sea Q una región sólida limitada o acotada por una superficie cerrada orientada por un vector unitario normal dirigido hacia el exterior de Q. si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q entonces:
Demostración. Si hacemos F(x,y,z) = Pi + Qj +Rk, entonces:
Por lo tanto:
APLICACIÓN:
BIVLIOGRAFIA 
· http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap13.pdfhttp://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap13.pdf
· https://es.slideshare.net/johnpineda18/teorema-de-stokes
· https://www.matematicasonline.es/pdf/ejercicios/2%C2%BABach%20Cienc/Ejercicios%20aplicaciones%20de%20la%20integral%20areas.pdf
· http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/calculo4_2015_1/Divergencia.pdf
· file:///C:/Users/USERPC/Downloads/Gu_a_N_5.pdf