2-Calculo-Vectorial-Folleto

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2020
Pilas! PAGINA 951
Fórmulas para curvas en el espacio
Vector tangente unitario:
Vector normal principal unitario:
Vector binormal:
Curvatura:
Torsión:
Componentes escalares tangencial y normal de la aceleración:
EJERCICIOS 13.5
Calculo de la torsión y el vector binormal
En la sección 13.4 ( ejercicios 9 a 16), ya se calcularon 1 a 8 para estas curvas en el espacio.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Componentes tangencial y normal de la aceleración 
En los ejercicios 9 y 10, escriba en la forma atT + AnN sin encontrar Ty N
9.
10.
En lps ejercicios 11 a 14, escriba a en la forma a= atT + AnN en el valor dado de t, sin encontrar T y N.
11.
12.
13.
14.
En lo ejercicios 15 y 16 determine, r, T, N y B en el valor dado de t. Luego, determine las ecuaciones para los planos osculador, normal y rectificante en ese valor de t.
15.
16.
Aplicaciones físicas
17. El velocímetro de su auto mide a 35 mi/h constantemente ¿Podría estar acelerado? Explique.
18. ¿Puede decirse algo acerca de la aceleración de la partícula que se mueve con rapidez constante? Justifique su respuesta.
19. ¿Puede decirse algo acerca de la rapidez de una partícula cuya aceleración es siempre ortogonal a su velocidad? Justifique su respuesta.
Pilas! PAGINA 952
20.Un objeto de masa m viaja a lo largo de la parábola y= x^2 con una rapidez constante de 10 unidades/s ¿ Cuales la fuerza neta sobre el objeto debida a su aceleración en (0,0)? ¿ Y en (2^1/2,2) ? Escriba su respuesta en términos de i y j. (Recuerde la segunda ley de Newton, f=m*a).
21. La siguiente es una cita del artículo publicado por The American Mathematical Monthly, llamado “Curvatura en los ochentas”, por Robert Osserman (octubre 1990, pagina 731):
La curvatura también juega un papel fundamental en la física. La magintud de la fuerza necesaria para mover un objeto con rapidez constante a lo largo de una trayectoria curva es, de acuerdo con las leyes de Newton, un múltiplo constante de la curvatura de dicha trayectoria.
Explique matemáticamente por que la segunda frase de la cita es cierta.
22.Muestre que una partícula en movimiento continuara moviéndose en línea recta si la componente lineal de su aceleración se anula.
23.Un atajo para la curvatura si usted ya conoce /aN/ y/v/, entonces la formula An=K/v/^2 proporciona una manera conveniente de determinar la curvatura y radio de curvatura de la curva.
r(t)=(cos t + t sent)i + (yo+Bt)j +(zo+Ct)k t>0.
(Tome An y /v/ del ejemplo 1).
24.Muestre que k y t se anulan para la recta
r(t)=(xo+A)i+ (yo+Bt)j+ (zo+Ct)k.
Teoría y ejemplos
25.¿Que puede decirse acerca de la torsión de curva plana regular r(t) f(t)i+ g(t)j? Justifique su respuesta.
26. La torsión de una hélice En el ejemplo 2 calculamos la torsión de una hélice.
r(t) =(a cos t)i + (a sent)j +btk, a,b>=0.
Como t=b/(a^2+b^2).¿Cual es el máximo valor que puede tener t para un valor dado de a? Justifique su respuesta.
27. Las curvas diferenciales con torsión nula que están en planos
Que una curva suficientemente diferenciable con torsión nula este en un plano, es un caso particular del hecho de que una partícula cuya velocidad permanece perpendicular a un vector fijo C se mueve en un plano perpendicular a C. Esto a su vez , puede considerarse com la solución del siguiente problema de calculo.
Suponga que Pilas! r(t)=f(t) + g (t) j + h(t) k es dos veces diferenciable para toda t en un intervalo [a,b] que Pilas! r=0 cuando Pilas! t=a y que Pilas! v.k=0 para toda r en [a,b]. Entonces , h(t)=0 para toda t en [a,b].
Resuelva este problema.(Sugerencia: Comience con a= d^2r/dt^2 y aplique las condiciones iniciales en sentido contrario).
28. Una formula que calcula t a partir de B y v Si comenzamos con la definición Pilas! t=-(dB/ds). N y aplicamos la regla de la cadena para escribir Pilas! dB/ds como
Pilas! dB/ds = dB/dt dt/ds dB/dt 1/ /v/
Obtenemos la formula
Pilas! t=-1//v/ (dB/dt.N)
La ventaja de esta formula sobre la ecuación (6) es que es mas fácil de derivar y establecer. La desventaja es que su evaluación puede requerir mucho trabajo sin una computadora. Use la nueva formula para determinar la torsión de la hélice del ejemplo 2.
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
Curvatura, torsionm y el marco TNB
 Redondee las respuesta a cuatro cifras decimales. Use un software matematico para determinar v,a, la raidez, T,N,B, k,t, y las componentes tangencial y normal de la aceleración para las curvas de los ejercicios 29 a 32 con los valores dados de t.
29.
30.
31.
32.
 Movimiento de planetas y satélites 
En esta sección deduciremos las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas a partir de las leyes de movimiento gravitación de Newton, y analizaremos las orbitas de los satélites de la Tierra. La deducción de las leyes de Kepler a partir de las leyes de Newton es uno de los triunfos del cálculo. Estas se basan en casi todo lo que hemos estudiado hasta ahora, incluyendo el algebra y la geometría de los vectores en el espacio, el calculo de las funciones vectoriales, las soluciones de las ecuaciones diferenciables y los problemas con valores iníciales, así como la descripción en coordenadas polares de las selecciones cónicas .
Pilas! PAGINA 960
TABLA 13.3 Datos numéricos 
Constante de gravitación universal: ……………..
Masa del Sol:
Masa de la Tierra:
Rdio del ecuador de la Tierra:
Periodo de rotación de la Tierra:
Periodo orbital de la Tierra:
Sycom 3 es parte de una serie de satélites de telecomunicaciones del departamento de Defensa de los Estados Unidos. Tiros II (satélite de observación infrarroja por televisión) es un satélite para analizar el clima. GOES4 ( satélite ambiental operacional geoestacionario) forma parte de una serie de satélites diseñados para reunir la información sobre la atmosfera terrestre. Su periodo orbital de 1436.2 minutos, es casi igual al periodo de rotación de la Tierra de 1436.1 minutos y su orbita es casi circular (e= 0.0003). Intelsat 5 es un satélite comercial de telecomunicaciones de alta capacidad.
EJERCICIOS 13.6 
 Recordatorio: Cuando un calculo necesite la constante de gravitación G, exprese la fuerza en newtons, la distancia en metros, la masa en kilogramos y el tiempo en segundos.
1. Periodo del Skylab 4 Como la orbita de Skylab 4 tenia un semieje mayor de a =6808 km km, la tercera ley de Kepler debe dar el periodo. Considere M igual a la masa de la Tierra. Calcule el periodo y compare su resultado con el valor que aparece en su tabla 13.2
2. Rapidez de la tierra en el perihelio La distancia de la Tierra al sol en el perihelio es de aproximadamente 149.577.000 Km. La excentricidad de la orbita de la Tierra alrededor del Sol es 0.0167.
Calcule la rapidez vo de la Tierra en el perihelio de su orbita.[Use la ecuación(15)].
3. Semi eje mayor del Proton I En julio de 1965, la URS lanzo el Proton I, con unn peso de 12.200 kg (en el lanzamiento), con una altura del perigeo de 183 km, una altura de apogeo de 589 km y un periodo de 92.25 minuto. Use los datos de la masa de a Tierra y la constante gravitacional G para determinar el semieje mayor a de la orbita, a parir de la ecuación(3). Compare su respuesta con e numero obtenido al sumar las alturas de perigeo y apogeo con el diámetro de la Tierra.
4.Semi eje mayor del Viking I La nave orbitante Viking I, que hizo un reconocimiento de Marte de agosto de 1975 a junio de 1976 tuvo un periodo de 1639 minutos. Use esto y la masa de Marte 6.418x10^23 Kg, para calcular el semieje mayor de la orbita del Viking I.
5. Diametro promedio de Marte (Continuacion del ejercicio 4).
La nave Viking I estaba a 1499 km de la superficie de Marte en su punto mas cercano y a 35.800 km de la superficie en el punto mas lejano. Use esta información y el valor obtenido en el ejercicio 4 para estimar el diámetro promedio de Marte.
6.Periododel Viking 2 La nave orbital Viking 2 , que izo un reconocimiento de Marte de septiembre de 1975 a agosto de 1976, describió una elipse cuyo semieje mayor era de 22.030 km ¿Cuál fue su propio periodo orbital? (Exprese su respuesta en minutos).
7. Orbitas geosíncronas Varios satélites en el plano ecuatorial de la Tierra tiene orbitas casi circulares cuyos periodos son iguales al periodo de rotación de la Tierra. Tales orbitas son geosíncromas o geoestacionarias, pues mantienen al satélite sobre el mismo punto de las superficie terrestre.
a. Aproximadamente ¿Cuál es el semieje mayor de una orbita geosíncrona? Justifique su respuesta.
b. ¿Cual es la altura aproximada de una orbita geosíncrona sobre la superficie Terrestre?
c. ¿Cuales de los satélites de la tabla 13.2 tienen orbitas (casi) geosincronas?
8.La masa de Marte es de 6.418x10^23 kg. Si un satélite que gira alrededor de Marte debe mantener una orbita estacionaria (tener el mismo periodo que el de rotación de Marte, que es de 1477.4 minutos)¿Cuál debe ser el semieje mayor de su orbita? Justifique su respuesta.
9. Distancia de la Tierra a la Luna El periodo de rotación de la Luna alrededor de la Tierra es de 2.36055x10^6 segundos ¿ Aproximada mente a que distancia se encuentra la Luna?
10. Calculo de la rapidez de un satélite U satélite se mueve alrededor de la Tierra em una orbita circular. Exprese la rapidez del satélite como una función del radio de la órbita.
11. Periodo orbital Si T se mide en segudos y a en metros,¿? Cual es el valor de T^2/a^3 ara los planetas de nuestro sisema solar? ¿Para los satélites que orbitan en la Tierra?¿Para los satélites que orbitan en la Luna? (la masa de la Luna es 7.354x10^22 kg).
12. Tipo de orbita ¿Para que valores de vo en la ecuación(15) ocurre que la orbita de la ecuación (16) sea una circunferencia? ¿Una elipse?¿ Una parábola?¿Una hipérbola?
13.Orbitas circulares Muestre que un planeta en orbita circular se mueve con rapidez constante (Sugerencia: Esto es una consecuencia de una ley de Kepler).
14. Suponga que r es el vector posición de una partícula que se mueve a lo largo de una curva plana, y Da/dt es la razón con que el vector barre el area. Sin usar coordenadas y suponiendo que las derivadas necesarias existen, proorcione un argumento geomettrico basado en incremetos y limites para demostrar la validez de la ecuación
 dA/dt1/2 /rxr/
15. Tercera ley de Kepler Complete la deducción de la tercera ley de Kepler [lo que continua después de la ecuación (34)]
En los ejercicios 16 y 17, dos planetas, Ay B, orbitan su sol en trayectorias circulares, de modo que A es el planeta interior y B el mas lejano. Suponga que las posiciones de Ay B en el instante son:
…………………………
y
……………………….
Respectivamente, donde se supone que el sol esta en el origen y las distancias se miden en unidades astronómicas. (Observe que el planeta A se mueve más rápido que el planeta B)
Los habitantes del planeta A consideran a su planeta y no al sol como el centro de su sistema planetario.
16.Use el planeta A como origen de un nuevo sistema de coordenadas y de ecuaciones paramétricas para la posición del planeta B en el instane t, Escriba su respuesta en términos de cos (∏t) y sen (∏t)
17. Use el planeta A como origen y grafique la trayectoria del planeta B
Este ejercicio muestra que en la época anterior a Kepler(con una visión geocéntrica-planeta A del sistema solar) se tubo para comprender los movimientos de los planetas (por ejempo el planeta B podría ser Marte) Al respecto vea el articulo de D.G.Saari en American Mathematical Monthly, Vol 97 (febrero, 1990) , paginas 105-109.
18.Kepler descubrió que la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es una elipse con el Sol de uno de los focos. Sea r(t) el vector posición del centro del Sol al centro de la Tierra, en el instante t. Sea w el vector que va desde el Polo Sur al Polo Norte de la Tierra. Se sabe que w es constante y no ortogonal al plano de la elipse (el eje de rotación de la Tierra está inclinado). En términos de r(t)y w , de el significado matemático de (i) afelio (ii) equinoccio (iv) solsticio de verano (v) solsticio de invierno.
Capitulo Preguntas de repaso
1. Enunsie las reglas para derivar e integrar funciones vectoriales
De ejemplos.
2.¿Como se define y se calcula la velocidad, la rapidez, la dirección de moviento y la aceleración de u cuerpo que se mueve a lo largo de una curva en el espacio, suficientemente diferenciable?
De un ejemplo.
3. ¿Que tienen de particular las derivadas de las funciones vectoriales con longitud constante?
De un ejemplo.
4.¿Cuales son las ecuaciones vectoriales y parametricas para el movimiento de un proyectil ideal?¿ Como se encuentra la altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance de un proyectil?
De ejemplos.
5.¿ Como se define y se calcula la longitud de un segmento de una curva regular en el espacio? De un ejemplo ¿Qué hipótesis matemáticas están implicadas en la definición?
6.¿Como se mide la distancia a lo largo de una curva regular en el espacio, a partir de un punto base? De un ejemplo.
7.¿Que es un vector tangente unitario a una curva diferenciable? De un ejemplo.
8. Defina curvatura, circulo de curvatura (circulo osculador), centro y radio de la curvatura para curvas dos veces diferenciables en el plano. De ejemplos. ¿Cuáles curvas tienen curvatura cero? ¿Cuáles tienen curvatura constante?
9.¿Que es un vector normal principal de una curva plana?¿Cuándo está definido?¿En que dirección apunta? De un ejemplo.
10.¿Cómo se define a N y a k de las curvas en el espacio? ¿Cuál es la relación entre ambas? De ejemplos.
CIENTIFIC
 En los ejercicios 16 y 17, dos planetas, Ay B, orbitan su sol en trayectorias circulares, de modo que A es el planeta interior y B el mas lejano. Suponga que las posiciones de Ay B en el instante son:
 r_{A}(t)=2cos(2πt)i+2sen(2πt)j 
 y