Principales áreas de la matemática-parte 2 Álgebra3-

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1. Principales áreas de la matemática
parte 2 Álgebra3
Ejemplos
XŪE M P.
20 de Julio del 2023
Introducción
Continuación del libro Principales áreas de la matemática parte 2 Álgebra2, Donde en un breve resumen te daremos ejemplos para que entiendas a mas profundida los temas dados en nuestro anterior libro.
Si te interesa saber más sobre las matemáticas, te invitamos a leer nuestros libros anteriores, para que te llenes de conocimiento de una forma fácil y rápida.
 Álgebra lineal:
El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de vectores, espacios vectoriales y transformaciones lineales. 
 - Ejemplo: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que involucran las mismas variables. Por ejemplo:
 2x + 3y = 8
 4x - y = 7
Para resolver este sistema, se utilizan técnicas como la eliminación gaussiana o la regla de Cramer, que implican manipular las ecuaciones para encontrar los valores de las incógnitas x e y.
2. Álgebra abstracta:
El álgebra abstracta es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de estructuras algebraicas abstractas como grupos, anillos y campos. A diferencia del álgebra lineal, en álgebra abstracta, los elementos no tienen una interpretación concreta y se estudian sus propiedades generales y relaciones.
- Ejemplo: Grupos cíclicos.
Un grupo cíclico es un grupo generado por un solo elemento. Por ejemplo, el conjunto de enteros bajo la operación de suma forma un grupo cíclico generado por el elemento 1. Al sumar 1 repetidamente, se obtiene el conjunto {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, que es infinito pero sigue un patrón repetitivo.
3. Teoría de polinomios:
La teoría de polinomios se centra en el estudio de polinomios y sus propiedades. Un polinomio es una expresión algebraica compuesta por variables y coeficientes, conectados por operaciones de suma y multiplicación. 
- Ejemplo: Factorización de polinomios.
Considera el polinomio: p(x) = x^2 - 4.
Para factorizarlo, se busca expresarlo como un producto de polinomios más simples. En este caso, p(x) se puede factorizar como (x - 2)(x + 2). La factorización nos permite encontrar las raíces del polinomio, que son los valores de x que hacen que p(x) sea igual a cero.
4. Teoría de matrices:
La teoría de matrices trata el estudio de las matrices y sus propiedades.
Una matriz es una tabla bidimensional de números organizados en filas y columnas. 
- Ejemplo: Multiplicación de matrices.
Considera las matrices:
 A = | 2 3 |
 | 4 1 |
 
 B = | 5 6 |
 | 7 8 |
Para multiplicar estas matrices, se toma el producto punto entre filas y columnas. La matriz resultante C sería:
 C = | 2*5 + 3*7 2*6 + 3*8 |
 | 4*5 + 1*7 4*6 + 1*8 |
 C = | 31 34 |
 | 39 44 |
5. Teoría de grupos:
La teoría de grupos es una rama del álgebra abstracta que se centra en el estudio de conjuntos con una operación binaria (usualmente la multiplicación o la composición) que cumple ciertas propiedades.
- Ejemplo: Grupo de las rotaciones de un triángulo equilátero.
Considera un triángulo equilátero y las rotaciones alrededor de su centro. Estas rotaciones forman un grupo finito con tres elementos: la rotación de 0 grados (que no mueve el triángulo), la rotación de 120 grados en sentido horario y la rotación de 240 grados en sentido horario. Cualquier combinación de estas rotaciones sigue siendo una rotación válida del triángulo.
6. Teoría de anillos:
La teoría de anillos también forma parte del álgebra abstracta y se ocupa del estudio de conjuntos con dos operaciones binarias (adición y multiplicación) que cumplen ciertas propiedades.
- Ejemplo: Anillo de los números enteros (Z).
El conjunto de los números enteros {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} forma un anillo bajo las operaciones de suma y multiplicación estándar. Es un anillo conmutativo porque la multiplicación es conmutativa en este conjunto.
Estos fueron solo algunos ejemplos para darte una idea de cómo se aplican y desarrollan estos temas en matemáticas. Cada uno de ellos tiene muchas más propiedades y aplicaciones en distintas áreas de la ciencia y la ingeniería.
Si prácticas podras mejor y entender mejor los temas, buena suerte.