Calculo Diferencial Material Completo

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN 
PREPARATORIA NÚMERO UNO 
 
SECUENCIA DIDÁCTICA 
RECURSAMIENTO 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
GUÍA PARA ALUMNOS 
 
 
RESPONSABLE DEL REDISEÑO: 
ING.EUNICE ELIZABETH HERRERA SIERRA 
 
2 
 
 
Escuela preparatoria Uno 
5º semestre (enero-julio 2023) 
Secuencia de actividades de Recursamiento de Cálculo Diferencial 
Verano 2023 
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE PUNTOS DÍAS INICIO FIN 
PROCESO 
 
UNIDAD 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES 
ADA 1. Determinación del límite de una 
función en forma numérica y gráfica 
4 1 20 JUN 2023 20 JUN 2023 
ADA 2. Determinación del límite de una 
función en forma analítica 
6 2 21 JUN 2023 22 JUN 2023 
ADA 3. Gráficas de funciones racionales 8 2 23 JUN 2023 26 JUN 2023 
ADA 4. Continuidad de una función en 
un número 
6 1 27 JUN 2023 27 JUN 2023 
ADA Integradora U1. Prueba de 
desempeño de la Unidad 1 20 1 28 JUN 2023 28 JUN 2023 
RETROALIMENTACIÓN 
 1 29 JUN 2023 29 JUN 2023 
 
UNIDAD 2. LA FUNCIÓN DERIVADA 
ADA 5. Determinación de la derivada de 
una función con la definición 
4 1 30 JUN 2023 30 2023 
ADA 6. Determinación de la derivada de 
una función con las reglas básicas 
6 1 3 JUL 2023 3 JUL 2023 
 
UNIDAD 3. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA 
ADA 7. Gráficas de funciones 
polinomiales 
8 1 4JUL 2023 4 JUL 2023 
ADA 8. Problemas de optimización 8 1 5 JUL 2023 5 JUL 2023 
 
PRODUCTO 
ADA Integradora Final. Prueba de 
desempeño de la Unidad 2 y la Unidad 3. 30 1 6 JUL 2023 6 JUL 2023 
RETROALIMENTACIÓN 
 1 7 JUL 2023 7 JUL 2023 
 
TOTAL 100 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO 
DIFERENCIAL 
ASIGNATURA OPTATIVA PROPEDÉUTICA 
 
 
 
Competencia de la asignatura: 
Resolver problemas hipotéticos o de la vida real, relacionados con 
diversas ciencias, utilizando la función derivada y con ayuda de las TIC. 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 1 
Límites y continuidad 
de las funciones 
Competencia de la unidad: Graficar funciones racionales y 
determinar los números del dominio de una función donde es 
discontinua, utilizando límites de funciones y con ayuda de las TIC. 
 
5 
 
Actividad 1: Límites en forma numérica y gráfica 
Valor: 4 puntos 
Resultados de aprendizaje: 
• Describir informalmente un límite. 
• Estimar límites de funciones algebraicas en forma numérica y gráfica. 
• Reconocer y argumentar diferentes formas de límites que no existen. 
 
Descripción de la Secuencia de Actividad: 
 
1. De forma Individual, lee la información relacionada con límites 
 
 
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 
 
Para la función 𝒇(𝒙) se cumple lo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para la función 𝒇(𝒙) se cumple lo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para la función 𝒇(𝒙) se cumple lo siguiente: 
 
 lim
𝑥→𝑎 −
𝑓(𝑥) = 𝐿 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Si el valor del límite 
lateral por la izquierda y 
el valor del límite lateral 
por la derecha es el 
mismo. Entonces el 
límite bilateral existe y 
tiene el mismo valor. 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑁 
Si el valor del límite lateral 
por la izquierda y el valor del 
límite lateral por la derecha 
son diferentes. Entonces el 
límite bilateral No existe. 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = ±∞ 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = ±∞ 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞ 
Si alguno de los límites 
laterales es infinito (±∞). 
Entonces el límite bilateral 
No existe. 
 
6 
 
 
COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE LÍMITES 
 
Los límites laterales existen y tienen valores 
iguales. El límite bilateral existe en x= -2 
 
 
 
Los límites laterales existen y tienen valores 
iguales. El límite bilateral existe en x=1 
 
 
Los límites laterales tienen valores diferentes. El 
límite bilateral no existe en x= 2. Hay un salto finito. 
 
Los límites laterales son infinitos. El límite bilateral 
no existe. Hay un salto infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
2. Con ayuda del instructor, revisa el contenido procedimental siguiente. 
 
 
 APROXIMACIÓN NUMÉRICA 
 Para la función 𝒇(𝒙) = 
𝒙𝟑−𝟏
𝒙−𝟏
 determina el 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙𝟑−𝟏
𝒙−𝟏
 
 
La función 𝑓(𝑥) no está definida para 𝑥 = 1. Para conocer el comportamiento de la función al acercarse a 
𝑥 = 1, tabularemos valores de 𝑥 que se aproximen a 1 tanto por la izquierda (menores) como por 
derecha(mayores) y revisaremos a que valor se acerca o aproxima la función 𝑓(𝑥). 
 
𝑥 se aproxima a 1 por la izquierda 𝑥 se aproxima a 1 por la derecha 
 
𝑥 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25 
𝑓(𝑥) 2.313 2.710 2.970 2.997 ? 3.003 3.030 3.310 3.813 
 
 
𝑓(𝑥) se aproxima a 3 𝑓(𝑥) se aproxima a 3 
 
 
 
COMPORTAMIENTO GRÁFICO 
 
 
 
 
 
8 
 
3. En equipo, realiza los ejercicios que se te presentan a continuación. 
 
a. Estimación de límites en forma numérica. 
 
Completa cada una de la tabla y utiliza el resultado para estimar el límite indicado. 
 (reporta 3 decimales con redondeo) 
 
lim
𝑥→1
(𝑥2 − 𝑥) = 
 
𝑥 1.9 1.99 1.999 1 1.001 1.01 1.1 
𝑓(𝑥) 
 
 
lim
𝑥→3
(
𝑥 − 3
𝑥2 − 9
) = 
 
𝑥 2.9 2.99 2.999 3 3.001 3.01 3.1 
𝑓(𝑥) 
 
 
lim
𝑥→0
(
𝑥
√𝑥 + 1 − 1
) = 
 
𝑥 -0.1 -0.01 -0.001 0 0.001 0.01 0.1 
𝑓(𝑥) 
 
 
 
lim
𝑥→4
(
𝑥 − 1
𝑥2 − 5𝑥 + 4
) = 
 
 
 
𝑥 3.9 3.99 3.999 4 4.001 4.01 4.1 
𝑓(𝑥) 
 
 
 
lim
𝑥→−2
(
𝑥 + 1
𝑥 + 2
) = 
 
𝑥 -2.1 -2.01 -2.001 -2 -1.999 -1.99 -1.9 
𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
9 
 
 
b. Estimación de límites en forma gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
c. Utiliza la gráfica para estimar el límite (si es que existe) indicado. Si el límite no existe, explica 
por qué. 
𝑙𝑖𝑚 
𝑥→−∞ 
𝑓(𝑥) = 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→−4 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→−2 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→0− 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→0+ 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→0 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→3− 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→3+ 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→3 
𝑙𝑖𝑚 
𝑥→+∞ 
𝑓(𝑥) = 
 
 
 
𝑙𝑖𝑚 
𝑥→−∞ 
 
𝑙𝑖𝑚 
𝑥→−1− 
𝑙𝑖𝑚 
𝑥→−1+ 
 
𝑓(𝑥) = 
 
𝑓(𝑥) = 
 
𝑓(𝑥) = 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→−1 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→0 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→1 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→2− 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→2+ 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 
𝑥→2 
𝑙𝑖𝑚 
𝑥→+∞ 
𝑓(𝑥) = 
 
4. En grupo, revisa ante el pleno los resultados de los ejercicios anteriores. 
 
11 
 
Recursos y materiales 
• Material didáctico elaborado para la asignatura 
 
Evidencia de aprendizaje: 
• Resolver ejercicios de cálculo de límites de funciones algebraicas en forma 
numérica y gráfica. 
 
Instrumento de evaluación (lista de cotejo) 
Criterios Indicadores % 
 
Puntualidad 
• La entrega deberá realizarse de manera puntual de acuerdo con la fecha y hora 
establecida por el instructor. 
• En caso de que la entrega se realice fuera de tiempo, queda a consideración del 
instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
0 
 
 
 
 
 
Presentación 
• La actividad deberá entregarse en hojas en blanco tamaño carta, engrapadas y sin 
carpeta. 
• La portada deberá contener nombre de la institución, dependencia, nombre de la 
signatura, curso y semestre del bachillerato, nombre del alumno, nombre del 
profesor y fecha de entrega. 
• Los ejercicios deberán estar debidamente numerados, con las instrucciones escritas 
con lapicero, los desarrollos escritos con lápiz, las soluciones señaladas y los 
resultados con su respectiva interpretación. 
• La redacción de toda la actividad deberá presentar buena ortografía. 
• La actividad en general deberá presentar orden, claridad y limpieza. 
• En caso de que la entrega no cumpla con alguno los puntos anteriores, queda a 
consideración del instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
 
 
 
 
0 
Cálculo de límites de funciones algebraicas en forma numéricaProcedimiento 
• Cálculo correcto de los valores de la función y=f(x) para valores de x que se 
aproximan a x=a por la izquierda y por la derecha, registrándolos en una tabla. 
80 
 
Resultado 
• Estimación precisa del límite L de la función, observando en la tabla los valores de 
función y=f(x), para valores de x que se aproximan a x=a por la izquierda y por la 
derecha. 
 
10 
Cálculo de límites de funciones algebraicas en forma gráfica 
 
Resultado 
• Estimación precisa del límite L observando los valores de la función y=f(x) por la 
izquierda y por la derecha de x=a, en la tabla proporcionada. 
• Estimación precisa del límite L observando los valores de la función y=f(x) por la 
izquierda y por la derecha de x=a, en la gráfica proporcionada. 
 
10 
 
Referencias 
• Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. (2006). Cálculo con 
geometría analítica (Octava edición). México: McGraw Hill-Interamericana. 
• Universidad Autónoma Metropolitana. Canek: Portal de Matemática. México. 
http://canek.uam.mx/
http://canek.uam.mx/
 
12 
 
Actividad 2: Cálculo de límites en forma analítica 
 
Valor: 6 puntos 
Resultado de aprendizaje: 
• Determinar límites de funciones algebraicas por sustitución directa. 
• Determinar límites de funciones algebraicas, aparentemente indeterminados 
(indeterminación 0/0), utilizando la Técnica de Cancelación de Factores Comunes 
o la Técnica de Racionalización del Numerador de una Fracción. 
• Determinar límites laterales de funciones algebraicas. 
• Determinar límites infinitos (indeterminación c/0) de funciones algebraicas. 
• Determinar límites al infinito de funciones algebraicas. 
 
 
 
Descripción de la Secuencia de Actividad: 
 
 
1. De forma individual lee la información relacionada con las técnicas de resolución de los diversos 
límites. 
 
 
TÉCNICA DE SUSTITUCIÓN DIRECTA 
 
Esta técnica consiste en sustituir el valor de la variable “x” en la función. El resultado del valor del 
límite puede ser cualquier número real. En caso de que, al sustituir, el límite sea indeterminado se 
procede con otra técnica. 
 
 
LÍMITES APARENTEMENTE INDETERMINADOS 
 
Si no se puede hallar el límite al sustituir directamente, entonces se procede a factorizar la función y hacer 
cancelación de factores para luego volver a realizar una sustitución directa, esto en caso de que sea una 
función racional y sea factorizable. 
En caso de que la función tenga radicales ya sea en el numerador o denominador, se multiplica por el 
conjugado tanto el denominador como el denominador y se procede algébricamente de la misma manera. 
 
LÍMITES IMPROPIOS 
 
Límites infinitos: Son aquellos límites indeterminados, cuyo comportamiento gráfico es hacia ±∞. 
 
• lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 𝑞𝑢𝑒 "a" 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑢𝑦 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑠 + ∞, 𝑜 − ∞ 
 
• lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 "a" 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑢𝑦 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑠 + ∞, 𝑜 − ∞ . 
 
 
 
13 
 
Límites al infinito 
 
 Son de la forma 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇(𝒙) = 𝑳 
 
En estos límites cada término de la función se divide entre la variable con mayor exponente, se simplifica 
y posteriormente se aplica el teorema el cual establece, que si algún término aun esta divido entre la 
variable es cero. Estos límites definen las asíntotas horizontales. 
 
2. Con ayuda del instructor, revisa el contenido procedimental siguiente. 
 
 
Límites por sustitución directa 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐
 
𝒙 + 𝟏
𝟐𝒙 − 𝟑
 
 
Sustituye 𝒙 = −𝟐 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐
 
(−𝟐) + 𝟏
𝟐(−𝟐) − 𝟑
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐
 
−𝟏
−𝟕
= 
𝟏
𝟕
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟐
 
𝒙 + 𝟏
𝟐𝒙 − 𝟑
= 
𝟏
𝟕
 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
√𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
√(𝟏)𝟐 + 𝟒(𝟏) + 𝟑 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
√𝟖 = √𝟖 
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
√𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 = √𝟖 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Límites aparentemente indeterminados 
 
Cancelación de factores 
 
lim
𝑥→3
(
𝑥 − 3
𝑥2 − 9
) 
 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑥 = 3 
 
lim
𝑥→3
(
3 − 3
(3)2 − 9
) = 
0
0
 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 
 
Factorizando: 
 
lim
𝑥→3
(
𝑥 − 3
𝑥2 − 9
) = lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
= lim
𝑥→3
1
𝑥 + 3
 
 
lim
𝑥→3
1
𝑥 + 3
= lim
𝑥→3
 
1
3 + 3
= lim
𝑥→3
 
1
6
 
 
lim
𝑥→3
(
𝑥 − 3
𝑥2 − 9
) = 
1
6
 𝐴𝑝𝑎𝑟. 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 
 
 
Racionalización. 
 
lim
𝑥→0
(
𝑥
√𝑥 + 1 − 1
) 
 
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑥 = 0 
lim
𝑥→0
(
0
√0 + 1 − 1
) = 
0
0
 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 
 
racionalizando 
 
lim
𝑥→0
(
𝑥
√𝑥 + 1 − 1
√𝑥 + 1 + 1
√𝑥 + 1 + 1
) = lim
𝑥→0
𝑥(√𝑥 + 1 + 1)
𝑥 + 1 − 1
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
√𝒙 + 𝟏 + 𝟏 = √𝟏 + 𝟏 = 𝟐 
 
lim
𝑥→0
(
𝑥
√𝑥 + 1 − 1
) = 2 
 
 
Límites infinitos Límites al infinito 
lim 
𝑥→2
 (
4𝑥
𝑥 − 2
) 
 
lim 
𝑥→2
4(2)
2 − 2
=
8
0
 
 
Analizando los límites laterales 
 
lim 
𝑥→2−
 
4𝑥
𝑥 − 2
= 
4(1.99)
1.99 − 2
= 
+
−
= − ∞ 
 
lim 
𝑥→2+
 
4𝑥
𝑥 − 2
= 
4(2.01)
2.01 − 2
= 
+
+
= + ∞ 
 
 
lim
𝑥→±∞
(
𝑥2 − 12𝑥 + 3
2𝑥2 + 5
) 
 
lim
𝑥→±∞
(
𝑥2
𝑥2
−
12𝑥
𝑥2
+
3
𝑥2
2𝑥2
𝑥2
+
5
𝑥2
) = lim
𝑥→±∞
(
1 −
12
𝑥 +
3
𝑥2
2 +
5
𝑥2
) 
 
lim
𝑥→±∞
(
1
2
) = 
1
2
 
 
lim
𝑥→±∞
(
𝑥2 − 12𝑥 + 3
2𝑥2 + 5
) =
1
2
 
 
3. En equipo, realiza los ejercicios siguientes. 
 
Realiza la sustitución directa y en caso de que el valor del límite sea indeterminado, continua 
con el procedimiento adecuado según sea el caso. 
 
 
 
 
15 
 
Límites aparentemente indeterminados 
 
a. lim
𝑥→−1
𝑥2−1
𝑥2+3𝑥+2
 b. lim
𝑥→2
1
𝑥3
−
1
8
𝑥−2
 c. lim𝑥→2
𝑥2−3𝑥+2
𝑥2−4
 d. lim
𝑥→7
𝑥−7
√𝑥−4−√3
 
 
 
 
e. lim
x→ 3
 
√x+1−2
x−3
 
 
f. lim
x→ 7
 
2−√x−3
x2−49
 
 
g. lim
x→4
√x+5−3
x−4
 
 
 
 
 
Límites infinitos 
 
a. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→ 𝟑
 
𝟐𝒙𝟐−𝟒
𝟐𝒙−𝟔
 
 
 
 
b. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→ −𝟏
 
𝟐𝒙
𝒙𝟐−𝟏
 
 
 
c. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→ 𝟏
 
𝟐𝒙
𝒙𝟐−𝟏
 
 
 
Límites al infinito 
 
 
a. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→ +∞
 
𝒙𝟐+𝟐𝒙
𝟖−𝒙𝟐+𝟑𝒙
 
 
 
 
b. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→ −∞
 
𝒙𝟑−𝒙+𝟑
𝒙−𝟓
 
 
 
c. lim
𝑥→ ±∞
 
2−𝑥
𝑥2+2𝑥−1
 
 
Limites laterales 
 
 
 
 
𝑔(𝑥) = {𝑥
2 − 4 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 > 0
 
 
 
𝑓(𝑥) = {
3 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥2 − 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 2
2𝑥 − 7 𝑠𝑖 𝑥 > 2
 
ℎ(𝑥) = {
4𝑥 + 15 𝑠𝑖 𝑥 < −3
√9 − 𝑥2 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3
2𝑥 − 6 𝑠𝑖 𝑥 > 3
 
 
 
𝑝(𝑥) = {
1
𝑥 + 1
 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥2 + 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 2
3 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2
 
 
4. En grupo, revisa ante el pleno los resultados de los ejercicios anteriores. 
 
16 
 
Recursos y materiales 
• Material didáctico elaborado para la asignatura 
 
Evidencia de aprendizaje: 
• Resolver ejercicios de cálculo de límites de funciones algebraicas por sustitución 
directa, aparentemente indeterminados, laterales, infinitos y al infinito; en forma 
analítica. 
 
Instrumento de evaluación (lista de cotejo) 
Criterios Indicadores % 
 
Puntualidad 
• La entrega deberá realizarse de manera puntual de acuerdo con la fecha y 
hora establecida por el instructor. 
• En caso de que la entrega se realice fuera de tiempo, queda a consideración del 
instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
0 
 
 
 
 
 
Presentación 
• La actividad deberá entregarse en hojas en blanco tamaño carta, engrapadas y 
sin carpeta. 
• La portada deberá contener nombre de la institución, dependencia, nombre de la 
signatura, curso y semestre del bachillerato, nombre del alumno, nombre del 
profesory fecha de entrega. 
• Los ejercicios deberán estar debidamente numerados, con las instrucciones 
escritas con lapicero, los desarrollos escritos con lápiz, las soluciones señaladas y 
los resultados con su respectiva interpretación. 
• La redacción de toda la actividad deberá presentar buena ortografía. 
• La actividad en general deberá presentar orden, claridad y limpieza. 
• En caso de que la entrega no cumpla con alguno los puntos anteriores, queda a 
consideración del instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
 
 
 
 
0 
Cálculo de límites de funciones algebraicas, aparentemente indeterminados, en forma analítica 
Procedimiento 
• Identifica el tipo de límite a determinar. 
• Aplica la técnica de manera correcta para determinarlo. 
20 
Resultado • Estima en forma exacta del límite 5 
Cálculo de límites de funciones algebraicas, laterales, en forma analítica 
 
Procedimiento 
• Redefine correctamente la función, en partes, en caso de ser necesario 
• Identifica de manera acertada la parte de la función al evaluar el límite lateral 
correspondiente 
• Aplica la técnica de evaluación correctamente para estimar el límite 
 
20 
Resultado • Estima en forma exacta del límite lateral o bilateral, según sea el caso 5 
Cálculo de límites de funciones algebraicas, infinitos, en forma analítica 
Procedimiento 
• Reconoce la indeterminación c/0 al aplicar la técnica de sustitución directa 
• Aplica correctamente el teorema para evaluar el límite infinito 
20 
Resultado • Obtiene el resultado correcto del límite infinito 5 
Cálculo de límites de funciones algebraicas, al infinito, en forma analítica 
 
Procedimiento 
• Aplica correctamente la regla para adecuar la función y poder estimar el límite al 
infinito 
• Aplica correctamente el teorema para evaluar el límite al infinito 
 
20 
Resultado • Obtiene el resultado correcto del límite infinito 5 
 
Referencias 
• Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. (2006). Cálculo con 
geometría analítica (Octava edición). México: McGraw Hill-Interamericana. 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press. 
• Universidad Autónoma Metropolitana. Canek: Portal de Matemática. México. 
http://canek.uam.mx/ 
http://canek.uam.mx/
 
17 
 
Actividad 3: Gráficas de funciones racionales 
 
Valor: 8 puntos 
Resultado de aprendizaje: 
• Determinar el dominio de una función racional. 
• Determinar las intersecciones con los ejes coordenados de una función 
racional. 
• Determinar las asíntotas verticales y horizontales de una función racional 
utilizando los límites impropios. 
• Bosquejar la gráfica de una función racional utilizando su dominio, sus 
intersecciones con los ejes coordenados, sus asíntotas verticales y 
horizontales, y la información proporcionada por los límites impropios. 
 
Descripción de la Secuencia de Actividad: 
1. Individual, lee la información siguiente. 
 
Asíntotas verticales 
Las asíntotas verticales están dadas por la ecuación 
𝑥 = 𝑎 
 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = ±∞ (+∞, 𝑜 − ∞) 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = ±∞ (+∞, 𝑜 − ∞) 
Algún límite lateral sea +∞ 𝑜 − ∞ 
 
 Asíntotas horizontales 
Las asíntotas horizontales están dadas por la 
ecuación 𝑦 = 𝑏 
𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
2. Con ayuda del instructor, revisa el contenido procedimental siguiente. 
 
Dibuja la gráfica de la función indicada determinando primero su dominio, sus intersecciones 
con los ejes coordenados, y, sus asíntotas verticales y horizontales por medio de los límites 
impropios. Utiliza la información proporcionada por los límites impropios. 
 
 
𝑭(𝒙) = 
𝒙 − 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑
 
 
𝒈(𝒙) = 
𝒙 + 𝟏
𝒙 + 𝟐
 
a. El dominio 
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 0 
𝑥 = 3 𝑥 = 1 
𝑅 − {1, 3} 
 
 
 
a. El dominio 
 
(𝑥 + 2) = 0 
 
𝑥 = −2 
𝑅 − {−2} 
 
 
b. Los puntos de corte con los ejes coordenados 
(x, 0) y (0, y). 
 
𝑭(𝒙) = 
𝒙 − 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑
= 
𝟏
(𝒙 − 𝟏)
 
 
x y 
(3,1/2) es un agujero 
(discontinuidad) 
0 -1 
no 0 
 
b. Los puntos de corte con los ejes 
coordenados (x, 0) y (0, y). 
 
x y 
0 1/2 
-1 0 
 
c. Las ecuaciones de las asíntotas horizontales 
y verticales utilizando los límites impropios. 
lim
𝑥→1−
𝟏
(𝒙 − 𝟏)
= 
𝟏
(𝟎. 𝟗𝟗 − 𝟏)
=
+
−
= −∞ 
 
 
lim
𝑥→1+
𝟏
(𝒙 − 𝟏)
= 
𝟏
(𝟏. 𝟎𝟏 − 𝟏)
=
+
+
= +∞ 
 
 𝑥 = 1, 𝐸𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
 
lim
𝑥→±∞
𝟏
(𝒙 − 𝟏)
= 𝐥𝐢𝐦
𝑥→±∞
𝟏
𝒙
𝒙
𝒙 −
𝟏
𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝑥→±∞
𝟎
𝟏
= 𝟎 
 
 y= 0 𝐸𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
c. Las ecuaciones de las asíntotas 
horizontales y verticales utilizando los 
límites impropios. 
 
lim
𝑥→−2−
𝒙 + 𝟏
𝒙 + 𝟐
= 
−𝟐. 𝟎𝟏 + 𝟏
(−𝟐. 𝟎𝟏 + 𝟐)
=
−
−
= +∞ 
 
lim
𝑥→−2+
𝒙 + 𝟏
𝒙 + 𝟐
= 
−𝟏. 𝟗𝟗 + 𝟏
(−𝟏. 𝟗𝟗 + 𝟐)
=
−
+
= −∞ 
 
𝑥 = −2, 𝐸𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
 
lim
𝑥→±∞
𝒙 + 𝟏
𝒙 + 𝟐
= 𝐥𝐢𝐦
𝑥→±∞
𝒙
𝒙 +
𝟏
𝒙
𝒙
𝒙 +
𝟐
𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝑥→±∞
𝟏
𝟏
= 𝟏 
 
y= 1, 𝐸𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
 
 
19 
 
La gráfica 
 
La gráfica. 
 
 
 
 
3. En equipo, realiza los ejercicios siguientes: 
 
Para cada una de las siguientes funciones. Determina: 
• Dominio, 
• Sus intersecciones con los ejes coordenados. 
• Sus asíntotas verticales y horizontales por medio de los límites impropios. 
• Utiliza la información obtenida, interprétala y realiza la gráfica. 
 
 
𝑓(𝑥) = 
𝑥 − 2
𝑥2 − 3𝑥 + 2
 
 
 
𝑔(𝑥) = 
𝑥 + 𝑥2
𝑥 − 𝑥2
 
 
ℎ(𝑥) = 
4
𝑥 + 3
 
 
 
𝑝(𝑥) =
2𝑥
𝑥2 − 1
 
 
 
4. En grupo, revisa ante el pleno los resultados de los ejercicios anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
Recursos y materiales 
• Material didáctico elaborado para la asignatura 
 
Evidencia de aprendizaje: 
• Resolver ejercicios de bosquejo de gráficas de funciones racionales determinando 
sus asíntotas verticales y horizontales por medio de los límites impropios. 
 
Instrumento de evaluación (lista de cotejo) 
Criterios Indicadores % 
Bosquejo de gráficas de funciones racionales 
 
Puntualidad 
• La entrega deberá realizarse de manera puntual de acuerdo con la fecha y hora 
establecida por el instructor. 
• En caso de que la entrega se realice fuera de tiempo, queda a consideración del 
instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
0 
 
 
 
 
 
Presentación 
• La actividad deberá entregarse en hojas en blanco tamaño carta, engrapadas y sin 
carpeta. 
• La portada deberá contener nombre de la institución, dependencia, nombre de la 
signatura, curso y semestre del bachillerato, nombre del alumno, nombre del 
profesor y fecha de entrega. 
• Los ejercicios deberán estar debidamente numerados, con las instrucciones escritas 
con lapicero, los desarrollos escritos con lápiz, las soluciones señaladas y los 
resultados con su respectiva interpretación. 
• La redacción de toda la actividad deberá presentar buena ortografía. 
• La actividad en general deberá presentar orden, claridad y limpieza. 
• En caso de que la entrega no cumpla con alguno los puntos anteriores, queda a 
consideración del instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
 
 
 
 
0 
 
Procedimiento 
• Determina correctamente el dominio de la función 
• Determina las intersecciones de la función con los ejes coordenados 
• Determina las asíntotas verticales y horizontales de la función utilizando los límites 
impropios 
 
70 
 
Gráfica 
• Traza las asíntotas verticales y horizontales de la función 
• Marca las intersecciones de la función con los ejes coordenados 
• Considerando los elementos anteriores, el dominio de la función y la información 
proporcionada por los límites impropios realiza el bosqueja de su gráfica 
 
30 
 
Referencias 
• Mario Quijano, CarlosNavarrete. (2002). Cálculo 1. México: Ediciones UADY. 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press 
• Victor M. González Cabrera (1997). Cálculo 4000 (Primera edición). México: 
Editorial Progreso S.A. de C.V. 
 
21 
 
Actividad 4: Continuidad de una función en un número 
 
Valor: 6 puntos 
Resultado de aprendizaje: 
• Determinar los números donde una función presenta discontinuidad 
argumentando la razón. 
• Identificar los diferentes tipos de discontinuidad de una función, en un número, y en 
caso de que la discontinuidad fuese de tipo eliminable, redefinir la función para que la 
discontinuidad desaparezca. 
 
Descripción de la Secuencia de Actividad: 
 
 
1. Individual, lee la información siguiente. 
 
Para que una función 𝑓(𝑥), sea continua en el valor de 𝑥 = 𝑎 
Se debe de cumplir con lo siguiente: 
• f(𝑎)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 ( 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛) 
• lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 
• 𝑓(𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 
En caso de que alguna condición anterior no se cumpla la función es discontinua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
2. Con ayuda del instructor, revisa el contenido procedimental siguiente. 
 
 
 
 
23 
 
 
 
𝑭(𝒙) = 
𝒙 − 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑
 
 
El dominio 
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 0 
𝑥 = 3 𝑥 = 1 
𝑅 − {1, 3} 
• Imagen 
𝑓(3) = 
0
0
 
• Límite. 
 
lim
𝑥→3
𝒙 − 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
𝟏
𝒙 − 𝟏
= 
𝟏
𝟐
 
 
𝑒𝑛 𝑥 = 3 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑟𝑒𝑚𝑜𝑣𝑖𝑏𝑙𝑒 
 
 
 
• Imagen 
𝑓(1) = 
0
0
 
• Límite. 
 
lim
𝑥→1
𝒙 − 𝟑
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟏
𝒙 − 𝟏
= 
𝟏
𝟎
 
 
lim
𝑥→1−
𝟏
(𝒙 − 𝟏)
= 
𝟏
(𝟎. 𝟗𝟗 − 𝟏)
=
+
−
= −∞ 
 
 
lim
𝑥→1+
𝟏
(𝒙 − 𝟏)
= 
𝟏
(𝟏. 𝟎𝟏 − 𝟏)
=
+
+
= +∞ 
 
𝑒𝑛 𝑥 = 1 
 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 
 
 
 
 
 
24 
 
3. En equipo, realiza los ejercicios siguientes. 
 
Determina los valores del dominio donde es discontinua la función indicada en donde es 
discontinua, indicando la razón y el tipo de discontinuidad. Si la discontinuidad fuese de tipo 
eliminable, redefine la función para que la discontinuidad desaparezca. Apoya tu respuesta 
trazando la gráfica de la función en un Graficador. 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 
𝑥2 + 𝑥 − 12
𝑥2 + 2𝑥 − 8
 
 
 
 
𝑝(𝑥) = {
1
𝑥 + 1
 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥2 + 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 2
3 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2
 
 
 
ℎ(𝑥) = {
4𝑥 + 15 𝑠𝑖 𝑥 < −3
√9 − 𝑥2 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3
2𝑥 − 6 𝑠𝑖 𝑥 > 3
 
 
 
𝑓(𝑥) = 
𝑥
√𝑥 + 1 − 1
 
 
 
4. En grupo, revisa ante el pleno los resultados de los ejercicios anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Recursos y materiales 
• Material didáctico elaborado para la asignatura 
 
Evidencia de aprendizaje: 
• Resolver ejercicios de continuidad de una función en un número. 
 
Instrumento de evaluación (lista de cotejo) 
Criterios Indicadores % 
Continuidad de una función en un número 
 
Puntualidad 
• La entrega deberá realizarse de manera puntual de acuerdo con la fecha y hora 
establecida por el instructor. 
• En caso de que la entrega se realice fuera de tiempo, queda a consideración del 
instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
0 
 
 
 
 
 
Presentación 
• La actividad deberá entregarse en hojas en blanco tamaño carta, engrapadas y sin 
carpeta. 
• La portada deberá contener nombre de la institución, dependencia, nombre de la 
signatura, curso y semestre del bachillerato, nombre del alumno, nombre del 
profesor y fecha de entrega. 
• Los ejercicios deberán estar debidamente numerados, con las instrucciones escritas 
con lapicero, los desarrollos escritos con lápiz, las soluciones señaladas y los 
resultados con su respectiva interpretación. 
• La redacción de toda la actividad deberá presentar buena ortografía. 
• La actividad en general deberá presentar orden, claridad y limpieza. 
• En caso de que la entrega no cumpla con alguno los puntos anteriores, queda a 
consideración del instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
 
 
 
 
0 
Procedimiento 
• Identifica los posibles números de discontinuidad en una función 
• Evalúa correctamente la definición de continuidad de una función en esos números 
50 
 
Resultado 
• Indica si existe continuidad o no en el(los) número(s) evaluado(s) 
• Identifica el tipo de discontinuidad 
• Redefine la función en caso de haber discontinuidad eliminable 
 
50 
 
Referencias 
• Mario Quijano, Carlos Navarrete. (2002). Cálculo 1. México: Ediciones UADY. 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press. 
• Universidad Autónoma Metropolitana. Canek: Portal de Matemática. México. 
http://canek.uam.mx/ 
http://canek.uam.mx/
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 2 
LA FUNCIÓN DERIVADA 
Competencia de la unidad: Graficar rectas tangentes a la gráfica de 
una función y resolver problemas de razón de cambio instantáneo, 
de diversas ciencias, utilizando la función derivada y con ayuda de las 
TIC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
Actividad 5: Determinación de la derivada aplicando la definición 
 
 
Valor: 4 puntos 
Resultado de aprendizaje: 
• Explicar el significado de la función derivada. 
• Determinar las ecuaciones de rectas tangentes y normales a una curva y 
representarlas gráficamente. 
 
Descripción de la Secuencia de Actividad: 
 
1. Individual, lee la información siguiente. 
 
• La derivada de una función es otra función que define las pendientes de las rectas tangentes 
que se pueden trazar en un valor “x” de su dominio. 
• La derivada es el límite de las rectas tangentes. 
• La derivada se puede determinar con: 
lim
𝑥→ℎ
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ = ∆𝑥 
• Simbología de la derivada (entre otras) 
𝑦´ 𝑓´(𝑥) , 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
2. Con ayuda del instructor, revisa el contenido procedimental siguiente. 
 
Para cada función aplica la definición para determinar su derivada (la función que genera las 
pendientes de sus rectas tangentes). Interpreta la pendiente en el punto dado y traza las rectas 
tangentes. 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 para cada punto dado 
 
 (2,5) (-1,2) 
 
 
𝑓´(𝑥) = lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 + 1 − (𝑥2 + 1)
ℎ
 
 
lim
ℎ→0
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 1 − 𝑥2 − 1
ℎ
 
 
 
 
 
 
lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ = 2𝑥
 
 
Para (2,5) 
 
𝑓´(𝑥) = 2(2) = 4 (una a la derecha y 4 arriba) 
 
 
Para (−1,2) 
 
𝑓´(𝑥) = 2(−1) = −2 (una a la derecha y 2 abajo) 
 
 
 
 
 
 
29 
 
3. En equipo, realiza los ejercicios siguientes. 
 
Para cada función aplica la definición para determinar su derivada (la función que genera las 
pendientes de sus rectas tangentes). Interpreta la pendiente en el punto dado y traza las rectas 
tangentes. 
 
 
a. 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 punto (1,3) y punto (3 ,3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (−𝟏, −𝟑) 𝒚 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟐 , 𝟎) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 punto (3,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b.𝑓(𝑥) = 
1
𝑥2
 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (−𝟏, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. En grupo, revisa ante el pleno los resultados de los ejercicios anteriores. 
 
31 
 
Recursos y materiales 
• Material didáctico elaborado para la asignatura 
 
Evidencia de aprendizaje: 
• Resolver ejercicios de determinación de ecuaciones de rectas tangentes y 
normales a una curva. 
 
Instrumento de evaluación (lista de cotejo) 
Criterios Indicadores % 
Rectas tangentes y normales a una curva 
 
Puntualidad 
• La entrega deberá realizarse de manera puntual de acuerdo con la fecha y hora 
establecida por el instructor. 
• En caso de que la entrega se realice fuera de tiempo, queda a consideración delinstructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
0 
 
 
 
 
 
Presentación 
• La actividad deberá entregarse en hojas en blanco tamaño carta, engrapadas y sin 
carpeta. 
• La portada deberá contener nombre de la institución, dependencia, nombre de la 
signatura, curso y semestre del bachillerato, nombre del alumno, nombre del 
profesor y fecha de entrega. 
• Los ejercicios deberán estar debidamente numerados, con las instrucciones escritas 
con lapicero, los desarrollos escritos con lápiz, las soluciones señaladas y los 
resultados con su respectiva interpretación. 
• La redacción de toda la actividad deberá presentar buena ortografía. 
• La actividad en general deberá presentar orden, claridad y limpieza. 
• En caso de que la entrega no cumpla con alguno los puntos anteriores, queda a 
consideración del instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
 
 
 
 
0 
 
 
Procedimiento 
• Relaciona los requerimientos del problema con la función derivada para determinar 
los elementos de las rectas tangentes y/o normales 
• Aplica correctamente la definición de la función derivada y los conceptos geométrico- 
analíticos necesarios para determinar los elementos de las rectas tangentes y/o 
normales 
• Determina correctamente los elementos de las rectas tangentes y/o normales 
 
 
60 
 
Resultado 
• Obtiene de manera exacta la pendiente de la recta tangente y/o normal a la curva 
en un punto de esta. 
• Obtiene de manera precisa la ecuación de las rectas tangentes y/o normales 
• Traza la gráfica de la función, y las rectas tangentes y/o normales 
 
40 
 
Referencias 
• Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. (2006). Cálculo con 
geometría analítica (Octava edición). México: McGraw Hill-Interamericana. 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press 
• Manuel René Jiménez, Rosa María Estrada Coronado. (2016). Cálculo 
diferencial. México: Pearson. 
• Universidad Autónoma Metropolitana. Canek: Portal de Matemática. México. 
http://canek.uam.mx/ 
http://canek.uam.mx/
 
32 
 
Actividad 6: Determinación de la derivada de una función aplicando las 
reglas básicas. 
 
Valor: 6 puntos 
 
Resultado de aprendizaje: 
• Resolver problemas por medio de la determinación de la derivada de una función 
explícita (simple o compuesta) o implícita de primer orden u orden superior aplicando 
las reglas básicas de derivación. 
 
Descripción de la Secuencia de Actividad: 
 
1. Individual, lee la información siguiente. 
Reglas básicas de derivación 
 
• Derivada de una contante es cero 
 𝑓(𝑥) = 𝐾 𝑓´(𝑥) = 0 
• Derivada de 𝒙𝒏 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 𝑓´(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 
• Derivada de una suma: es la derivada de 
sus términos. 
𝑠(𝑥) = 𝑔(𝑥) ± 𝑓(𝑥) 
𝑠´(𝑥) = 𝑔´(𝑥) ± 𝑓′(𝑥) 
• Derivada de 𝑥−1 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 𝑓´(𝑥) = ln 𝑥 
 
 
 
• La derivada de un producto 
𝑝(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 
𝑝´(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) + 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥) 
• La derivada de un cociente 
𝐷(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
𝐷´(𝑥) =
𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
• Regla de la cadena 
 ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 
 ℎ´(𝑥) = 𝑓´(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥) 
 
 
33 
 
 
Derivación implícita 
 
Ecuación en su forma explícita 
 
𝑦 = 4𝑥3 − 2𝑥 + 3 
 
Su derivada 
 
𝑦´ = 12𝑥2 − 2 
 
 
Ecuación en su forma implícita 
 
5𝑦3 + 𝑦 − 3𝑥 = 4 
 
Su derivada 
 
15𝑦2 𝑦´ + 𝑦´ − 3 = 0 
 
 
 
Derivadas de orden superior 
 
Función o ecuación Primera derivada Segunda derivada Tercera derivada 
 
𝒚 
 
 
𝒚´ 
 
𝒚" 
 
𝒚"´ 
 
𝒚 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
 
𝒅𝟑𝒚
𝒅𝒙𝟑
 
 
En física relacionamos el cálculo con las tasas de variación instantánea tenemos lo siguiente: 
 
𝒔 = 𝒇(𝒕) 
 
𝒗 = ∫ 𝒂 𝒅𝒕 
 
𝒔´ = 𝒗 =
𝒅𝒔
𝒅𝒕
 
 
 
𝒔 = ∫ 𝒗 𝒅𝒕 
 
𝒔" = 𝒗´ = 𝒂 = 
𝒅𝒗
𝒅𝒕
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
2. Con ayuda del instructor, revisa el contenido procedimental siguiente. 
 
Derivación de funciones en forma algebraica abreviada utilizando las reglas básicas de derivación. 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟔 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐 
 
Derivando 
 
𝑓´(𝑥) = 5(6)𝑥5 − 4(2)𝑥 
 
𝑓´(𝑥) = 30𝑥5 − 8𝑥 
 
 
𝒇(𝒙) =
𝟓𝒙𝟑 − 𝟐
𝟑 − 𝒙𝟐
 
Derivando 
 
𝑓´(𝑥) =
(3 − 𝑥2)(15𝑥2) − (5𝑥3 − 2)(−2𝑥)
(3 − 𝑥2)2
 
 
𝑓´(𝑥) =
(45𝑥2 − 15𝑥4) + 10𝑥4 − 4𝑥
(3 − 𝑥2)2
 
 
𝑓´(𝑥) =
45𝑥2 − 5𝑥4 − 4𝑥
(3 − 𝑥2)2
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝟑(𝟐𝒙𝟓 − 𝟕)𝟒 
Derivando 
 
𝑓´(𝑥) = 12(2𝑥5 − 7)3(10𝑥4) 
 
𝑓´(𝑥) = 120 𝑥4(2𝑥5 − 7)3 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙 (𝟑𝒙 − 𝟐)𝟑 
 
𝒇´(𝒙) = 𝟑𝒙 (𝟑𝒙 − 𝟐)𝟐(𝟑) + (𝟑𝒙 − 𝟐)𝟑 
 
𝒇´(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟐)𝟐(𝟗𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟐) 
 
𝒇´(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟐)𝟐(𝟏𝟐𝒙 − 𝟐) 
 
𝒇´(𝒙) = 𝟐(𝟑𝒙 − 𝟐)𝟐(𝟔𝒙 − 𝟏) 
 
 
Derivación implícita 
 
𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟒 
 
2𝑦𝑦´ + 3𝑦2𝑦´ − 6𝑥 − 2 = 0 
 
𝑦´(2𝑦 + 3𝑦2) = 6𝑥 + 2 
 
𝑦´ = 
6𝑥 + 2
2𝑦 + 3𝑦2
 
 
𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝒚 
 
𝑥𝑦´ + 𝑦 − 2𝑦𝑦´ = 1 + 𝑦´ 
 
𝑥𝑦´ − 2𝑦𝑦´ − 𝑦´ = 1 − 𝑦 
 
𝑦´(𝑥 − 2𝑦 − 1) = 1 − 𝑦 
𝑦´ = 
𝑥 − 2𝑦 − 1
1 − 𝑦
 
 
35 
 
 
 
 Revisa el siguiente problema resuelto. 
 
Cuando se pulsa la cuerda de una guitarra, esta vibra con una frecuencia de 𝐹 = 200√𝑇, donde T= Tensión 
de la cuerda (libras) y F= frecuencia (vibraciones/s). Determina la razón de cambio instantáneo de la 
frecuencia F con respecto a la tensión T de la cuerda cuando: 
a. T= 4 libras 
b. T= 9 libras 
 
 
𝐹 = 200√𝑇 
Derivando 
 
𝑑𝐹
𝑑𝑇
= 200 (
1
2
) 𝑇−1/2 
 
𝑑𝐹
𝑑𝑇
= 
100
√𝑇
 
 
Para 𝑇 = 4 
 
𝑑𝐹
𝑑𝑇
= 
100
√4
= 50 
𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑠
𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎
 
Para 𝑇 = 9 
 
𝑑𝐹
𝑑𝑇
= 
100
√9
= 33.33 
𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑠
𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎
 
 
 
 
3. En equipo, resuelve los ejercicios y problemas siguientes. 
 
a. Determina la derivada de las funciones siguientes. 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟓𝒙𝟑 +
𝟒𝒙𝟐
𝟑
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝟓(𝟑𝒙𝟐 − 𝟏)𝟒 
 
 
 
𝒇(𝒙) = −𝟑(𝟏 − 𝟒𝒙𝟐)
𝟐
𝟑 
 
 
𝒇(𝒙) =
𝟐𝒙
𝟑 − 𝟒𝒙𝟐
 
 
 
𝒇(𝒙) =
𝒙𝟑 − 𝟏
𝒙𝟐 + 𝟓
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2(2 − 𝑥)2 
 
 
4𝑥2 + 3𝑦2 + 2𝑦 = 8, halla y’ 
 
 
 𝑥2 y-4𝑦 − 2𝑦2 = 𝑥, halla y’ 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
b. Para cada ejercicio determina lo que se te solicita, en su caso aplicando los teoremas de 
derivadas adecuados. 
 
1. La temperatura de una persona es F0 (Fahrenheit) días después de adquirir una enfermedad que dura 
10 días. Si la temperatura está dada por el modelo F (t) = 98.6 +1.2 t -0.12 t2. 
a. Cuál es la temperatura de la persona al cabo de 8 días. 
b. Cuál es la razón del cambio de la temperatura de la persona con respecto al tiempo, en el octavo 
día. 
 
2. El tamaño de cierta población de bacterias en el tiempo t en segundos, está dada por 
P (t) = (
𝑡2 +3𝑡+1 
𝑡+1
)
6
 
a. Calcula el tamaño de la población de bacterias a los 2 segundos. 
b. Calcula la razón de cambio del tamaño de la población en el segundo 2 
 
3. El ingreso 𝐼(𝑡) per cápita promedio en cierto país al tiempo t en años, está dado por 𝐼(𝑥) = 6000 +
500𝑡 + 10𝑡2 en dólares. El tamaño de la población (en millones) en el instante t es 𝑃(𝑡) = 10 + 0.2𝑡 +
0.01𝑡2 
a. Calcula la tasa de cambio del PNB en el instante t = 2 años. (PNB = tamaño de la población 
x ingreso per cápita). 
 
 
4. Una pelota se deja caer en un río, en donde el río se mueve de acuerdo con una ecuación de movimiento 
𝑠(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡2 – 4, “s” se mide en metros y “t” en segundos. 
a. Determina la velocidad de la pelota en el segundo 8. 
b. Determina la aceleración de la pelota en el instante t = 8. 
 
5. En cierta empresa un estudio de eficiencia para el turno de la mañana determina que un trabajador 
promedio, que llega a las 7:00 a.m. su producción está dada por 𝑄(𝑡) = 24𝑡 + 6𝑡2 − 𝑡3 
a. Calcula la tasa de producción del trabajador a las 12:00 del día. 
b. ¿A qué razón está cambiando la tasa de producción del trabajador con respecto a las 12:00 
horas? 
 
Nota: Larazón de cambio de la tasa de producción es la segunda derivada. 
 
 
 
 
37 
 
c. Para cada ejercicio determina lo que se te solicita, en su caso aplicando los teoremas de 
derivadas adecuados. Expresa las ecuaciones en su forma general: 𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂 = 𝟎 
 
 
1. Calcula las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟓 en 
el punto de tangencia (1,1). 
 
2. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva 𝒚 = 
𝟏
√𝒙
 que sea: 
a. Paralela a la recta 𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 
b. Perpendicular a la recta 8𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 
 
3. Determina la ecuación de la recta tangente a la curva 𝐲 = 𝐱𝟑 + 𝟓 que sea perpendicular a la recta: 
𝐱 + 𝟑𝐲 = 𝟐 
 
 
 
4. En grupo, revisa ante el pleno los resultados de los ejercicios y problemas anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Recursos y materiales 
• Material didáctico elaborado para la asignatura 
 
Evidencia de aprendizaje: 
• Resolver problemas por medio de la determinación de derivadas de funciones 
explícitas (simples o compuestas), implícitas de primer orden u orden superior, 
utilizando las reglas básicas de derivación. 
 
Instrumento de evaluación (lista de cotejo) 
Criterios Indicadores % 
 
Puntualidad 
• La entrega deberá realizarse de manera puntual de acuerdo con la fecha y hora 
establecida por el instructor. 
• En caso de que la entrega se realice fuera de tiempo, queda a consideración del 
instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
0 
 
 
 
 
 
Presentación 
• La actividad deberá entregarse en hojas en blanco tamaño carta, engrapadas y sin 
carpeta. 
• La portada deberá contener nombre de la institución, dependencia, nombre de la 
signatura, curso y semestre del bachillerato, nombre del alumno, nombre del 
profesor y fecha de entrega. 
• Los ejercicios deberán estar debidamente numerados, con las instrucciones escritas 
con lapicero, los desarrollos escritos con lápiz, las soluciones señaladas y los 
resultados con su respectiva interpretación. 
• La redacción de toda la actividad deberá presentar buena ortografía. 
• La actividad en general deberá presentar orden, claridad y limpieza. 
• En caso de que la entrega no cumpla con alguno los puntos anteriores, queda a 
consideración del instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
 
 
 
 
0 
Derivadas de funciones explícitas (simples o compuestas) por medio de las reglas básicas de derivación 
Procedimiento 
• Identifica correctamente la regla de derivación a aplicar 
• Aplica correctamente la regla básica de derivación 
25 
Resultado • Obtiene de manera exacta la función derivada de una función dada 5 
Derivadas de funciones implícitas por medio de las reglas básicas de derivación 
Procedimiento 
• Aplica correctamente la regla para derivar una función de manera implícita 
• Despeja eficazmente la derivada de la función 
25 
Resultado • Obtiene de manera precisa la función derivada 5 
Problemas de aplicación de la derivada de una función 
Procedimiento 
• Determina la derivada explícita o implícita del orden requerido 
• Evalúa la derivada 
50 
Resultado y 
solución 
• Obtiene el resultado al problema 
• Interpreta el resultado 
• Proporciona la solución 
 
10 
 
Referencias 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press 
• Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. (2006). Cálculo con 
geometría analítica (Octava edición). México: McGraw Hill-Interamericana. 
• Victor M. González Cabrera (1997). Cálculo 4000 (Primera edición). México: 
Editorial Progreso S.A. de C.V. 
• Universidad Autónoma Metropolitana. Canek: Portal de Matemática. México. 
http://canek.uam.mx/ 
http://canek.uam.mx/
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 3 
APLICACIONES DE 
LA FUNCIÓN DERIVADA 
Competencia de la unidad: Graficar funciones polinomiales y 
resolver problemas de optimización, de diversas ciencias, 
utilizando la función derivada y con ayuda de las TIC. 
 
40 
 
Actividad 7: Gráficas de funciones polinomiales 
 
Valor: 8 puntos 
Resultado de aprendizaje: 
• Determinar los posibles valores extremos de una función (números críticos). 
• Determinar los posibles puntos de inflexión de una función. 
• Determinar los intervalos donde una función es creciente o decreciente. 
• Determinar los intervalos donde una función es cóncava hacia abajo o cóncava hacia 
arriba. 
• Aplicar el criterio de la primera y segunda derivada para determinar los valores 
extremos de una función 
• Bosquejar la gráfica una función utilizando toda la información anterior. 
 
Descripción de la Secuencia de Actividad: 
 
1. Individual, lee la información siguiente. 
 
Máximos y mínimos de una función. 
 
La principal utilidad al obtener los puntos máximos y mínimos de una función, así como los intervalos donde 
es creciente y decreciente es para realizar un esbozo o bosquejo general de la gráfica de la función, sin 
embargo; en problemas de aplicación el objetivo principal es determinar los valores máximos o mínimos 
que optimicen el problema. 
 
Para determinar los puntos máximos y mínimos de una función, así como los intervalos donde es creciente 
y decreciente, se emplea el procedimiento del criterio de la primera y segunda derivada. 
 
Criterio de la primera derivada 
Método utilizado para calcular los máximos y mínimos de una función en los puntos críticos donde la 
derivada es cero. 
Primero se determinan los puntos críticos, los cuales dividen el dominio de la función en intervalos abiertos 
para analizar el cambio de signo de la derivada y aplicar lo siguiente: 
Si f´(x) cambia de positiva a negativa, en el punto crítico x= c tiene un máximo relativo. 
Si f´(x) cambia de negativa a positiva, en el punto crítico x= c tiene un mínimo relativo 
Si f´(x) NO cambia de signo, en el punto crítico x = c no existen extremos (ni máximo ni mínimo) 
 
 
 
41 
 
 
 
2. Con ayuda del instructor, revisa el contenido procedimental siguiente: 
 
 Ejemplo: Dibuja la gráfica de la función dada determinando: los intervalos en los que es creciente 
y en los que es decreciente, los intervalos donde es cóncava hacia arriba y donde lo es hacia abajo, 
los valores extremos, los puntos de inflexión. 
 
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2(𝑥 + 1) 
La derivada es: 
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 
 
Puntos críticos donde la derivada es cero: 3𝑥2 − 6𝑥 = 3𝑥( 𝑥 − 2) =0 
x=0 x= 2 
Intervalos 
 
 
 
 
Criterio de la segunda derivada 
Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada 
permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo. 
La segunda derivada se iguala a cero y se buscan los posibles puntos de inflexión.
 
42 
 
 
 
 
 
Para determinar los extremos (máximos y mínimos) con este criterio se sustituye cada punto crítico en la 
segunda derivada y según el signo se decide: 
 
𝑓´´(𝑥) = 6(0) − 6 = (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) por lo tanto, hay un máximo 
 
𝑓´´(𝑥) = 6(2) − 6 = (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) por lo tanto, hay un mínimo 
 
Bosquejo de la gráfica. 
 
 
 
 
 
43 
 
3. En equipo, realiza los ejercicios siguientes. 
 
 
Trace la gráfica de las siguientes funciones determinando su dominio, los puntos de corte con los ejes, 
los intervalos en los cuales es creciente y decreciente, sus puntos máximos y mínimos, así como los 
puntos de inflexión y los intervalos en los cuales es cóncava y convexa. 
 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 
 
b. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 𝑥4 
 
c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 − 2 
 
 
d. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 
 
 
 
4. En grupo, revisa ante el pleno los resultados de los ejercicios anteriores. 
 
44 
 
 
Recursos y materiales 
 
• Material didáctico elaborado para la asignatura 
 
Evidencia de aprendizaje: 
• Resolver ejercicios de graficas de funciones. 
 
Instrumento de evaluación (lista de cotejo) 
 
Criterios Indicadores % 
Gráfica de una funciónPuntualidad 
• La entrega deberá realizarse de manera puntual de acuerdo con la fecha y hora 
establecida por el instructor. 
• En caso de que la entrega se realice fuera de tiempo, queda a consideración del 
instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
0 
 
 
 
 
 
Presentación 
• La actividad deberá entregarse en hojas en blanco tamaño carta, engrapadas y sin 
carpeta. 
• La portada deberá contener nombre de la institución, dependencia, nombre de la 
signatura, curso y semestre del bachillerato, nombre del alumno, nombre del 
profesor y fecha de entrega. 
• Los ejercicios deberán estar debidamente numerados, con las instrucciones escritas 
con lapicero, los desarrollos escritos con lápiz, las soluciones señaladas y los 
resultados con su respectiva interpretación. 
• La redacción de toda la actividad deberá presentar buena ortografía. 
• La actividad en general deberá presentar orden, claridad y limpieza. 
• En caso de que la entrega no cumpla con alguno los puntos anteriores, queda a 
consideración del instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
 
 
 
 
0 
 
 
 
 
Procedimiento 
• Determina el dominio de la función 
• Determina lo posibles valores extremos (números críticos) por medio de la primera 
derivada 
• Determina lo posibles puntos de inflexión por medio de la segunda derivada 
• Identifica los intervalos donde la función es creciente y decreciente 
• Identifica los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia 
abajo 
• Identifica los valores extremos aplicando el criterio de la primera y/o segunda 
derivada 
• Identifica lo puntos de inflexión y las pendientes de las tangentes de inflexión 
 
 
 
 
70 
Gráfica • Incorporando la información anterior realiza el bosquejo de la gráfica de la función 30 
 
Referencias 
• Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. (2006). Cálculo con 
geometría analítica (Octava edición). México: McGraw Hill-Interamericana. 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University 
Press 
 
45 
 
 ACTIVIDAD 8: Problemas de optimización 
 
Resultado de aprendizaje: 
 
 
 
Valor: 8 puntos 
• Resolver problemáticas reales determinando su valor óptimo (máximo o mínimo) 
 
Descripción de la Secuencia de Actividad: 
 
 
1. Individual, lee la información siguiente. 
 
Algunos problemas en los cuales la solución es un máximo o un mínimo pueden resolverse con la teoría 
que se ha desarrollado hasta el momento. 
La aplicación principal de este tipo de problemas se presenta en problemas de optimización, en los cuales 
se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos. No existe un método general que se pueda 
aplicar para resolver todos los problemas de este tipo. 
Por problema práctico entendemos un problema que puede surgir en la vida cotidiana. Tales problemas en 
raras ocasiones tienen puntos singulares; por lo regular en éstos los valores máximos y mínimos se 
presentan en puntos estacionarios, aunque también deberán comprobarse los puntos frontera. 
 
 
 
Estrategia para resolver problemas de optimización: 
 
• Asignar símbolos a todas las magnitudes a determinar. 
• Escribir una ecuación primaria para la magnitud que se va a optimizar (será la ecuación que se 
derive). 
• En caso necesario, hay que reducir la ecuación primaria a una ecuación con una sola variable. Esto 
se puede hacer utilizando ecuaciones secundarias que nos da la información del problema. 
• Determinar el dominio de la ecuación primaria, esto significa hallar los valores para que el problema 
planteado tenga sentido. 
• Determinar el máximo o el mínimo mediante el criterio de la primera o segunda derivada. 
• Dar respuesta e interpretar lo que el problema pide. 
 
 
46 
 
 
2. Con ayuda del instructor, revisa el contenido procedimental siguiente. 
 
 
Ejemplo 1: Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación 
𝒉 = −𝒕𝟐 + 𝟖𝒕 − 𝟏𝟑, donde h es la altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que 
alcanza su altura máxima y el valor de ésta. 
 En este caso la función objetivo a maximizar es 𝒉 = −𝒕𝟐 + 𝟖𝒕 − 𝟏𝟑 
 
 
Derivando la altura con respecto al tiempo, igualando a cero y resolviendo la ecuación 
ℎ′ = −2𝑡 + 8 
−2𝑡 + 8 = 0 
𝑡 = 4 
 
Por lo tanto, el punto crítico se presenta cuando t=4 
 
La segunda derivada es ℎ′′ = −2 
 
En el punto crítico ℎ′′(4) = −2 < 0 entonces en t= 4 la función presenta un máximo. 
 
Sustituyendo t en h se obtiene ℎ = −(4)2 +8(4)-13 =3, por lo tanto, el proyectil tarda 4 segundos en 
alcanzar la altura máxima que es de 3 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
Ejemplo 2: Se desea construir una caja sin tapa, cortando cuadrados en las esquinas de una hoja de 
cartón de 30 cm de lado. ¿De qué medida deben cortarse los cuadrados en las esquinas para obtener 
cajas de volumen máximo? 
 
 
𝑥 
 
 
30 𝑐𝑚 
 
 
𝑥 
𝑥 𝑥 
 30 𝑐𝑚 
𝑥 
 
30 − 2𝑥 
− 2𝑥
 
Variables 
 
𝒙 = 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 
𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂𝒔 (𝒄𝒎) 
𝑽 = 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒋𝒂 (𝑐𝑚3) 
 
Función 
𝑉 = (30 − 2𝑥)2𝑥 
𝑉 = 4𝑥3 − 120𝑥2 + 900𝑥 
 
Dominio 
 
El intervalo (0,15) 
 
Números críticos 
𝑉′ = 12𝑥2 − 240𝑥 + 900 
𝑉′ = 12(𝑥2 − 20𝑥 + 75) 
𝑉′ = 12(𝑥 − 5) (𝑥 − 15) 
 
12(𝑥 − 5) (𝑥 − 15) = 0 
𝑥 − 5 = 0 𝑥 − 15 = 0 
𝒙 = 𝟓 𝑥 = 15 (se descarta, no perteneces 
al dominio de f) 
 
 
 
Valores extremos 
 
𝒙 𝑽 𝑽’ 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊ó𝒏 
𝟎 < 𝒙 < 𝟓 + V crece 
𝒙 = 𝟓 2,000 0 Máximo 
𝟓 < 𝒙 < 𝟏𝟓 - V decrece 
 
 
En 𝑥 = 5 se tiene un valor máximo, y es único 
en el intervalo de su dominio (0, 15), Por lo 
tanto, en 𝒙 = 𝟓 se tiene un valor máximo 
absoluto 𝑽 = 𝟐𝟎𝟎𝟎. 
 Los 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂𝒔 𝑥 = 5 𝒄𝒎. 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑐𝑚3 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
3. En equipo, resuelve los problemas siguientes. 
 
1. Se requiere construir un recipiente cilíndrico sin tapa empleando 480 cm2 de lámina. ¿Qué 
dimensiones debe tener el cilindro para que el volumen contenido en él sea máximo? 
 
2. Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de alambre, el terreno cercado debe 
quedar en forma cuadrada o rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera 
que el área cercada sea máxima. 
 
 
3. Un diseñador gráfico tiene que realizar un trabajo donde tenga 180 cm2 de material impreso, 
dejando 3 cm de margen superior e inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho. Determine las 
dimensiones que debe tener el trabajo para que se utilice la menor cantidad de papel posible. 
 
4. Dado un cilindro de volumen 4m3, determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima. 
 
 
5. Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área total de 
108 cm2 de superficie. ¿Qué dimensiones hacen que la caja tenga el volumen máximo? Dato: la 
abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares. 
 
6. Se quiere cercar una parcela rectangular junto a una carretera. Si la cerca junto a la carretera 
cuesta 10 euros por metro y el resto 5 euros por metro. ¿cuáles serán las dimensiones de la 
parcela para que el área sea máxima si se dispone de 1800euros. 
 
 
4. En grupo, revisa ante el pleno los resultados de los problemas anteriores. 
 
 
49 
 
 
Recursos y materiales 
• Material didáctico elaborado para la asignatura 
 
Evidencia de aprendizaje: 
• Resolver problemas de optimización. 
 
Instrumento de evaluación (lista de cotejo): 
Criterios Indicadores % 
Problemas de optimización 
 
Puntualidad 
• La entrega deberá realizarse de manera puntual de acuerdo con la fecha y hora 
establecida por el instructor. 
• En caso de que la entrega se realice fuera de tiempo, queda a consideración del 
instructor su aceptación y su valoracióntotal o parcial. 
 
0 
 
 
 
 
 
Presentación 
• La actividad deberá entregarse en hojas en blanco tamaño carta, engrapadas y sin 
carpeta. 
• La portada deberá contener nombre de la institución, dependencia, nombre de la 
signatura, curso y semestre del bachillerato, nombre del alumno, nombre del 
profesor y fecha de entrega. 
• Los ejercicios deberán estar debidamente numerados, con las instrucciones escritas 
con lapicero, los desarrollos escritos con lápiz, las soluciones señaladas y los 
resultados con su respectiva interpretación. 
• La redacción de toda la actividad deberá presentar buena ortografía. 
• La actividad en general deberá presentar orden, claridad y limpieza. 
• En caso de que la entrega no cumpla con alguno los puntos anteriores, queda a 
consideración del instructor su aceptación y su valoración total o parcial. 
 
 
 
 
 
0 
 
 
 
 
Procedimiento 
• Define las incógnitas del problema 
• Establece la ecuación de la función a optimizar 
• Reduce a dos incógnitas la ecuación, en caso de ser necesario, para ser tratada 
como una función 
• Determina el dominio de la función 
• Obtiene los posibles valores extremos de la función 
• Aplicando el criterio de la primera derivada y el teorema del extremo absoluto, 
obtiene el valor de la variable independiente que produce el valor óptimo de la 
función 
 
 
 
80 
Solución • Proporciona la solución al problema interpretando los resultados obtenidos 20 
 
Referencias 
• Louis Leithold. (1998). El Cálculo (Séptima edición). México: Oxford University Press 
• Miguel Ángel Martínez Aguilera. (1997). Matemáticas IV. Cálculo diferencial. México: 
McGraw-Hill. 
• Victor M. González Cabrera (1997). Cálculo 4000 (Primera edición). México: Editorial 
Progreso S.A. de C.V.