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El plano de fase en sistemas lineales
Dado que muchas ecuaciones diferenciales no se pueden resolver de manera
conveniente por métodos analíticos, es importante considerar qué información
cualitativa se pueden obtener de sus soluciones sin resolverlas. Los temas que
vamos a tratar tiene que ver con la idea de estabilidad de una solución; los
métodos que se emplean son básicamente geométricos. El concepto de estabi-
lidad y el uso del análisis geométrico investiga como se pertuba las soluciones
cuando se realiza pequeños cambios en las condiciones iniciales para ecuaciones
autónomas de primer orden.
dx
dt
= f(x) (1)
Estas ideas se afinan y las extenderemos a sistemas de ecuaciones. (La teoría
cualitativa de las ecuaciones diferenciales fue creada por Henri Poincaré (1854-1902)
en varios artículos fundamentales entre 1880 y 1886. Poincaré fue profesor en la
Universidad de París y suele considerarse el principal matemático de su época. Realizó
descubrimientos fundamentales en diversas áreas de la matemática como teoría de las
funciones complejas, ecuaciones diferenciales parciales y mecánica celeste. En una
serie de documentos que comenzaron a publicarse en 1894, inició el uso de métodos
modernos en topología. En el campo de las ecuaciones diferenciales fue un pionero en
el uso de series asintóticas, una de las herramientas más poderosas de la matemática
aplicada contemporánea. Entre otras cosas, utilizó desarrollos asintóticos para obtener
soluciones alrededor de puntos singulares irregulares, con lo que extendió el trabajo
de Fuchs y Frobenius )
Plano de fase en R2
Se comienza considerando el sistema más simple, a saber, un sistema lineal
homogéneo de primer orden y dimensión dos con coeficientes constantes. Tal
sistema es de la forma
dx
dt
= Ax (2)
donde A es una matriz constante 2 × 2 y x es un vector 2 × 1. Para resolver
sistemas de este tipo se buscan soluciones de la forma x = ξert, entonces susti-
tuyendo x en la ecuación (2) se encuentra que
(A− rI) ξ = 0, (3)
Por tanto r debe ser un autovalor y ξ el autovector correspondiente de la matriz
de los coeficientes A. Los autovalores son las raíces de la ecuación polinómica
det (A− rI) = 0 (4)
y los autovectores se determinan a partir de la ecuación (3) hasta una constante
multiplicativa arbitraria.
Vamos a notar que los puntos x en los f(x) = 0 (segundo miembro de la
ecuación (1) es cero) revisten especial importancia. Tales puntos corresponden a
soluciones constantes, o soluciones de equilibrio de la ecuación (1) y se denomina
puntos críticos. De manera similar, para el sistema (2) los puntos x tales que
1
Ax = 0 corresponden a soluciones de equilibrio (constantes) y también se le
llama puntos críticos. Se supondrá, por tanto, que A es no singular, o que
detA 6= 0. Se sigue, que x = 0 es el único punto crítico del sistema (2).
Recuérdese que una solución de la ecuación (2) es una función vectorial
x = φ(t) que satisface la ecuación diferencial. Tal función puede concebirse
como la representación paramétrica de una curva en el plano x1x2. A menudo
es útil considerar a esta curva como la trayectoria recorrida por una partícula en
movimiento cuya velocidad dx/dt está especificada por la ecuación diferencial.
El plano x1x2 en sí se denomina el plano de fase y un conjunto representativo
de trayectorias recibe el nombre de retrato de fase.
Al analizar el sistema (2) deben considerarse varios casos distintos, depen-
diendo de la naturaleza de los autovalores de A. Usando únicamente los con-
ceptos de las formas de Jordan del Álgebra lineal es posible hallar una fórmula
para la solución general . Ahora el objetivo central es caracterizar la ecuación
diferencial conforme al patrón geométrico formado por sus trayectorias. En cada
caso se analiza el comportamiento de las trayectorias en general y se ilustra con
un ejemplo. Es importante familiarizarse con los tipos de comportamiento que
las trayectorias tienen en cada caso, porque estos son los ingredientes básicos
de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales.
CASO 1: Autovalores reales distintos del mismo signo.
La solución general de la ecuación (2) es:
x = c1ξ
[1]er1t + c2ξ
[2]er2t (5)
donde r1 y r2 son ambos positivos o ambos negativos. Supóngase primero que
r1 < r2 < 0 y que los autovectores ξ
[1] y ξ[2] son como se muestra en la Fig.1(a)
Figura 1 Un nodo; r1 < r2 < 0. (a) El plano de fase. (b) x1 vs t
De la ecuación (5) se sigue que x → 0 cuando t → ∞ sin importar los
valores c1 y c2; en otras palabras, todas las soluciones tienden al punto crítico
2
en el origen cuando t→∞. Sí la solución parte de un punto inicial de pertenece
a la recta que contiene al radio vector ξ[1], entonces c2 = 0. En consecuencia,
para toda t la solución permanece en esta recta (paralela a ξ[1] y pasa por origen)
y tiende al origen cuando t→∞. De modo similar, si el punto inicial está en la
recta que contiene al radio vector ξ[2], entonces la solución tiende al origen a lo
largo de esa recta. En la situación general, es conveniente reescribir la ecuación
(5) en la forma
x = er2t
[
c1ξ
[1]e(r1−r2)t + c2ξ
[2]
]
(6)
Obsérvese que r1 − r2 < 0. De este modo, en tanto c2 6= 0, el término
c1ξ
[1]e(r1−r2)t es despreciable comparado con c2ξ
[2] para t suficientemente grande.
Así, cuando t → ∞, la trayectoria no solo tiende al origen sino que también
tiende a la recta que pasa por ξ[2]. De aquí que todas las soluciones son tan-
gentes a ξ[2] en el punto crítico excepto aquellas que se inician exactamente
en la recta que pasa por ξ[1]. En la Figura 1(a) se trazan algunas trayectorias,
tambien se muestran algunas gráficas típicas de x1 contra t en la Figura 1(b), las
cuales ilustran el hecho de que todas las soluciones presentan decaimiento ex-
ponencial en el tiempo. El comportamiento de x2 contra t es similar. Este tipo
de punto crítico se denomina nodo o sumidero nodal .
Sí r1 y r2 son ambos positivos, y r1 > r2 > 0, entonces las trayectorias
tienen el mismo patrón que en la Figura 1(a) pero el sentido del movimiento se
aleja del punto crítico en el origen en vez de tender a él. En este caso, x1 y x2
aumentan exponencialmente como funciones de t. Una vez más, el punto crítico
se conoce como nodo (o fuente nodal). Un ejemplo de nodo se muestra en la
siguiente ilustración muy sencilla
Considere el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden{
x′1 = −x1
x′2 = −2x2
escrita de forma matricial[
x1
x2
]′
=
[
−1 0
0 −2
] [
x1
x2
]
la matriz del sistema tiene los autovalores r1 = −1 y r2 = −2; los autovectores
asociados son ξ[1] =
[
1
0
]
y ξ[2] =
[
0
1
]
. La solución general es
x(t) = c1
[
1
0
]
e−t + c2
[
0
1
]
e−2t
vemos que cuando t → ∞, x(t) → (0, 0) independientemente de los valores de
c1, c2.
Esta solución general lo escribo como ecuaciones paramétricas
x1 = c1e
−t
x2 = c2e
−2t
3
De otro lado (x1/c1)
2
= (e−t)
2
= x2/c2 ⇒ x2 = c2c21x
2
1 es una familia de parábo-
las. Los puntos se desplazan a través de la parábola, acercandose al origen; el
origen (0,0) es un nodo.
Figura 2 Las trayectorias del sistema son puntos de la parábola
CASO 2: Autovalores reales con signo opuestos.
La solución general de la ecuación (2) es
x = c1ξ
[1]er1t + c2ξ
[2]er2t (7)
donde r1 > 0 y r2 < 0. Supóngase que los autovectores ξ
[1] y ξ[2] son como se
muestra en la Figura 3(a). Si la solución parte de un punto inicial en la recta
que pasa por ξ[1], entonces se sigue que c2 = 0. En consecuencia, para toda t la
solución permanece en la recta que pasa por ξ[1], y dado que r1 > 0, ‖x‖ → ∞
cuando t→∞. Sí la solución parte de un punto inicial en la recta que pasa por
ξ[2], entonces la situación es similar excepto qué ‖x‖ → 0 cuando t→∞ porque
r2 < 0. Las soluciones qué parten de otros puntos iniciales siguen trayectorias
como las que se muestran en la Figura 3(a). El exponencial positivo es el término
dominante en la ecuación (7) para t grande, de modo que a la larga todas estas
soluciones tienden a infinito de manera asintotica a la recta determinada por el
autovector ξ[1] correspondienteal autovalor positivo r1. Las únicas soluciones
que tienden al punto crítico en el origen son las que parten precisamente de la
recta determinada por ξ[2]. En la Figura 3(b) se muestra algunas gráficas típicas
de x1 vs t. Para ciertas condiciones iniciales el término exponencial positivo
está ausente de la solución, de modo que x1 → 0 cuando t → ∞. Para todas
las demás condiciones iniciales del término exponencial positivo termina por
dominar y hace que x1 se retorne no acotado. El comportamiento de x2 es
4
similar. El origen se denomina punto silla en este caso
Figura 3 Un punto de silla; r1 > 0, r2 < 0. (a) El plano de fase. (b) x1 vs t.
Como ilustración sencilla considere el sistema de ecuaciones de primer orden{
x′1 = −x1
x′2 = x2
escrita de forma matricial[
x1
x2
]′
=
[
−1 0
0 1
] [
x1
x2
]
la matriz del sistema tiene los autovalores r1 = −1 y r2 = 1; los autovectores
asociados son ξ[1] =
[
1
0
]
y ξ[2] =
[
0
1
]
. La solución general es
x(t) = c1
[
1
0
]
e−t + c2
[
0
1
]
et
vemos que cuando t → ∞, x(t) → ∞ independientemente de los valores de
c1, c2.
Esta solución general lo escribo como ecuaciones paramétricas
x1 = c1e
−t
x2 = c2e
t
De otro lado x1x2 = c1c2, son puntos de una hipérbola cuyas asintotas son los
5
ejes coordenados, solo se asocia una rama. El origen es un punto de silla
Figura 4.c1 = A, c2 = B; (0, 0) es un punto de silla
CASO 3: Autovalores iguales.
Supóngase ahora que r1 = r2 = r. Se considera el caso en que los autos valores
son negativos; si son positivos, las trayectorias son similares pero el sentido del
movimiento se invierte. Existen dos subcasos:
a) Dos autovectores independientes. La solución general de la ecuación
(2) es
x = c1ξ
[1]ert + c2ξ
[2]ert (8)
donde ξ[1] y ξ[2] son los autovectores independientes. El cociente x2/x1 es
independiente de t, pero depende de las componentes de ξ[1] y ξ[2] y de las
constantes arbitrarias c1 y c2. Así, todas las trayectorias se encuentran en
una recta que pasa por el origen, como se muestra en la Figura 5.
Figura 5. Nodo propio, .r1 = r2 < 0 Plano fase
El punto crítico recibe el nombre de nodo propio a veces punto estrella
6
b) Un solo auto vector independiente. Cómo ya se estableció, en este
caso la solución general de la ecuación (2) es
x = c1ξe
rt + c2
(
ξtert + ηert
)
(9)
donde ξ es el autovector y η es el autovector generalizado que se asocia al
auto valor repetido. Para t grandes el término dominante de la ecuación
(9) es c2ξtert. De este modo cuando t→∞, todas las trayectorias tienden
al origen de modo tangente a la recta que pasa por el autovector. Esto se
cumple incluso si c2 = 0, porque entonces la solución x = c1ξert se encuen-
tra en esta recta. De manera similar, para t negativa grande el término
c2ξte
rt es de nuevo el dominante, de modo que cuando t → −∞, cada
trayectoria es asintótica a la recta paralela a ξ.
La orientación de las trayectorias depende de las posiciones relativas de
ξ y η. En la Figura 6 se presenta una situación posible. A fin de localizar
las trayectorias, es útil escribir la solución (9) en la forma
x = [(c1ξ + c2η) + c2tξ] e
rt = yert (10)
donde y = (c1ξ + c2η) + c2ξt. Obsérvese que el vector y determina el sen-
tido de x, mientras que la cantidad escalar ert influye solo en la magnitud
de x. Obsérvese además que, para valores fijos de c1 y c2, la expresión para
y es una ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto c1ξ + c2η y
es paralela a ξ.
Figura 6 Un nodo impropio, un autovector independiente; r1 = r2 < 0 Plano de fase
7
Para trazar la trayectoria correspondiente a un par dado de valores de
c1 y c2 puede procederse como sigue. Primero, se traza la recta dada por
(c1ξ + c2η) + c2ξt y se observa el sentido en que t aumenta sobre esta recta.
En la Figura 6 se muestran dos de estas rectas, una para c2 > 0 y otra para
c2 < 0. A continuación, se toma nota de que la trayectoria dada pasa por el
punto c1ξ+ c2η cuando t = 0. Además, cuando t aumenta, el sentido del vector
x dado por la ecuación (10) es el de t creciente sobre la recta, pero la magnitud
de x disminuye con rapidez y tiende a cero debido al factor de decaimiento ex-
ponencial ert. Por último, cuando t disminuye hacia menos infinito, el sentido
de x está determinado por los puntos en la parte correspondiente de la recta y
la magnitud de x tiende a infinito. De este modo se obtienen las trayectorias de
trazo grueso de la Figura 6. Con trazo delgado se representan otras trayectorias
para ayudar a completar el diagrama.
La otra situación posible ilustra en la figura 7, donde la orientación relativa
de ξ y η se invierte. Como se indica en la figura, esto hace que se invierta la
orientación de las trayectorias.
Si r1 = r2 > 0, el lector puede trazar las trayectorias siguiendo el mismo
procedimiento. En este caso las trayectorias se recorren en el sentido hacia fuera
y la orientación de las trayectorias con respecto a la de ξ y η también se invierte.
Cuando el autovalor doble tiene un solo autovector independiente, el punto
crítico se denomina nodo impropio o degenerado. En la siguiente ilustración es
un ejemplo específico de este caso cuyas trayectorias se ilustran en la Figura 7.
x′ = −2x, ý = x− 2y
la solución general es x = c1e−2t, y = c2e−2t + c1te−2t
Figura 7 Un nodo impropio, un autovector independiente. Plano de fase
8
Suponiendo que c1>0, entonces
e−2t = x/c1 ⇒ t = −
1
2
ln(x/c1)
sustituyendo esta t en la expresión
y =
c2
c1
x− x
2
ln(x/c1)
CASO 4: Autovalores complejos.
Supóngase que los autovalores son λ ± iµ donde λ y µ son reales con λ 6= 0 y
µ > 0. Es posible escribir la solución general en términos de las funciones senos
y cosenos. Sin embargo se procederá de un modo distinto.
Los sistemas que tienen los autos valores λ± iµ están tipificados por
x′ =
[
λ µ
−µ λ
]
x (11)
o, en forma escalar,
x′1 = λx1 + µx2 x
′
2 = −µx1 + λx2 (12)
Se introducen las coordenadas polares r y θ dadas por
r2 = x21 + x
2
2, tgθ = x2/x1
derivando estas ecuaciones se obtiene
rr′ = x1x
′
1 + x2x
′
2,
(
sec2 θ
)
θ′ = (x1x
′
2 − x2x′1) /x21. (13)
Si se sustituye las ecuaciones (12) en la primera de las ecuaciones (13), se en-
cuentra que
r′ = λr (14)
y por tanto
r = ceλt (15)
donde c es una constante. De modo similar, si se sustituye de las ecuaciones (12)
en la segunda de las ecuaciones (13) y se aplica el hecho de que, sec2 θ = r2/x21 se
tiene
θ′ = −µ (16)
En consecuencia,
θ = −µt+ θ0 (17)
donde θ0 es el valor de θ cuando t = 0.
Las expresiones (15) y (17) son ecuaciones paramétricas en coordenadas
polares de las trayectorias del sistema (11). Dado µ > 0, de la ecuación (17) se
sigue que θ disminuye cuando t aumenta, de modo que el sentido del movimiento
sobre una trayectoria es el de las manecillas del reloj. Cuando t→∞, se observa
de la ecuación (15) que r → 0 si λ < 0 y r → ∞ si λ > 0. Por tanto, las
9
trayectorias son espirales, que se acercan al origen o se alejan de él dependiendo
del signo de λ. Ambas posibilidades se muestran en la Figuras 8 y 9, junto
con algunas gráficas típicas de x1 contra t. El punto crítico se denomina punto
espiral en este caso. A menudo se emplean los términos sumidero espiral o
fuente espiral para referirse a puntos espirales cuyas trayectorias se acerca al
punto crítico se alejan de él, respectivamente.
Figura 8 Punto espiral r1,2 = λ± iµ, λ < 0; Plano de fase
Figura 9. Punto espiral r1,2 = λ± iµ, λ < 0; Plano de fase
De manera más general, es posible demostrar que para cualquier sistema con
autovalores complejos λ ± iµ donde, λ 6= 0, las trayectorias son siempre espi-
rales. Se dirigen hacia adentro o hacia afuera dependiendo de si λ es negativa o
positiva respectivamente. Pueden ser alargada o sesgadas con respecto a los ejes
coordenados, y el sentido del movimiento puede ser el de las manecillas del reloj
o contrario a este. Mientras que un análisis detallado resulta moderadamente
difícil, es fácil obtener una idea general de la orientación de las trayectorias
10
directamente a partir de las ecuaciones diferenciales.Supóngase que(
dx/dt
dy/dt
)
=
[
a b
c d
](
x
y
)
(18)
tiene autovalores complejos λ ± iµ y obsérvese que el punto (0, 1) en el eje
y positivo. De las ecuaciones (18) se deduce que en este punto dx/dt = b y
dy/dt = d. Dependiendo de los signos de b y d, es posible inferir el sentido
del movimiento y la orientación aproximada de las trayectorias. Por ejemplo, si
tanto b cómo d, son negativos, entonces las trayectorias cruzan el eje y positivo
al dirigirse hacia abajo al segundo cuadrante. Si además λ < 0, entonces las
trayectorias deben ser espirales dirigidas hacia adentro parecida a la de la Figura
10.
Figura 10.
CASO 5: Autovalores imaginarios puros
En este caso λ = 0, y el sistema (11) se reduce a
x′ =
[
0 µ
−µ 0
]
x (19)
con autovalores ±iµ. Aplicando el mismo argumento que en el CASO 4, se
encuentra que
r′ = 0, θ′ = −µ (20)
y, en consecuencia
r = c, θ = −µt+ θ0 (21)
donde c y θ0 son constantes. Por tanto, las trayectorias son círculos, con centro
en el origen, que se recorren en el sentido de las manecillas del reloj si µ > 0 y
en el sentido contrario si µ < 0. Se completa una vuelta alrededor del origen en
un intervalo de tiempo 2π/µ, de modo que todas las soluciones son periódicas
con periodo 2π/µ. El punto crítico se denomina centro.
11
En general cuando los autovalores son imaginarios puros, es posible demostrar
(véase problema 19) que las trayectorias son elipses con centro en el origen. Una
situación típica se muestra en la figura 9.1.7, que también incluye algunas grá-
ficas típicas de x1 contra t.
Figura 9.1.7 Un centro r = ±iµ; a) El plano de fase b) x1 contra t
Observaciones. Al reflexionar sobre estos cinco casos y examinar la figuras
correspondientes, es posible hacer varias observaciones:
1. Después de mucho tiempo, cada trayectoria individual exhibe uno y solo
uno de tres tipos de comportamiento. Cuando t → ∞, cada trayectoria
tiende a infinito, tiende al punto crítico x = 0 o recorre repetidamente
una curva cerrada, correspondiente a una solución periódica, que rodea al
punto crítico.
2. Visto como un todo, el patrón de trayectorias en cada caso es relativamente
simple. De manera más específica, por cada (x0, y0) en el plano de fase
pasa una sola trayectoria; por tanto las trayectorias no se cruzan entre sí.
No hay que confundirse con las figuras, en las cuales a veces parece que
muchas trayectorias pasan por el punto crítico = 0. De hecho, la única
solución que pasa por el origen es la solución de equilibrio x = 0. Las
otras soluciones que parecen pasar por el origen en realidad solo tienden
a este punto cuando t→ +∞ o cuando t→ −∞.
3. En cada caso el conjunto de todas las trayectorias es tal que ocurre una
de las siguientes situaciones.
(a) Todas las trayectorias tienden al punto crítico x = 0 cuando t→∞.
Éste es el caso si los autovalores son reales y negativos o complejos
con parte real negativa. El origen es un sumidero nodal o sumidero
espiral.
12
(b) Todas las trayectorias permanecen acotadas pero no tienden al origen
cuando t→∞. Esto ocurre si los autovalores son imaginarios puros.
El origen es un centro.
(c) Algunas trayectorias, posiblemente todas excepto x = 0, tiende a
infinito cuando t→∞. Esto ocurre si al menos uno de los autovalores
es positivo o si los autos valores tienen parte real positiva. El origen
es una fuente nodal, o una fuente espiral, o un punto de silla.
Las situaciones descritas en las observaciones 3 a) b) y c) anteriores ilustran
los conceptos de estabilidad asintótica, estabilidad e inestabilidad, respectiva-
mente, de la solución de equilibrio x = 0 del sistema (2). Estos términos se
pueden definir en forma precisa pero su significado básico debe ser claro a partir
del análisis geométrico realizado en esta sección. La información que se obtuvo
acerca del sistema (2) se resume en la Tabla 1. Véase también los problemas 19
y 20
Tabla 1 Propiedades de estabilidad de x′ = Ax, con det(A− rI) = 0 y
detA 6= 0
Autovalores Tipo de punto crítico Estabilidad
r1 > r2 > 0 Nodo Inestable
r1 < r2 < 0 Nodo Asintóticamente estable
r2 < 0 < r1 Punto silla Inestable
r1 = r2 > 0 Nodo propio o impropio Inestable
r1 = r2 < 0 Nodo propio o impropio Asintóticamente estable
r1, r2 = λ± iµ Punto espiral
λ > 0 Inestable
λ < 0 Asintóticamentre estable
r1 = iµ, r2 = −iµ Centro Estable
El análisis expuesto en esta sección solo se aplica a sistemas de primer orden
y dimensión dos x′ = Ax cuyas soluciones se representan geométricamente cómo
curvas en el plano de fase. Es posible realizar un análisis similar -aunque más
complicado- para un sistema de dimensión n, con matriz de los coeficientes A de
orden n cuyas soluciones son curvas en un espacio de fase n−dimensional. Los
casos que pueden presentarse en sistema de dimensión superior son en esencia,
combinaciones de lo qué se han visto en dos dimensiones.Por ejemplo, en un
sistema de tercera dimensión en el espacio (tridimensional), una posibilidad es
que las soluciones en determinado plano forme una espiral que dirige al origen,
mientras que otras soluciones tienden a infinito a lo largo de una recta transversal
a este plano. Éste es el caso si la matriz de los coeficientes tienen dos autovalores
complejos con parte real negativa y un autovalor real positivo. Sin embargo
debido a la complejidad, no se consideran sistemas de orden superior al segundo.
13
Problemas
Para cada uno de las matrices del 1 al 12, que lo denotaremos como A
1.-
[
3 −2
2 −2
]
2.-
[
5 −1
3 1
]
3.-
[
2 −1
3 −2
]
4.-
[
1 −4
4 −7
]
5.-
[
1 −5
1 −3
]
6.-
[
2 −5
1 −2
]
7.-
[
3 −2
4 −1
]
8.-
[
−1 −1
0 −0.25
]
9.-
[
3 −4
1 −1
]
10.-
[
1 2
−5 −1
]
11.-
[
−1 0
0 −1
]
12.-
[
2 − 52
9
5 −1
]
le asociamos el sistema lineal de primer orden
x′ = Ax
a Encuentre los auto valores y auto vectores de la matriz A.
b Clasifique el punto crítico (0, 0) según su tipo y determine si es estable,
asintóticamente estable o inestable.
c Trace varias trayectorias en el plano fase y tambiénla gráfica de x1 vs t.
d En caso de ser posible, use una computadora para trazar las curvas solici-
tadas en c.
Para cada uno de los sistemas de primer orden no homogeneos del 13 al 16
13.- x′ =
(
1 1
1 −1
)
x−
(
2
0
)
14.- x′ =
(
−2 1
1 −2
)
x+
(
−2
1
)
15.- x′ =
(
−1 −1
2 −1
)
x+
(
−1
5
)
16.- x′ =
(
0 −β
δ 0
)
x+
(
α
−γ
)
;
donde α, β, γ, δ > 0.
a Determine el punto crítico x0 y clasifique su tipo
b Examine su estabilidad haciendo la transformación x = x0 + u
17.- La ecuación de movimiento de un sistema de masa y resorte con amor-
tiguamiento es
m
d2u
dt2
+ c
du
dt
+ ku = 0
donde m, c y k son positivos. Escriba este sistema de segundo orden
como un sistema de dos ecuaciones de primer orden para x = u, y = u′.
Demuestre que x = 0 y = 0 es un punto crítico y analice la naturaleza y
la estabilidad del punto crítico en función de los parámetros m, c y k.
18.- Considere el sistemax′ = Ax y suponga que A tiene un autovalor cero
14
(a) Demuestre que x = 0 es un punto crítico y además cada punto en
la recta paralela a ξ[1] que pasa por el origen es también un punto
crítico.
(b) Sean r1 = 0, y r2 6= 0 y sean ξ[1] y ξ[2] los autovalores correspon-
dientes. Demuestre que las trayectorias son como se muestra en la
figura
Puntos críticos no aislado.
¿Cuál es el sentido del movimiento en las trayectorias?
18.- Considere el sistema(
x
y
)′
=
(
a11 a12
a21 a22
)(
x
y
)
¿que condiciones debe cumplir la matriz A =
(
a11 a12
a21 a22
)
, para que sus
autovalores sean imaginarios puros? Rpta:TrA = 0, detA > 0.
19.- Use la regla de la cadena
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
en la EDO del problema anterior, junto con TrA = 0, y compruebe que
la EDO obtenida
dy
dx
= f(x, y)
15
es exacta, resuelva para obtener
a21x
2 + 2a22xy − a12y2 = k
¿puede decidir que es una elipse?
20.- Considere el sistema lineal∣∣∣∣ x′ = a11x+ a12yy′ = a21x+ a22y
donde a11, . . . , a22 son constantes reales. Sean p = trA, q = detA y ∆ =
p2 − 4q, Demuestre que el punto crítico (0, 0) es un
(a) Nodo, si q > 0, ∆ ≥ 0
(b) punto de sillasi q < 0
(c) punto espiral si p 6= 0, ∆ < 0,
(d) centro si p = 0, q > 0
20.- Continuando con el problema anterior, demuestre que el punto crítico
(0, 0) es
(a) Asintóticamente estable si q > 0 y p < 0;
(b) Estable si q > 0, y p = 0
(c) Inestable q < 0 o p > 0.
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