Segundo periodo LRMYSA

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LA REPRESENTACIÓN 
MATEMATICA Y SUS 
APLICACIONES 
 
Segundo periodo 
 
Nombre del alumno: 
 
 
Grado y grupo: 
Escuela Preparatoria Uno UADY 
Consejo Estudiantil 2021-2023 
La Representación Matemática y sus Aplicaciones Periodo 1 
 
 
 
El plano cartesiano 
El plano cartesiano es un plano constituido por dos rectas perpendiculares llamados ejes 
coordenados de manera que uno es horizontal y el otro es vertical. El eje horizontal es conocido 
como el eje 𝒙 y el eje vertical es conocido como el eje 𝒚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distancia entre dos puntos 
Dados dos puntos en el plano cartesiano A(x1, y1) & B(x1, y1), la distancia entre esos dos puntos se 
denota como AB 
Distancia entre dos puntos de forma directa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ADA 3. Introducción a la geometría analítica. 
Como forma de práctica escribe las coordenadas de 
los puntos marcados en el plano cartesiano. 
 
A 
B 
C 
D 
E 
 
A 
B 
C 
D 
E 
___ 
___ 
A 
B 
Ejemplo 1. 
Determina la distancia entre los puntos: 
A (8,9) 
B (8,-4) 
Como el segmento es vertical podemos sumar la distancia de 
dos segmentos de 9 y 4 unidades, por lo tanto AB = 13 
 
*Si las coordenadas coincidieran de forma horizontal 
también pueden determinarse de la misma forma. 
 
*Nota: Una distancia no puede ser negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distancia entre dos puntos de forma analítica 
Para calcular la distancia de esta manera será necesario el uso de dos puntos en el plano cartesiano 
los cuales nombraremos como A (x1, y1) y B (x2, y2) estos dependen de la elección de cada uno, 
para facilitar las cosas llamaremos A (x1, y1) al primer punto y B (x2, y2) al segundo punto. 
De la misma manera tomemos en cuenta la definición de distancia: AB = √ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 
 
Ejemplo 2. 
Determina la distancia entre los puntos: 
C (0,0) 
D (8,6) 
Debido a que se forma un triángulo 
rectángulo, la distancia entre CD = d es 
la hipotenusa del mismo con catetos 
que miden 8 y 6 unidades. 
 
___ 
d 
6 
8 
C 
D 
Ejemplo 1. 
Determina la distancia entre los puntos: 
A (-2,3) 
B (4,-1) 
Consideremos A (x1, y1), entonces: 
 x1 = -2, y1 = 3 
 
Consideremos B (x2, y2), entonces: 
 x2 = 4, y2 = -1 
 
Ahora apliquemos AB = √ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 
 
___ 
AB = √ (4 – (-2))2 + (-1 – (3))2 
AB = √ (6)2 + (-4)2 
AB = √ 36 + 16 
AB = √ 52 = 7.2111 
Distancia entre los puntos: 7.2111 
___ 
___ 
___ 
___ 
___ 
A 
B 
4 
6 
___ 
___ 
___ 
___ 
Para calcular la distancia podemos aplicar el Teorema de 
Pitágoras el cual dice que (hip)2 = (cat)2 + (cat)2 
 
Por lo tanto: 
(CD)2 = (8)2 + (6)2 
CD = √64+36 
CD = √100 
CD = 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejercicios de práctica 
 
Ubica cada pareja de puntos en el plano cartesiano, traza la línea que los une y determina su 
distancia por definición. 
 
C (5, 4); D (-6, -3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2. 
Determina la distancia entre los puntos: 
E (-2,3) 
F (5,-1) 
Consideremos A (x1, y1), entonces: 
 x1 = -2, y1 = 3 
 
Consideremos B (x2, y2), entonces: 
 x2 = 5, y2 = -1 
 
Ahora apliquemos AB = √ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 
 
AB = √ (5 – (-2))2 + (-1 – (3))2 
AB = √ (7)2 + (-4)2 
AB = √ 49 + 16 
AB = √ 65 = 8.0622 
Distancia entre los puntos: 8.0622 
 
___ 
___ 
___ 
___ 
___ 
E 
F 7 
4 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G (-2, -1); H (3,5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Punto medio de dos puntos 
Si los extremos de una línea recta son dos puntos en el plano cartesiano A (x1, y1) & B (x2, y2), 
entonces las coordenadas de su punto medio se expresa como M (xm, ym), donde xm & ym son el 
resultado de la semisuma de las abscisas y ordenadas respectivamente es decir: 
Xm = Ym =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distancia entre los puntos: 
x1 + x2 
 
2 
_______ y1 + y2 
 2 
_______ 
Ejemplo 1. 
Determina la coordenada del punto medio de los puntos 
D (-8,2) 
E (-8,-10) 
 
Como el segmento es vertical podemos ver que la 
distancia entre esos puntos es de 12 unidades. 
 
Entonces el punto medio estaría a 6 unidades de los 
extremos, es decir: M (8,-4) 
d = 12 
D 
E 
M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2. 
Determina la coordenada del punto medio de los puntos 
F (-1,2) 
G (7,-4) 
 
Podemos calcular la distancia entre los puntos usando: 
FG = √ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 
 
Consideremos x1 = -1, y1 = 2 ; x2 = 7, y2 = -4 
Obtendremos como resultado FG = 10 
 
Ahora calculemos la coordenada del punto medio 
promediando los valores de x, y 
 
Consideremos x1 = -1, y1 = 2 ; x2 = 7, y2 = -4 entonces: 
 
xm = 
 
ym = 
 
 
Entonces el punto medio es M (3, -1) 
____ 
____ 
x1 + x2 
2 
-1 + 7 
2 
6 
2 
3 
y1 + y2 
2 
 2 - 4 
2 
-2 
2 
-1 
_______ = _______ = ___ = 
_______ = _______ = ___ = 
d = 10 
F 
G 
M 
Ejemplo analítico. 
 
El diámetro de la circunferencia tiene como extremos 
los puntos A (-7,-1) & B (-3,-5). Determina las 
coordenadas del centro. 
 
Consideremos A (-7,-1) con x1 = -7, y1 = -1 y al punto 
B (-3,-5) con x2 = -3, y2 = -5, entonces: 
 
xm = 
 
 
ym = 
 
Por lo tanto el centro tiene coordenadas M (-5,-3) 
x1 + x2 
2 
-7 - 3 
2 
-10 
2 
-5 
y1 + y2 
2 
-1 - 5 
 2 
-6 
2 
-3 
_______ = 
_______ = 
_______ = 
_______ = 
___ = 
___ = 
A 
B 
M 
Ejercicios de práctica: 
Resuelve los siguientes ejercicios apoyándote de los planos cartesianos que 
se presentan. 
1) El punto medio de un segmento es M (2,0) y uno de sus extremos es Q 
(5,-5). Determina las coordenadas del otro extremo P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que empieza en A (4,-2) y termina en B (-1,3) 
para que su longitud se duplique? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pendiente y ángulo de inclinación 
Para calcular la razón de cambio o pendiente de una recta haremos uso de: 
m = 
 
Interpretación: 
 
Para interpretar está pendiente o razón de cambio leeremos los datos de abajo hacia arriba. 
m = 
 
Para calcular el ángulo de inclinación haremos uso de: 
Tan (A) = m 
Ejemplo: 
Supongamos que una recta pasa por el punto (-8,-7) y tiene una pendiente m = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y2 – y1 
 x2 – x1 
 
______ 
 
y2 – y1 representa el valor vertical de la recta con respecto a los valores de y. 
 
x2 – x1 representa el valor horizontal de la recta con respecto a los valores de x. 
______ 
 
y2 – y1 
 x2 – x1 
 
3 
 
___ 
 4 
 Tracemos la recta que cumple estas condiciones. 
 
Interpretemos la recta leyéndola de abajo hacia arriba 
m = 
Lo cual significa que por cada 4 unidades de x, la recta sube 
3 unidades de y. 
 
Para calcular el ángulo recordemos que Tan (A) = m, en este 
caso si m = 
 
 
Tan (A) = 
 
Tan (A) = 0.75 
 
A = Tan-1(0.75) 
 
A = 36.86° 
3 
 4 
 
___ 
 
3 
 
___ 
 4 
 3 
 
___ 
 4 
 
Es importante mencionar que: 
 Si el ángulo de inclinación de la recta es agudo, la pendiente de la 
misma debe ser positiva. 
 Si el ángulo de inclinación de la recta es obtuso, la pendiente de la 
misma debe ser negativa. 
Ejercicios de práctica: 
Ubica cada pareja de puntos en el plano cartesiano, traza la línea recta que pasa por cada una de ellas 
y posteriormente determina su pendiente y ángulo de inclinación. 
E (5, -2); F (4,7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m = A = 
I (-3,5); J (2,5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento.m = A = 
 
 
Lugar geométrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de rectas horizontales y verticales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2. 
Determina la ecuación de la siguiente recta: 
 
→ Primero identifica puntos pertenecientes a la recta: 
 (-8, 6), (-5, 6), (0, 6) (5, 6) 
 
→ Observa que todos los puntos son de la forma (x, 6), es 
decir, el valor constante en la recta es y = 6, ya que un 
punto es de la forma P(x, y) 
 
→ Como la ecuación de la recta debe estar igualada a cero, 
en este caso la ecuación es x - 6 = 0 
 
ADA 4. La línea recta. 
Ejemplo 1. 
Determina la ecuación de la siguiente recta: 
 
→ Primero identifica puntos pertenecientes a la recta: 
 
o Algunos puntos que pertenecen son: (-5, 9), (-5, 3), (-5, 
-2), (-5, 6) 
 
→Observa que todos los puntos que pertenecen a la recta 
son de la forma (-5, y), es decir, el valor constante en la 
recta es x = - 5, ya que un punto es de la forma P(x, y) 
 
→Como la ecuación de la recta debe estar igualada a cero, 
en este caso la ecuación es x + 5 = 0 
 
Se refiere al conjunto de puntos 𝑃(𝑥, 𝑦) del plano cartesiano que cumplen 
ciertas condiciones dadas y está representado por una ecuación. 
Nota: Las ecuaciones generalmente están igualadas a cero y de preferencia 
con el coeficiente de 𝑥 positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de una recta dada un punto y su pendiente 
Para trazar una recta en el plano cartesiano basta tener: de referencia, 
ya que si tenemos: sólo existe una recta que pase por dichos puntos. 
Por ejemplo, sí tenemos los puntos (-8, -7) y (4, 2) la única recta que 
pasa por esos puntos es la siguiente: 
Otra forma es tener un punto de referencia y la pendiente de la recta. 
Supongamos que una recta pasa por el punto (-8, -7) y tiene una pendiente 
𝒎 =
𝟑
𝟒
 . Traza la recta que cumple esas condiciones. 
 
 
Ejemplo 3. 
Traza la gráfica de la recta: x – 4 = 0 
 
→ Primero despeja la ecuación: 
x = 4 
→ Identifica el eje al que está igualado el número, en este 
caso hay que buscar en el eje x el valor 4. 
 
 
→ Todos los puntos que pertenecen a la recta tendrán la 
forma: (4, y) 
 
→ Por ejemplo: el punto (4, 3), (4, -4) y (4,-8) pertenecen a 
la recta. 
Ejemplo 4. 
Traza la gráfica de la recta: y + 7 = 0 
 
→ Primero despeja la ecuación: 
y = - 7 
→ Identifica el eje al que está igualado el número, en este 
caso hay que buscar en el eje y el valor - 7. 
 
 
→ Todos los puntos que pertenecen a la recta tendrán la 
forma: ( x, - 7) 
 
→ Por ejemplo: el punto (-5, -7), (4, -7) y (8,-7) pertenecen 
a la recta. 
 
 
 
 
 
 
 
En general, para determinar la ecuación que representa una línea recta que tiene una pendiente m 
(diferente de cero y que no es infinita) y que pasa por el punto P (x1, y1) que utiliza el modelo “punto-
pendiente” el cual es: 
y – y1 = m (x – x1) 
En el cual se sustituyen loa valores x1 y y1 así como el valor m, para posteriormente hacer las 
operaciones necesarias con el objetivo de que la ecuación quede igualada a cero. 
Determinemos la ecuación de la recta como primer ejemplo: 
Tomemos como referencia al punto (-8, -7), aunque puede 
ser cualquiera que pertenezca a la recta, y la pendiente 𝒎 =
𝟑
𝟒
. Apliquemos el modelo: y – y1 = m (x – x1) 
Se debe sustituirla formula cuidadosamente de la siguiente 
manera: 
 y – ( – 7 ) = 
𝟑
𝟒
 (x – ( -8) ) 
Ahora se tienen que simplificar: 
y + 7 = 
𝟑
𝟒
 ( x + 8 ) 
Dejemos entera e igualada a cero la ecuación y con x positivo del siguiente modo: 
 
 
 
 
→ Primero ubica el punto y luego interpreta 
la pendiente. 
 
→ Interpreta la pendiente leyéndola de abajo 
hacia arriba 
 
𝒎 =
𝟑
𝟒
 
 
 
→ Lo que significa que por cada 4 unidades de x, la recta sube 3 
unidades de y. Es decir, a partir del punto (-8, -7) avanzamos 4 
unidades con respecto a x y subimos 3 unidades con respecto a y. 
 
y + 7 = ( x + 8 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios de práctica: 
En los siguientes ejercicios determinaremos la ecuación de la línea recta. Para esto es importante 
recordar el modelo para calcular la pendiente dados 2 puntos: 
 
 
Así como el modelo para determinar la ecuación de una línea recta: 
y – y1 = m (x – x1) 
 
 
 
Multiplica (4)(y) para obtener 4y y de la misma 
forma, multiplica (4)(7) para obtener 28. 
 
De manera similar, multiplica (3)(x) para obtener 3x 
y (3)(8) para obtener 24. 
A continuación, dejaremos todos los términos del 
lado izquierdo de la ecuación. 
4y + 28 = 3x + 24 
 
- 3x + 4y + 28 – 24 = 0 
 
 
- 3x + 4y + 4 = 0 
 
- 1 ( - 3x + 4y + 4 = 0 ) 
+ 3x - 4y + 4 = 0 
 
Para comprobar que la ecuación es correcta puede sustituir los valores de cualquier punto que 
pertenece a la recta en la ecuación. 
Por ejemplo, evaluemos el punto (4, 2) con x = 4, y = 2 sustituyendo en la ecuación: 
 
 
+ 3x - 4y + 4 = 0 
+ 3 (4) – 4(2) + 4 = 0 
12 – 8 – 4 = 0 
0 = 0 
 
En este caso podemos observar que la ecuación es correcta, ya que dio como resultado 0 = 0. En 
caso de que al sustituir los resultados sean ilógicos, como – 3 = 0 ó 6 = 0 quiere decir que la 
ecuación es incorrecta. 
 
y2 – y1 
 x2 – x1 
 
______ 
 
m = 
 
 
Simplifica términos semejantes. 
 
Como paso final tenemos que dejar al término x positivo, en este caso es 
negativo y para ello, se multiplica toda la ecuación por – 1. Lo anterior 
provocará que – 1 por – 3x sea + 3x, que - 1 por 4y sea – 4y y que – 1 por 
+ 4 sea – 4 igual a 0. 
 
1) Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (4, 3), B (-2, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación = 
 
2) Determina la ecuación de la siguiente recta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación = 
 
Observaciones de la gráfica de una línea recta 
 
La abscisa al origen (𝒂) es un número que indica la distancia horizontal 
que hay desde el origen hasta donde una recta corta al eje 𝑥. 
El punto por donde pasa se le conoce como punto de intersección en el eje 𝑥. 
 
En este caso: 
 Abscisa al origen (a): - 4 
 Intersección en el eje x: (-4, 0) 
 
La ordenada al origen (𝒃) es un número que indica la distancia 
vertical que hay desde el origen hasta donde una recta corta al eje 𝑦. 
El punto por donde pasa se le conoce como punto de intersección en 
el eje 𝑦. 
 
En este caso: 
 Ordenada al origen (a): + 3 
 Intersección en el eje x: (0, 3) 
 
 
Gráfica de una línea recta dad su ecuación 
 
Para graficar una línea recta dada su ecuación necesitamos identificar dos puntos que pertenecen a 
ella. Los puntos más sencillos son aquellos en donde la recta pasa en el eje x y en el eje y. Recordemos que: 
 En el eje x el valor de y = 0 
 En el eje y el valor de x = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1. 
Tracemos la recta que representa la ecuación: 
6x – 3y – 18 = 0 
 
→ Para ello determinaremos las coordenadas donde la recta 
pasa en el eje x y en el eje y. 
 
→ Coordenada en eje x, es decir, cuando y = 0: 
6x – 3y – 18 = 0 
6x – 3(0) = 18 
6x = 18 
x = 
x = 3 
Es decir, la coordenada donde la recta pasa en el eje x 
es = (3, 0) 
Ubicamos l punto en la recta y de manera similar, determinemos la coordenada en donde 
la recta pasa en el eje y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ Coordenada en eje y, es decir, cuando 
x = 0 : 
6x – 3y – 18 = 0 
6(0) – 3y = 18 
– 3y = 18 
y = 
y = - 6 
Es decir, la coordenada donde la recta pasa 
en el eje x es = (0, - 6) 
 
→ Cuandotenemos ambos puntos podemos 
graficar la recta: 
Ejemplo 2. 
Tracemos la recta que representa la ecuación: 
2x – 4y – 12 = 0 
 
→ Para ello determinaremos las coordenadas donde la recta 
pasa en el eje x y en el eje y. 
 
→ Coordenadas en el eje x, es decir, cuando y = 0: 
2x – 4y – 12 = 0 
2x – 4(0) = 12 
2x = 12 
x = 
x = 6 
Es decir, la coordenada donde la recta pasa en el eje x 
es = (6, 0). 
2x – 4y – 12 = 0 
2x(0) – 4y = 12 
4y = 12 
y = 
y = 3 
Es decir, la coordenada donde la recta pasa en el eje y 
es = (0, 3). 
Procedimiento. 
→ El Procedimiento nos da a entender que el comportamiento por cada llamada extra crece de 
forma lineal. 
→ Primero ubiquemos dos puntos que pertenecen a la recta: 
Como x representa el número de llamadas y y el pago mensual podemos tomar a mayo como 
un punto con las coordenadas (150, 350), al mes de junio como coordenadas (120, 290) y así 
sucesivamente. 
→ Necesitamos dos puntos para calcular el valor de la pendiente o razón de cambio; podemos 
considerar cualquier pareja de puntos generados por los meses que pertenecen al problema. 
Consideremos a los meses de junio (120, 290) y septiembre (170, 390). 
→ Calculemos m considerando que: x1= 120, y1= 290; x2= 170, y2= 390 
𝑚 =
𝑦 − 𝑦
𝑥 − 𝑥
=
390 − (290)
170 − (120)
=
390 − 290
170 − 120
 
 
Nota: Es importante simplificar hasta donde la fracción lo permita y si la pendiente es 
entera considérala como fracción teniendo al 1 como denominador. 
→ Ahora interpretemos la pendiente con relación al problema. 
En este caso 𝒎 =
𝟐
𝟏
. La pendiente se lee de abajo hacia arriba. El número de abajo describe 
el comportamiento de x el número de arriba describe el comportamiento de y. 
Ejemplo 3. 
El costo del servicio telefónico de una compañía es de $250 mensuales con 
derecho a 100 llamadas más una cantidad adicional por cada llamada que 
exceda las 100. El historial del consumo en una casa es el siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑚 =
100
50
=
𝟐
𝟏
 
 
 
 
 
Mes 
Núm. llamadas en el 
mes (x) 
Pago mensual (y) 
Mayo 150 $350 
Junio 120 $290 
Julio 145 $340 
Agosto 100 $250 
Septiembre 170 $390 
a) ¿Cuál es la razón de cambio (m) de esta situación? Expresarla en notación del problema. 
 
b) Con determina la ecuación que expresa la relación que hay entre el número 
de llamadas realizadas con el pago mensual correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Si en el mes de octubre se hicieron 167 llamadas, ¿cuánto se debe pagar? 
 
 
 
 
 
 
→ En este problema x representa el núm. de llamadas mensuales y y el pago mensual. Por lo 
tanto: 
Razón de cambio (m) = Por cada llamada l pago mensual aumenta en $2 
 
Procedimiento. 
→ Del inciso anterior tenemos que 𝒎 =
𝟐
𝟏
 
→ Usemos cualquier punto que pertenezca a la recta como ya que para determinar la ecuación 
requerimos la pendiente y un punto donde pasa. Consideremos al mes de agosto (100, 250). 
→ Apliquemos el modelo y – y1 = m (x – x1) y sustituyamos con los valores de este problema: 
y – (250) = 2 ( x – (100) ) 
→ En este caso podemos trabajar con m =2. Simplifiquemos e igualemos a 0 la ecuación: 
y – 250 = 2 ( x – 100) 
y – 250 = 2 x – 200 
– 2 x + y – 250 + 200 = 0 
– 2 x + y – 50 = 0 
2 x - y + 50 = 0 
 
Ecuación = 2 x - y + 50 = 0 
 
Multiplicamos la 
ecuación por (-1) 
para que se 
convierta positiva. 
Procedimiento. 
→ Como x representa El número de llamadas en este caso x = 167. Necesitamos calcular el 
costo y para este valor, para ello sustituyamos en la ecuación: 
2 x - y + 50 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Si en el mes de octubre se pagó $430, ¿cuántas llamadas se realizaron? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Traza la gráfica que representa el problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 (167) - y + 50 = 0 
334 - y + 50 = 0 
- y = 0- 384 
y = 384 
 
Respuesta: Se pagarán $384 
 
Procedimiento. 
→ Como y representa el pago mensual en este caso y = 430. Necesitamos calcular el número 
de llamadas x para este valor, para ello sustituyamos en la ecuación: 
2 x - y + 50 = 0 
2 x - (520) + 50 = 0 
2 - (520) + 50 = 0 
2x = 570 
2x = 
x = 285 
Respuesta: Se realizaron 285 llamadas 
 
Procedimiento. 
La ecuación es: 2 x - y + 50 = 0 
Para trazar la gráfica, determinemos las 
intersecciones con los ejes. 
En el eje x si y = 0 entonces x = - 25, por lo 
tanto pasa por (- 25, 0). 
En el eje y si x = 0 entonces y = 50, por lo 
tanto pasa por (0, 50). 
Ya que tenemos los puntos, se considera 
una escala adecuada para ubicarlos. En este 
caso el eje x, cada cuadrito vale 5 unidades y 
en el caso del eje y, cada cuadrito vale 10 
unidades: 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación = 
Ejercicios de práctica: 
1. Una costurera en una maquiladora tiene un sueldo fijo diario de $75, más $2.50 
por cada playera que confeccione. 
 
a) Escribe la ecuación que relacione la ganancia diaria con la cantidad de 
playeras confeccionadas si 𝑥 es el número de playeras y 𝑦 la ganancia diaria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Si un día confecciona 315 playeras, ¿cuánto ganó ese día?: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta: 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación = 
c) Si un día ganó $425.50, ¿cuántas playeras confeccionó?: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Antonio es el encargado del mantenimiento del parque ecológico del poniente y ha elaborado una gráfica para 
registrar el número de veces que se ha realizado esa labora. 
 
 
 
 
 
y 
x 
N
úm
er
o 
d
e 
d
ía
s 
re
qu
er
id
os
 
 
 
Número de trabajadores 
a) ¿Cuál es la razón de cambio (𝑚) de esta situación? Exprésala en notación 
del problema: 
 
 
 
 
 
 
b) Determina la ecuación de la recta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ¿Cuántos días se requieren para dar mantenimiento al parque si Antonio emplea sólo 
dos trabajadores? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-- 
 
 
d) ¿Cuántos trabajadores se necesitan para darle mantenimiento al parque en 5 días? 
 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
Respuesta: 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
Respuesta: 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
Respuesta: 
 
Procedimiento. 
 
 
 
 
 
 
Respuesta: