Trabajo 4 - Compensadores

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CONTROL II
TRABAJO 4 - G06
COMPENSADORES
Por:
EMANUEL FRANCO MUÑOZ 
1152453811
JORGE ANDRÉS TORO CÓRDOBA
1036653523
YOINER COLORADO RAMOS
1017185041
Para:
NELSON DE JESUS LONDOÑO OSPINA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
2018-II
CONTENIDO
1.	SISTEMA ORIGINAL	4
a.	Sin controlador (Gc=1)	4
LGR	4
Respuesta de lazo cerrado	5
b.	Compensador para sobrenivel de 15%	6
Matemáticamente	6
Manual	7
Sisotool (manual)	8
c.	Programa Matlab parar calcular compensador de adelanto	10
Ubicación de polos deseados de lazo cerrado	10
Angulo del compensador	11
Polo y cero del compensador	14
d.	Compensador para sobrenivel de 15% y Wn = 1 rad	15
Compensador#1	15
Código	17
Compensador#2. Cambiando Wn a 2.1 con sp =15%	18
Código	20
e.	LGR del sistema sin compensar y compensado	21
LGR del sistema sin compensar	21
Compensador#1. LGR - Wn = 1, sp=15%	21
Compensador#1.1. LGR Invirtiendo el compensador de atraso	22
Compensador#2. LGR - Wn=2.1, sp = 15%	24
f.	Respuesta del sistema sin compensar y compensado	26
Compensador#1 y #1.1. Respuesta sp = 15% y Wn = 1	26
Compensador#2. Respuesta - sp = 15% y Wn = 2.1	27
Compensador#3. Respuesta- sp=15% exacto	28
g.	Error estático de posición y velocidad	30
Error estático de posición	30
Error estático de velocidad para los 2 sistemas	32
2.	SISTEMA Con error de posición cero	34
Un solo compensador	35
Codigo	35
LGR	36
Dos compensadores en serie	36
Código	38
LGR	39
Respuesta al escalón	39
Respuesta a la rampa	40
Error estático de velocidad	40
Tres compensadores	41
Código	42
LGR	43
Respuesta al escalón	43
Respuesta a la rampa	44
Error estático de velocidad	44
2.1.	Compensador con sp = 15% exacto	45
Un compensador en serie	45
Dos compensadores en serie	46
LGR	47
Respuesta al escalón	48
Respuesta a la rampa	49
Error estático de velocidad	49
3.	SISTEMA con error de velocidad 10 veces menor	50
Respuesta a la rampa	51
LGR	52
Respuesta transitoria	52
4.	Programa para colocar cero de 0.0001 a 0.1	54
5.	Sistema original con integrador en serie	55
Error de estado estacionario a la rampa	55
a. Sistema con compensador de adelanto	57
b. Sistema con compensador de atraso	64
Ventajas y desventajas de los compensadores	64
BIBLIOGRAFÍA	65
1. SISTEMA ORIGINAL
a. Sin controlador (Gc=1)
Sin controlador (Gc=1), analice la respuesta del sistema ante la señal de entrada escalón. Considere el esfuerzo de control en su análisis.
LGR
Respuesta de lazo cerrado
Se puede observar que el sistema, sin controlador, tiene un comportamiento sub amortiguado, con un tiempo de estabilización de 3.68 segundos y un sobrepico del 9.58%, cabe mencionar que la respuesta tiene una componente subamortiguada, debido al polo (s+3)
Para este tipo de sistema se tiene que el coeficiente de error estático de posición es el siguiente:
Luego el error de estado estacionario ante una entrada escalón es:
De la acción de control podemos ver que éste es inversamente proporcional al tiempo de estabilización puesto que a medida que aumenta el tiempo disminuye el esfuerzo de control hasta llegar al tiempo de estabilización, donde se estabilizan la señal de salida y el esfuerzo de control en 0.5. Es también directamente proporcional al error debido a que si el error es grande el esfuerzo de control también lo será.
b. Compensador para sobrenivel de 15%
Diseñe un compensador que garantice un sobrenivel porcentual del 15%
Matemáticamente
Se tiene el sistema de 3er orden:
Y en lazo cerrado es:
Se tiene un sistema de tercer orden, y este se reducirá a uno de 2do orden tomando los 2 polos dominantes con el fin de calcular Xhi, Wn y finalmente Gc, el cual se evaluará en el sistema original.
Cerrando el lazo:
Se desea un sp = 15%
Despejando	
Al evaluar el compensador en el lazo cerrado tanto del sistema original como del reducido tenemos:
La respuesta en lazo cerrado para esta ganancia para los 2 sistemas es:
No se obtuvo el sp=15% debido a que en los cálculos no se tuvieron en cuenta los efectos proporcionados por el polo, el cual aporta una componente sobreamortiguada al sistema.
Manual
Basta con mover la ganancia en el LGR de rlocus, hasta alcanzar una que proporcione un sp más cercano al 15%
Se obtuvieron los siguientes datos
La respuesta al escalón para esta ganancia fue la siguiente:
Nótese que la respuesta al escalón no adapta el sobrepico del 15.7% como lo prometía el LGR de lazo abierto, esto es porque el sistema es de 3er grado. Lo que implica una alteración a la respuesta del sistema debido al polo menos dominante, el cual afecta la respuesta transitoria del sistema de forma sobreamortiguada, esto explica la disminución del sobrepico.
Para mitigar este error se tienen 2 opciones: 
· Encontrar manualmente el compensador mediante sisotool
· Añadir al compensador un cero, que anule el polo menos dominante, y así trabajar con un sistema de 2do orden.
Sisotool (manual)
Se mueve la ganancia en el LGR y simultáneamente se observa el sobrepico de la respuesta al escalón hasta alcanzar 15%

Se obtuvieron los siguientes datos
c. Programa Matlab parar calcular compensador de adelanto
Diseñar un programa en Matlab que a partir de dar las especificaciones en el dominio del tiempo calcule el compensador de adelanto. El programa debe estar suficientemente documentado y explicado.
El código está diseñado para crear un compensador de adelanto, parte de ingresar la función de transferencia, el sobrenivel porcentual y el tiempo de estabilización con el criterio del 2%. El compensador garantiza resultados, cuando el ángulo que agrega el compensador es menor a 60º, cuando el ángulo supera este valor, se debe modificar el programa para que divida el ángulo en partes iguales de tal forma que ángulo que va generar el compensador sea menor a 60º, por último el compensador generado se eleva las n veces que fue divido el ángulo. 
La salida del código es el compensador y la ganancia necesaria para garantizar el polo deseado en lazo cerrado. 
% FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
s=tf('s')
Gp=input('Ingrese la Función de transferencia')
 
%Para garantizar los valores
Sp=input('Ingrese sobre porcentual')
Xi=sqrt((log(Sp/100))^2/(pi^2+(log(Sp/100)^2))); %Xi=Factor de amortiguamiento
Ts=input('Ingrese tiempo de estabilización') %Ts=Tau=1/Xi*Wn
Wn=4/(Xi*Ts) %Criterio del 2%, 4*Tau
Ubicación de polos deseados de lazo cerrado
A partir del sobrenivel porcentual se obtiene ξ, así:
Con el tiempo de estabilización usando el criterio del 2% se obtiene la frecuencia natural del sistema:
Luego ubicamos el polo deseado que cumple con las condiciones iniciales, la frecuencia de amortiguamiento del sistema se obtuvo con: 
%Polo de lazo cerrado deseado 
Pd=-Exi*Wn + Wn*sqrt(1-Exi^2)*i 
%Proceso matemático
AngPD=180-atand(abs(imag(Pd)/real(Pd))) %Angulo del Polo deseado 
El ángulo del polo deseado se puede obtener al usar la identidad trigonométrica tangente inversa de la parte imaginaria sobre la real, esto me entrega el ángulo α, por tanto el resultado final es 180-α=Ángulo polo deseado. También se puede aplicar la siguiente ecuación 
Ahora por ángulos congruentes tenemos que
Angulo del compensador
Se debe calcular el ángulo que debe aportar el polo deseado, a la función de transferencia de lazo abierto, para garantizar que el lugar de raíces pase por el:
AngC=180-angle(evalfr(Gp,Pd))*180/pi %Angulo que debe agregar el Compensador
Se multiplica por 180/pi ya que este código trabaja en radianes
Se conoce que los ángulos aportados por la planta y el compensador deben sumar 180, por tanto la diferencia entre 180 y los ángulos aportados por los ceros y polos de la planta dan el ángulo que debe agregar el compensador. 
Se determina el polo y el cero del compensador deseado, se trazan dos rectas 
PO: Une al polo con el origen 
PA: Paralela al eje real que pasa por el polo deseado 
Ahora la bisectriz estará a un ángulo de φ/2 con respecto a la paralela:
A partir de la bisectriz se traza una línea a lado y lado, que forme con ella un ángulo de 
Los puntos donde se cortan las rectas con el eje real dan la ubicación del cero y el polodel compensador. 
El aporte del ángulo del polo y el ángulo del cero debe ser de , por tanto se debe cumplir 
Por ángulos equivalentes hallamos estos valores con las siguientes líneas 
AngP=(AngPD-AngC)/2 %Angulo Polo compensador 
AngZ=(AngPD+AngC)/2 %Angulo Cero compensador
	
Polo y cero del compensador
Ahora teniendo los ángulos respectivos con las relaciones de los triángulos hallamos los valores respectivos del cero y el polo.
 
Polo=((imag(Pd))/(tand(AngP))) + abs(real(Pd)) %Valor Polo Compensador 
Zero=((imag(Pd))/(tand(AngZ))) + abs(real(Pd)) %Valor Cero Compensador
Ahora se tiene el cero y polo hallado, con la siguiente línea se genera el compensador 
%Compensador 
C=(s+Zero)/(s+Polo)
Luego para cumplir las condiciones se halla la ganancia K, requerida por el compensador 
%Valor de ganancia del compensador
FT=Gp*C %Nueva Función de transferencia
Kcc=(abs(evalfr(FT,Pd)))^-1 %Valor de ganancia nuevo
d. Compensador para sobrenivel de 15% y Wn = 1 rad
Diseñe un compensador que garantice:
· Sobrenivel porcentual del 15%
· Wn = 1 rad.
Compensador#1
Se desea un sp = 15%
Despejando
Con Wn=1, tenemos que para cumplir con lo pedido los polos dominantes deben ser:
El polo deseado estará entonces (-0.517, 0.8556i), a su vez el ángulo que debe aportar el controlador es:
Obsérvese que el ángulo que debe aportar el compensador dio negativo, esto indica se requiere un compensador de atraso. Se espera que |p|<|z|
El ángulo del polo deseado es: 
Ahora los ángulos del polo y el cero serán entonces:
Ahora, la ubicación del polo y el cero serán:
La función de transferencia de lazo abierto con el controlador diseñado será:
La ganancia del controlador será:
Entonces el compensador Gc seria:
Por lo que la nueva función de lazo abierta seria:
El coeficiente de error estático de posición:
El error de estado estacionario para la entrada escalón es:
Código
Comprobando valores con el código:
 
Compensador#2. Cambiando Wn a 2.1 con sp =15%
Por decisión del profesor se prefiere trabajar con un polo deseado que sea en adelanto, que mantenga el sobrepico de 15% pero que cambie la frecuencia natural a consideración propia; en nuestro caso decidimos que la frecuencia natural sea de 2.1.
Entonces nuestro nuevo problema es:
· Sobrenivel porcentual del 15%
· Wn = 2.1 rad.
Se desea un sp = 15%
Despejando
Con Wn=2.1, tenemos que para cumplir con lo pedido los polos dominantes deben ser:
El polo deseado estará entonces (-1.0857, 1.7975i), a su vez el ángulo que debe aportar el controlador es:
El ángulo del polo deseado es: 
Ahora los ángulos del polo y el cero serán entonces
Ahora, la ubicación del polo y el cero serán:
La función de transferencia de lazo abierto con el controlador diseñado será:
La ganancia del controlador será:
Por lo que el Compensador completo será:
Código
Comprobando los resultados anteriores con el código:
e. LGR del sistema sin compensar y compensado
Grafique el lugar geométrico de raíces del sistema sin compensar y compensado En la misma gráfica, ubique los polos de lazo cerrado correspondiente, compruebe su diseño anterior y el efecto del compensador. EXPLIQUE.
LGR del sistema sin compensar
Mírese
Mirese que el LGR sin compensar no pasa por los puntos correspondientes a Wn =1, por lo que es necesario el compensador
Compensador#1. LGR - Wn = 1, sp=15%
Al hacer los cálculos, los resultados mostraron que era necesario un compensador en atraso para que el LGR pasara por el polo de interés.
NOTA: El punto donde se cortan las 2 líneas negras es donde esta nuestro polo deseado, es decir, wn=1 y sp =15%
Compensador#1.1. LGR Invirtiendo el compensador de atraso
Aunque se obtuvieron buenos resultados en el procedimiento anterior, nuestro objetivo es analizar un compensador de ADELANTO. Primero se probará invirtiendo el polo y el zero del compensador
En la gráfica anterior se comparan los LGR de: retraso invertido, sin compensar y compensado con atraso, donde se observa que el compensador de atraso es el que pasa más cerca por el polo deseado, y al invertirlo se aleja más
Compensador#2. LGR - Wn=2.1, sp = 15%
Por decisión del profesor se prefiere trabajar con un polo deseado que sea en adelanto, que mantenga el sobrepico de 15% pero que cambie la frecuencia natural a consideración propia; en nuestro caso decidimos que la frecuencia natural sea de 2.1.
Nótese que el LGR pasó por el polo deseado que era (-1.0857, 1.7975i),
En la gráfica anterior se comparan los LGR de: compensado en adelanto y sin compensar.
f. Respuesta del sistema sin compensar y compensado
Grafique la respuesta del sistema compensado y sin compensar (en una misma gráfica), ante la señal de entrada escalón. Evalué el esfuerzo de control m(t). EXPLIQUE.
NOTA: Se entiendo por esfuerzo de control la señal que genera el compensador para corregir el sistema
Compensador#1 y #1.1. Respuesta sp = 15% y Wn = 1
Compensador inicial (de atraso)
Compensador de atraso invertido (adelanto)
Compensador#2. Respuesta - sp = 15% y Wn = 2.1
Con los datos de esta gráfica podemos comparar si los valores del error hallados anteriormente coinciden.
Lo que quiere decir que el error es de aproximadamente 43.2%, muy semejante al encontrado anteriormente.
Como se ve en la gráfica, el sobrenivel porcentual es del 12.94 % cerca del 15% que es el pedido.
Observemos las acciones de control, para el sistema con compensador y sin compensador
Compensador#3. Respuesta- sp=15% exacto
Como se vio anteriormente, hubo un decremento del sp, y se obtuvo 12.94%. Esto es debido al aporte de las otras dos componentes sobreamortiguadas, como lo muestran los polos de lazo cerrado:
Nótese que el LGR pasó por el polo deseado, pero los otros dos polos también afectan el sistema.
Se puede encontrar una ganancia en este nuevo sistema compensado, que logre el sp=15%, haciéndolo manualmente mediante sisotool, pero esto afectará un poco la Wn de los polos conjugados de lazo cerrado
El nuevo compensador sería:
g. Error estático de posición y velocidad
Hallar el coeficiente de error estático de posición y de velocidad. Con base en ello, ¿cuál será el error de estado estacionario ante las señales de entrada correspondientes? Compruebe sus resultados graficando la respuesta del sistema, compensado y no compensado, a la entrada escalón y rampa. Explique.
Error estático de posición
No compensado
El coeficiente de error estático de posición:
El error de estado estacionario para la entrada escalón es:
Compensador#2. Wn = 2.1. 
El coeficiente de error estático de posición:
El error de estado estacionario para la entrada escalón es:
Con los datos de esta gráfica podemos comparar si los valores del error hallados anteriormente coinciden.
Compensador#3. Respuesta- sp=15% exacto
Con los datos de esta gráfica podemos comparar si los valores del error hallados anteriormente coinciden.
Error estático de velocidad para los 2 sistemas
El (Coeficiente de error estático de velocidad) está dado por:
Ahora el error de estado estacionario para una entrada rampa está dado por:
El (Coeficiente de error estático de velocidad está dado por:
Ahora el error de estado estacionario para una entrada rampa está dado por:
En la gráfica mostrada se muestra como el error es infinito, tal como se esperaba matemáticamente.
2. SISTEMA Con error de posición cero
Si se espera que el sistema original, tenga un error de estado estacionario de posición de CERO, diseñe un compensador que tenga sus polos dominantes en el mismo punto deseado (numeral 1c). 
Nota.: Si el ángulo del compensador es mayor de 60 grados, analice la solución asumiendo un solo compensador y compensadores múltiples (2, 3,…)
Debido a que nuestro sistema es tipo 0, al agregarle un integrador puro al sistema original, se garantiza un error de estado estacionario de posición cero ya que el sistema original se transforma a un sistemade tipo 1.
Ahora como se quiere que el nuevo sistema (compensador – planta) tengo los polos dominantes en el mismo punto del sistema dado en el literal 1c, para cumplir SP=15% y un Wn=2.1 rad/s
El polo deseado estará entonces (-1.0857, 1.7975i), a su vez el ángulo que debe aportar el controlador es:
Un solo compensador
El ángulo del polo deseado es: 
Ahora los ángulos del polo y el cero serán entonces
Ahora, la ubicación del polo y el cero serán:
El resultado de las ecuaciones anteriores quiere decir que necesitamos un compensador con un polo y un cero al lado positivo del eje real, lo que quiere decir que el sistema se desestabiliza. 
Codigo
LGR
Dos compensadores en serie
El ángulo aportado por el compensador anterior
Para los dos compensadores en serie se propone dividir el ángulo en dos para que cada uno aporte la mitad.
El ángulo del polo deseado es: 
Ahora los ángulos del polo y el cero serán entonces:
	
Ahora, la ubicación del polo y el cero serán:
La función de transferencia de lazo abierto con el controlador diseñado será:
La ganancia del controlador será:
La función de transferencia de lazo abierto con el controlador diseñado será:
Código
LGR
Este lugar geométrico es muy bueno para las especificaciones pedidas Sp=15% y Wn=2.1, ahora miremos la respuesta al escalón.
Respuesta al escalón
En esta gráfica se ve que no es lo esperado, debido a los polos sobreamortiguados más dominantes, ósea que están muy cerca al eje imaginario, miremos:
Respuesta a la rampa
De las gráficas anteriores analizamos el error de estado estacionario de velocidad donde podemos ver que el sistema original es 72.9 – 72 = 0.9 y el error de estado estacionario asociado con el sistema con 2 compensadores en serie es 73.6 – 72 = 1.6
Error estático de velocidad
El (Coeficiente de error estático de velocidad) está dado por:
Ahora el error de estado estacionario para una entrada rampa está dado por:
Dicho valor coincide con el que se encontró gráficamente.
Tres compensadores
El ángulo aportado por el compensador anterior
Para los dos compensadores en serie se propone dividir el ángulo en dos para que cada uno aporte la mitad.
El ángulo del polo deseado es: 
Ahora los ángulos del polo y el cero serán entonces:
	
Ahora, la ubicación del polo y el cero serán:
La función de transferencia de lazo abierto con el controlador diseñado será:
La ganancia del controlador será:
La función de transferencia de lazo abierto con el controlador diseñado será:
Código
LGR
Respuesta al escalón
Respuesta a la rampa
De las gráficas anteriores analizamos el error de estado estacionario de velocidad donde podemos ver que el sistema original es 72.9 – 72 = 0.9 y el error de estado estacionario asociado con el sistema con 3 compensadores en serie es 73.3 – 72 = 1.3
Error estático de velocidad
El (Coeficiente de error estático de velocidad) está dado por:
Ahora el error de estado estacionario para una entrada rampa está dado por:
Dicho valor coincide con el que se encontró gráficamente.
2.1. Compensador con sp = 15% exacto
Un compensador en serie
Al igual que el caso anterior estos resultados nos muestran que necesitamos un compensador con un polo y un cero al lado positivo del eje real, lo que quiere decir que el sistema se desestabiliza.
Dos compensadores en serie
Se puede encontrar una ganancia en este nuevo sistema compensado, que logre el sp=15%, haciéndolo manualmente mediante sisotool, esto provocará que se muevan los polos conjugados de lazo cerrado, cambiando la Wn.
Aunque el polo sobreamortiguado sigue siendo dominante, las componentes subamortiguadas están más cerca del eje imaginario, lo que provocará el sp=15%
LGR
Este LGR corresponde al calculado para Wn=2.1 y sp=15% pero con una ganancia corrida, que me garantice sp = 15% exacto. Además los polos de lazo cerrado se ubican en:
Respuesta al escalón
Respuesta a la rampa
de las gráficas anteriores analizamos el error de estado estacionario de velocidad donde podemos ver que el sistema original es 72.9 – 72 = 0.9 y el error de estado estacionario asociado con el sistema con 3 compensadores en serie es 72.9 – 72 = 0.9
Error estático de velocidad
El (Coeficiente de error estático de velocidad) está dado por:
Ahora el error de estado estacionario para una entrada rampa está dado por:
Dicho valor coincide con el que se encontró gráficamente.
3. SISTEMA con error de velocidad 10 veces menor
Si se espera que el sistema del numeral 2, compensado, tenga un error de estado estacionario de velocidad, 10 veces menor, diseñe un compensador que no altere el comportamiento transitorio, pero que corrija el error de estado estacionario.
Analice para los sistemas compensados y sin compensar:
· Lugar geométrico de raíces
· Respuesta transitoria.
· Estado estacionario
Analice el efecto del compensador y su acción de control.
El sistema del punto 2 corresponde a:
Como se observó en el punto 2, para un solo compensador el sistema pide un compensador en el lado inestable debido a que fue mayor a 60°. 
Por lo que en este punto analizaremos la respuesta resultante con 2 compensadores en serie, pero con la ganancia de donde se logró el sp=15%, es decir:
Donde el error estático de velocidad dio:
Como se requiere un error de velocidad 10 veces menor, este sería 
El controlador afecta la ganancia estacionaria en: 
Como se necesita conservar las características de los transitorios, por tal motivo no se debe afectar mucho el lugar geométrico de raíces del sistema las proximidades de los polos dominantes de lazo cerrado, que se encuentran en
Y por esto debe escoger el cero pequeño, de tal modo que se encuentren muy cerca al origen, ósea que.
Para garantizar la disminución de Kv/10 entonces Kc es
Escogiendo z=0.1
Lo que implica que el compensador debe ser en atraso.
Entonces el compensador sería:
Y el sistema compensado:
Codigo
Respuesta a la rampa
De las gráficas anteriores analizamos el error de estado estacionario de velocidad donde podemos ver que el sistema original es 72.9 – 72 = 0.86 y el error de estado estacionario asociado con el sistema con 3 compensadores en serie es 72.1 – 72 = 0.1
El cual se asume que dio exacto pero la grafica solo muestra un decimal
LGR
Comparando los LGR para el sistema compensado y sin compensar
Como se esperaba, no se afectó mucho el lugar geométrico de raíces del sistema las proximidades de los polos dominantes de lazo cerrado,
Respuesta transitoria
Se observa un pico mayor al compensar y aumenta el tiempo de estabilización. Esto es debido a que el efecto del compensador no logra ser despreciable, no se anula el efecto del polo y el cero, entonces el LGR se vio afectado
Efecto del compensador y su acción de control.
Como se aprecia modificar el sistema original con un nuevo compensador de atraso el esfuerzo de control no se vio afectado en gran medida, se observa que para ambos casos se requiere una energía instantánea y esta cae a medida que el sistema se empieza a estabilizar inclusive llega un punto que el sistema entrega energía. Además, se observa que la acción de control para el sistema compensado disminuye un poco lo que se puede ver en la respuesta al escalón debido a que el tiempo de estabilización se aumenta.
4. Programa para colocar cero de 0.0001 a 0.1
Diseñe un programa que permita evaluar el efecto de colocar el cero del compensador anterior en valores de 0.0001 a 0.1. Analice cual sería la mejor alternativa.
Se tenía inicialmente los siguientes datos de error y coeficiente de velocidad, donde ess1 y Kv1 son los requeridos.
Además, que el sistema ya compensado del punto anterior es:
Donde se variará z y a su vez variará p ya que:
LGR
Haciendo un zoom
Se puede evidenciar que a medida que el cero se va haciendo mucho más grande se empieza a modificar en poca medida el lugar geométrico de raíces del sistema original, por ende el lugar geométrico de raíces se irá desplazando hacia la derecha como se evidencio en las gráficas anteriores, ademásde afectar también los polos dominantes del sistema, lo que hace es que modifica en si el comportamiento de la velocidad del sistema puesto que este se irá volviendo mucho más lento por estar mucho más próximo al eje imaginario pero en conclusión el cambio del sistema es muy poco, por lo tanto no afecta mucho la respuesta.
Entonces la mejor opción seria el cero más pequeño ya que afectaría menos el LGR y por tanto se verían menos afectados los transitorios
Diagrama de Bode
En cuanto al bode se puede observar un cambio relativamente notable con respecto al crecimiento del cero, el cambio más visible está en la fase, a medida que crece el cero aumenta también la frecuencia donde se da el máximo desfase. En cuanto a la ganancia ocurre algo parecido los cambios van desde los 0 a máximo 50dD entre cada gráfica. 
Respuesta al escalon
Haciendo Zoom
Como era lo esperado según el análisis realizado en el LGR entre más pequeño el cero el sistema original se afectara menos, como se observa a medida que el cero crece, aumenta SP debido a que ξ se hace más pequeño por el mismo corrimiento del debido al corrimiento del LGR hacia la derecha.
Respecto al tiempo de estabilización, se observa aumenta también por las razones mencionadas anteriormente.
Y en el estado estable, podemos ver un comportamiento interesante, ya que el valor del error de posición aumenta a medida que el cero crece hasta cierto punto y luego disminuye. Esto puede ser por la anulación de los efectos del integrador para ciertos valores del compensador.
Según lo mencionado, entonces el mejor cero sería el mas pequeño ya que, como se observa, afecta menos los transitorios, el SP y el tiempo de estabilización.
Respuesta a la rampa
Haciendo zoom
Para la respuesta a la rampa cada compensador debería estabilizarse en el mismo valor ya que el diseño es fijo, cada uno agrega el efecto para garantizar un mismo error estacionario de estado estable
Para elegir la mejor opción se debe tener en cuenta el comportamiento para el cero 0.0001, ósea que debe haber un valor mínimo que siga cumpliendo el diseño de error de velocidad de 0.9.
Dicho valor se visualiza a continuación:
Ya que uno de los requerimientos del diseño es garantizar un error de velocidad de 0.09, entonces el mejor cero a escoger debe ser mayor a 0.005
Mejor opción
Como se analizo en el LGR y la respuesta al escalón, es mejor un cero pequeño, entre mas pequeño mejor, el cero mas pequeño que cumple con el eroor de velocidad de 0.9 es z = 0.004. 
Entonces el compensador sería:
Y la nueva función de transferencia:
5. Sistema original con integrador en serie
Si al sistema Original, se le coloca un integrador en serie, evalúe el error de estado estacionario a la rampa y diseñe un sistema que garantice las siguientes especificaciones:
-	Error de estado estacionario de velocidad 10 veces menor
-	Margen de Fase de 60.
Error de estado estacionario a la rampa
El sistema original está dado por:
Colocando el integrador en serie tenemos:
*
La nueva función de transferencia con el integrador es:
El error de velocidad está definido como:
Donde 
*
El nuevo coeficiente de error estático de velocidad es: 
a. Sistema con compensador de adelanto
Teniendo el nuevo coeficiente de error estático de velocidad, se procede a calcular el nuevo valor de Kv’:
 
Ahora se debe calcular el valor de ganancia que hace que el sistema cumpla con el nuevo Kv’: 
El nuevo sistema, sin compensador pero con ganancia, es: 
Se tiene que el diagrama de bode de lazo abierto, para éste sistema es:
Como se observa en las gráficas es inestable para ese valor de K’ hallado, puesto que el margen de ganancia y de fase son negativos. Se debe calcular el ángulo que necesita aportar el compensador para que se llegue al margen de fase deseado. 
Compensador de segundo grado:
Debido a que el ángulo es mayor de 60° se divide éste entre 2 para encontrar uno tal que el diseño sean dos compensadores en serie, esto puesto que se torna un poco difícil que un solo compensador lleve el sistema al margen de fase que se pide. 
Se tiene entonces un ángulo de 120.1°, por lo que el ángulo para el cálculo de los compensadores es 60.05°.
Ahora, con este valor, se halla el valor del factor :
La ganancia del compensador a la máxima fase será: 
Con esta ganancia se define la nueva frecuencia ῳm, para esto se debe buscar el valor de esta ganancia en decibelios para así fijar la frecuencia.
La frecuencia a la cual se debe de poner el compensador será: 
Ahora se debe determinar la frecuencia de transición del compensador de adelanto. 
Entonces el compensador es: 
La ganancia del compensador es:
El sistema compensado es: 
Compensador de tercer grado:
Puesto que con este compensador no se llega al margen de Fase deseado, se procederá a realizar los cálculos con un compensado de tercer grado:
Debido a que el ángulo es mayor de 60° se divide éste entre 3 para encontrar uno tal que el diseño sean tres compensadores en serie.
Se tiene entonces un ángulo de 120.1°, por lo que el ángulo para el cálculo de los compensadores es 40.03°.
Ahora, con este valor, se halla el valor del factor :
La ganancia del compensador a la máxima fase será: 
Con esta ganancia se define la nueva frecuencia ῳm, para esto se debe buscar el valor de esta ganancia en decibelios para así fijar la frecuencia.
La frecuencia a la cual se debe de poner el compensador será: 
Ahora se debe determinar la frecuencia de transición del compensador de adelanto. 
Entonces el compensador es: 
La ganancia del compensador es:
El sistema compensado es: 
Con este compensador de tercer grado se logró mejorar en el margen de fase, sin embargo aún está muy alejado del valor deseado.
Compensador de cuarto grado
Debido a que el ángulo es mayor de 60° se divide éste entre 3 para encontrar uno tal que el diseño sean tres compensadores en serie.
Se tiene entonces un ángulo de 120.1°, por lo que el ángulo para el cálculo de los compensadores es 30.03°.
Ahora, con este valor, se halla el valor del factor :
La ganancia del compensador a la máxima fase será: 
Con esta ganancia se define la nueva frecuencia ῳm, para esto se debe buscar el valor de esta ganancia en decibelios para así fijar la frecuencia.
La frecuencia a la cual se debe de poner el compensador será: 
Ahora se debe determinar la frecuencia de transición del compensador de adelanto. 
Entonces el compensador es: 
La ganancia del compensador es:
El sistema compensado es: 
ANALISIS: al agregar un compensadores como los calculados con anterioridad, se puede ver que el lugar geométrico de raíces no muestra el comportamiento inestable del sistema, lo que indica que no es suficiente con calcular este tipo de compensador, además podemos decir que dicho compensador no saco al sistema de la inestabilidad. Para corregir el sistema tendremos que colocar un cero muy cercano al eje imaginario, ya que si solo se coloca un integrador puro es muy probable que el sistema sea inestable y que a la vez el margen de fase y margen de ganancia sean negativos.
 Ahora, la nueva función de transferencia será:
De nuevo calculamos el error de velocidad del sistema:
Ahora el error de estado estacionario para la velocidad es:
Luego con el fin de obtener un error de estado estacionario a la velocidad 10 veces menor, por lo tanto, se divide el error de estado estacionario a la velocidad actual sobre 10.
Ahora se debe calcular el valor de ganancia que hace que el sistema cumpla con el nuevo Kv’: 
El nuevo sistema, sin compensador pero con ganancia, es: 
El nuevo lugar geométrico de raíces es el siguiente:
Incluso al añadirle un cero al sistema para tratar limitar la acción del integrador, este continúa teniendo un comportamiento inestable.
Compensador de atraso.
El sistema a compensar es:
*
El compensador de atraso es:
Con 
Entonces el error para una entrada tipo rampa es:
Donde:
*
Entonces:
Ahora, como se debe cumplir que el error de estado estacionario de velocidadsea diez veces menor, entonces:
Entonces:
Ahora, de la expresión de se puede hallar el valor de que cumpla con la condición impuesta, así:
*
Entonces el valor de es:
Luego, la función de transferencia a la cual se le debe mejorar el margen de fase es:
El diagrama de Bode de lazo abierto es:
Como el margen de fase de esta función debe ser de 60°, entonces se busca en el anterior diagrama de Bobe de lazo abierto la frecuencia en la que se cumple el desface de 60° y se observa el margen de fase del sistema:
El sistema tiene entonces un margen de fase de -60,1° y la frecuencia =0,29(rads/s).
por criterio de diseño, se elige una frecuencia 10% por debajo de ésta, entonces:
Entonces la ganancia del sistema a ésta frecuencia la podemos observar en la siguiente imagen:
La ganancia del sistema con es:
Y:
20 log(b)=31.2
Despejando el valor de se tiene:
Ahora tenemos:
Entonces el compensador es:
Bode lazo abierto:
Se puede observar que el margen de fase es 56,1° y el margen de ganancia es 14,8 dB y como ambos valores son positivos, el sistema es estable.
Respuesta al escalón:
Se puede observar que bajo estas condiciones, el sistema presenta un comportamiento subamortiguado, con un sobrenivel porcentual de 14,8% y un tiempo de estabilización de 59,8s, además se estabiliza en el valor del escalón aplicado, lo que se puede observar desde la función de transferencia del sistema, es decir, que el sistema tiene un error de estado estacionario de posición igual a cero (el sistema contiene un integrador puro en su función de transferencia).
Ante la entrada tipo rampa se tiene:
Ventajas y desventajas de los compensadores
Compensador de adelanto.
Este compensador, modifica el lugar geométrico de raíces y es útil para mejorar la respuesta del sistema en el estado transitorio, es decir, es útil para mejorar el sobre pico del sistema, el tiempo de retardo, el tiempo de estabilización, mejora el margen de ganancia, el margen de fase y el pico de resonancia, además de atenuar el ruido de las altas frecuencias entre otras.
Este compensador desplaza el lugar geométrico de raíces, y es útil para mejorar la respuesta del estado estable del sistema sin influir mucho en la respuesta en el estado estacionario, es decir, disminuye el error de estado estable, organiza el valor en el cual se debe estabilizar el sistema. El polo y cero se encuentran cercanos con el fin de anularse para no afectar el comportamiento dinámico dado a las raíces dominantes del sistema.
Para nuestro caso de interés fue mejor diseñarle al sistema original con el integrador en serie un compensador de atraso, debido a que solo con el compensador se eliminaron los comportamientos inestables, lo cual es una gran avance para la planta analizada, mientras que con el diseño del compensador en adelanto se tuvieron que hacer artificios matemáticos para sacar tal sistema de la inestabilidad.
BIBLIOGRAFÍA
	[1] 
	N. d. J. Londoño Ospina, «5. COMPENSADORES,» 2018-2.
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