Practica4

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A) Sistema de primer orden 
Se tiene un circuito RC con constante de tiempo 𝜏 = 𝑅𝐶, como el que se muestra en la figura, 
cuya función de transferencia está dada por: 
 
 
 
 
Obtenga la respuesta ante una entrada escalón unitario si los valores son: 𝑅 = 200 Ω y 𝐶 = 
0.0001 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠. 
La función de transferencia quedaría como: 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
50
𝑠 + 50
 
El valor de la constante de tiempo es 𝜏 = 0.02 segundos, tiempo que tardará en alcanzar el 
63.2& del valor del escalón. 
Usando el siguiente código en la ventana de comandos del MATLAB. 
 
 
 
Ecuación diferencial: 
𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝑒𝑖(𝑡) 
Función de transferencia: 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
1
𝑅𝐶
𝑠 +
1
𝑅𝐶
 
Gráficamente se tiene: 
 
 
En la parte superior de la gráfica se encuentra este icono (Data Cursor) el cual permitirá al 
usuario desplazarse sobre la curva y hacer mediciones tanto de amplitud como de tiempo, y así 
obtener de una manera aproximada la constante de tiempo del sistema si es que no se pudiera 
hacer el cálculo a mano. 
 
Si se usa sobre la gráfica anterior, se tiene 
 
 
De aquí se observa que cuando el sistema alcanza una amplitud de casi el 63%, el tiempo 
estimado es cercano a los 0.02 segundos. 
Si nos posicionamos sobre la gráfica y damos un click con el botón derecho del mouse aparecerá 
el siguiente menú: 
 
 
Las cuales representan la respuesta de pico, tiempo de asentamiento o establecimiento, tiempo 
de levantamiento y el estado estable respectivamente. Si se da click sobre cada una de ellas 
aparecen los parámetros a medir sobre la gráfica. 
 
 
 
 
Nota: Cabe mencionar que este menú aparece cuando la respuesta es una entrada escalón a 
través del comando step. 
Si se quiere obtener la respuesta al impulso para el mismo sistema se tiene que teclear el 
siguiente código en MATLAB. 
 
 
 
Gráficamente se tiene: 
 
 
Para la respuesta ante una entrada rampa unitaria para el mismo sistema se tiene: 
 
 
Gráficamente se tiene: 
 
 
Según la gráfica el error en estado estacionario es cero, pero si se grafica ahora de 0 a 1 para t, 
se encontrará una pequeña diferencia: 
 
Calculando el error en estado estable mediante el teorema del valor final, se tiene: 
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠) 
𝐸(𝑠) =
1
𝑠
−
50
𝑠(𝑠 + 50)
 
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠𝐸(𝑠) 
En MATLAB se tiene: 
 
 
 
Como el error es cero, en un tiempo muy largo se “estabiliza”, sin embargo, esto es para una 
entrada escalón unitario, cuya transformada de Laplace es 
1
𝑠
. 
 
Pero, para el caso de una rampa, se tendría: 
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠) 
𝐸(𝑠) =
1
𝑠2
−
50
𝑠2(𝑠 + 50)
 
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠𝐸(𝑠) 
 
 
Y, observamos que existe un “pequeño” error, de 1/50, el cual permanecerá aún cuando el 
tiempo sea muy largo 
 
Si se quisiera resolver este mismo ejemplo usando SIMULINK, se tendría que usar el bloque de 
Transfer Fcn, que se encuentra en la librería de Continuos, y una vez colocada sobre el área de 
trabajo de SIMULINK, dar doble click, para modificar las propiedades e introducir los valores 
del numerador y denominador de la función de transferencia, agregar un SCOPE que se 
encuentra en la librería de Sinks o de Commonly Used Blocks, para poder graficar la respuesta 
del sistema; y para generar las señales de entrada agregar un bloque STEP (Para el escalón 
unitario) que se encuentra en la librería de Sources, modificando la propiedad de Step time 
del escalón para que inicie en cero, en esa misma librería se encuentra el bloque de la rampa 
(Ramp), para probar la función de transferencia a dicha entrada. Este proceso se detalla en la 
práctica 3. 
 
Para el caso del escalón unitario, se tiene 
 
Y, se observa, efectivamente, que se alcanza la unidad 
 
 
Mientras que, para la rampa 
 
 
 
Donde se observa, como en la gráfica que ya se había visto, que la respuesta (azul) va casi 
“pegada” a la rampa (amarilla). 
B) Sistema de segundo orden. 
Suponga que tiene el siguiente sistema subamortiguado: 
 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
25
𝑠2 + 4𝑠 + 25
 
 
Obtenga la gráfica de la respuesta ante una entrada escalón, así como los parámetros de la 
caracterización dinámica, usando MATLAB. 
 
 
Gráficamente, se tiene: 
 
 
Para la caracterización dinámica se usan las propiedades del sistema dando click dentro de la 
gráfica, es decir, el máximo sobreimpulso es de 0.25 y ocurre en 0.691 seg, así como el valor 
en estado estable es 1, en el MATLAB se tiene: 
 
 
 
Obteniendo los valores de asentamiento es de 1.68 segundos y el tiempo de levantamiento es 
de 0.293 segundos, como se muestra a continuación: 
 
 
Observe que el MATLAB no genera el factor de amortiguamiento relativo ni la frecuencia 
natural del sistema, por lo que esos tendrían que calcularse a mano comparando contra la 
función de transferencia canónica de un sistema de segundo orden. 
 
𝑠2 + 4𝑠 + 25 = 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 
𝜔𝑛 = √25 = 5
𝑟𝑎𝑑
𝑠⁄ 
 
 
2𝜁𝜔𝑛 = 4 
𝜁 =
4
2𝜔𝑛
= 0.4 
 
La constante de tiempo para este sistema es 
𝜏 =
1
𝜁𝜔𝑛
=
1
(0.4)(5)
= 0.5 𝑠 
 
Calculando el error en estado estacionario usando MATLAB 
 
Considere ahora un ejemplo donde sólo se tiene como dato la frecuencia natural del sistema 
dada por 𝜔𝑛 = 4 rad/seg y el factor de amortiguamiento de 𝜁 = 0.6. Si se quiere obtener la 
función de transferencia canónica a partir de estos datos usando MATLAB, se escribe el 
siguiente código en la ventana de comandos. 
 
 
 
Considere el siguiente ejemplo: Un sistema de control de posición con velocidad de 
retroalimentación amortiguada, se muestra en la figura, determine: el tiempo de 
establecimiento y el máximo sobre impulso si se somete a una entrada escalón unitario. 
Determine también el error ante una entrada rampa. Considere 𝛼 = 3. 
 
 
Recuerde que la función de transferencia 
canónica para el sistema de segundo 
orden es 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
 
Para resolver en MATLAB, se propone el siguiente código, resolviendo primero por forma 
canónica el subsistema que contiene la retroalimentación de velocidad. 
Al motor se le llamará G1 y a la retroalimentación de velocidad H1. 
 
 
Ahora para obtener la primer forma canónica se usa el comando feedback de MATLAB. 
 
 
A esta G2 se le simplificará en cascada con la ganancia K = 12, de la siguiente manera 
 
Resolviendo finalmente la última forma canónica con retroalimentación unitaria se tiene: 
 
Ahora se obtiene la respuesta al escalón usando el sistema generado en G5 con el comando 
step(G5) para obtener el máximo sobre impulso y el tiempo de establecimiento. 
 
 
Nota: Cabe señalar que el MATLAB, calcula el tiempo de establecimiento a través de un 
promedio del criterio del 2% y del 5%. 
 
Para el error estacionario ante una entrada rampa, se tiene: 
 
 
C) Efecto de añadir polos y ceros 
 
Ahora se analizará como se ve influenciado un sistema de segundo orden sub amortiguado 
cuando se le añade un cero, luego un polo y por último un par polo – cero. El cero y polo 
añadidos en cada caso son: 𝑠 + 1 y 𝑠 + 2, respectivamente, mientras que la función de 
transferencia que se usa como ejemplo es: 
𝐺(𝑠) =
25
𝑠2 + 4𝑠 + 25
 
Añadiendo el cero: 
 
Para el caso donde se agrega un cero en el semiplano izquierdo del plano complejo, lo más 
cerca al eje imaginario, entonces: 𝑡𝑟 disminuye, 𝑡𝑝 disminuye y 𝑀𝑝 aumenta y ocurre antes, 
gráficamente se tiene: 
 
 
Añadiendo el polo 𝑠 + 2, como si se simplificara en serie la función de transferencia original, 
con otra que incluya al polo extra, el código en MATLAB queda como: 
 
 
 
Para el caso donde se agrega un polo en el semiplano izquierdo del plano complejo, lo más 
cerca al eje imaginario, entonces: 𝑡𝑟 aumente, 𝑡𝑝 aumenta y 𝑀𝑝 disminuye y ocurre más tarde, 
gráficamente se tiene: 
 
 
Al agregar tanto el polo como el cero simultáneamente se tiene: 
 
 
La adición deun par polo – cero en el semiplano izquierdo del plano complejo, hace que el 𝑀𝑝 
se produzca más tarde y sea menor si el polo es más influyente (más alejado del eje imaginario). 
Si el cero es más influyente el 𝑀𝑝 se produce antes y es mayor, gráficamente se tiene: 
 
 
 
Tarea: 
1. Un circuito RC en serie se conecta a una fuente de directa de 5 volts, si se tiene una 
constante de tiempo de 2 segundos: 
 
a) Proponga una resistencia para calcular un capacitor y mantener la constante de tiempo 
dada. 
𝜏 = 𝑅𝐶 = 2𝑠 
SI R=10kΩ 
(10𝑥103)𝐶 = 2 
𝐶 =
2
10𝑥103
 
𝐶 = 200𝑥10−6 
 
b) Obtenga la función de transferencia del sistema 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
1
𝑅𝐶
𝑠 +
1
𝑅𝐶
 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
1
2
𝑠 +
1
2
 
c) Use MATLAB para obtener la respuesta ante la entrada escalón que se indica en el 
planteamiento del problema (5𝑢(𝑡) volts), y sobre la gráfica mida el valor final y 
compruebe que a los 2 segundos se alcanza el 63% del valor final. 
 
 
El 63% de 5 es 
(5)(0.63) = 3.15 
Lo cual, es muy cercano a los 3.18 que se muestran para un tiempo de 2.03 segundos 
d) Obtenga la respuesta al impulso usando MATLAB. 
Esto se hace mediante el comando Impulse (G) en la ventana de comandos. 
 
 
 
e) El error en estado estable ante una entrada rampa unitaria. 
Primero que nada, tenemos 
 
Gráficamente, se tiene 
 
 
Calculando el error 
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠) 
𝐸(𝑠) =
1
𝑠2
−
0.5
𝑠2(𝑠 + 0.5)
 
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠𝐸(𝑠) 
 
Y, este resultado es “congruente” con lo que se mostraba en la gráfica, ya que la 
separación entre la respuesta y la señal de entrada en el tiempo 10 es de un valor 
cercano a 2 unidades. 
 
f) Repita el inciso c y d usando SIMULINK. 
 
Para el escalón unitario, se tiene 
 
 
Y, para el impulso