2- Solucionario Tema II Primera Parte- Microeconomia II

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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
Universidad Nacional de Rosario 
Facultad de Ciencias Económicas y Estadística 
Microeconomía II 
 
Prof. Titular: Cristian Iunnisi 
JTP: Agustina Leonardi 
Prof. Auxiliar: Germán Tessmer 
Año 2011 
 
 
 PRÁCTICO TEMA II – PRIMERA PARTE: 
 TEORIA DE LA DEMANDA DE CONSUMO 
 
 
 Preferencias, restricciones, elección racional, optimización 
1. Defina la utilidad. ¿De qué manera difiere la utilidad cardinal de la ordinal? ¿Cuál es el 
concepto que los economistas usan más actualmente? 
La utilidad es el grado de satisfacción que proporcionan al consumidor diferentes canastas 
de bienes. Bajo la concepción teórica vigente, la función de utilidad proporciona una 
representación numérica de la ordenación de preferencias de los individuos. Es decir, una 
transformación del ordenamiento de alternativas, según las preferencias, en un número real. 
A la función de utilidad concebida de este modo se la llama función ordinal. 
 
En el pasado, se consideró importante suponer que era factible medir el cambio de 
intensidad en las preferencias. En este caso la utilidad marginal resultaría cuantificable. Las 
funcionas que cumplen tal requisito se llaman funciones cardinales. 
 
2. ¿Qué se entiende por leyes de preferencia? ¿Cuál es la relación entre utilidad y 
preferencia? Explique. 
Las preferencias se definen sobre la totalidad de los bienes disponibles. El consumidor 
establece sus preferencias en relación a las distintas combinaciones de bienes. Las leyes de 
preferencia, que constituyen una idealización del comportamiento de los individuos, se 
enumeran a continuación: 
 
• Comparabilidad: frente a cualesquiera dos combinaciones de bienes, el 
consumidor debe poder indicar si la primera es más o menos preferida a la segunda, 
o si se muestra indiferente entre ambas. 
• Transitividad: sea qi una canasta de bienes. Para toda combinación q1, q2 y q3, si q1 
< q2 y q2 < q3, entonces q1 < q3. 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
• No saturación: siempre que una combinación contenga al menos más cantidad de 
algún bien que otra y no menos de cualquier otro, se preferirá la primera a la 
segunda. 
• Reflexibilidad: toda canasta es al menos tan buena como si misma. 
 
Como se indicó antes, la función de utilidad proporciona una representación numérica de la 
ordenación de preferencias individual y debe, por lo tanto, respetar los axiomas de 
preferencia. 
 
3. ¿Se pueden cruzar las curvas de indiferencia? ¿Qué supuestos hacen esto inadmisible? 
Las curvas de indiferencia NO pueden CRUZARSE. Si lo hicieran, se estaría violando los 
axiomas de transitividad y no saturación. 
 
4. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones corresponden a curvas de indiferencias no 
convexas? Justifique su respuesta. 
4.1. “Yo prefiero gastar todo mi tiempo en el campo o todo en la ciudad, más que 
dividirme entre los dos.” 
4.2. “Yo prefiero un mix de vida en la ciudad y en el campo a estar restringido a uno o a 
otro.” 
La afirmación 4.1 corresponde a una curva de indiferencia no convexa. La convexidad de 
una curva de indiferencia es la forma matemática de expresar que los consumidores tienen 
preferencias por la variedad de bienes u opciones disponibles. En el caso de 4.1 cada bien 
actúa como neutral el uno del otro. 
 
5. Una encuesta muestra que la mayoría de los argentinos prefiere las Ferrari a los Renault. 
Entonces; ¿por qué hay más personas manejando Renault que Ferrari? 
Las elecciones personales no son sólo función de las preferencias, también mantienen 
relación con las restricciones. Como los precios de las Ferrari son muy superiores a los de 
los Renault, mayor parte de las personas, aunque prefieren las primeras, consumen los 
segundos. En otras palabras, las elecciones se realizan sobre la base de las opciones 
disponibles o alcanzables. 
 
6. Suponga que todos los consumidores pagan $ 0,15 por llamada telefónica y $ 0,25 por 
un diario (y que todos los consumidores compran algo de estos bienes). Si todos los 
consumidores maximizan su utilidad; ¿es posible determinar la tasa marginal de 
sustitución de llamadas telefónicas (y) por diario (x) de cada consumidor? 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
Sea: 0,15 0,25
0,25En equilibrio se sabe que: 1,6
0,15
Si 1 (un diario), entonces se debe renunciar a 1,6 llamadas para obtener un diario.
y x
x
y
p p
p dyTmgS TmgS
p dx
dx
= ∧ =
= ⇒ = − = − =
=
 
7. Suponga que Martín González gasta todo su ingreso en los bienes X e Y. La utilidad 
marginal de cada bien (mostrada abajo) es independiente de la cantidad consumida del 
otro bien. El precio de X es $ 100 y el de Y es $ 500. 
 
Número de unidades 
consumidas del bien 
Utilidad marginal de Martín (útiles) 
Bien X Bien Y 
1 20 50 
2 18 45 
3 16 40 
4 13 35 
5 10 30 
6 6 25 
7 4 20 
8 2 15 
 
Si Martín tiene un ingreso de $1.000 por mes; ¿cuántas unidades de cada bien debe 
comprar? Dibuje la recta presupuestaria de Martín a partir de los datos de la pregunta 
precedente. ¿En qué punto corta a la ordenada? 
 
Sea: $100 ; $500 $1000x yp p Y= = ∧ = 
 
La Canasta Óptima de Consumo satisface: 
 
( )
$100 1
$500 5 2 1 5
$1000
x x
y y
x y
U pU X TmgS
U Y U p Y X
Xp Yp
∂ ∂ • − = − = = − = − = − ∂ = −
• + ≤ 
 
 
Con los datos obtenidos, una forma de obtener las cantidades de cada bien que componen la 
canasta óptima es el de multiplicar por el valor de la TmgS por el de la columna de las Ux. 
 
1Por tanto: 5
5 5
yx
y x x
y
UUTmgS U U U
U
= − = − ⇒ = ⇔ = 
 
Generando una nueva columna que tenga en cuenta las relaciones de equilibrio, se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
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Número de 
unidades 
consumidas del 
bien 
Utilidad marginal de Martín (útiles) 
Bien X Bien Y Ux.TmgS 
1 20 50 100 
2 18 45 90 
3 16 40 80 
4 13 35 65 
5 10 30 50 
6 6 25 30 
7 4 20 20 
8 2 15 10 
 
Por tanto, en función de los datos en la Tabla y de las posibles combinaciones resultantes, 
la canasta óptima es X = 5 ˄ Y = 1. 
 
Finalmente, sabemos que el eje de las ordenadas está ocupado en nuestro ejemplo con el 
bien Y, de manera tal que cuando X = 0, podremos determinar en qué punto la recta 
presupuestaria corta al eje de ordenadas. Sea: ( )2 1 5Y X= − ; entonces, en el punto 2 se 
corta a la ordenada. 
 
8. Una de las curvas de indiferencia de Juan Ramírez incluye las siguientes canastas de 
mercado. Cada una de estas canastas le da igual satisfacción. 
Canasta de 
mercado 
x = Carne 
(kgs.) ΔAx 
y = Papas 
(kgs.) ΔAy TmgS 
A 2 0 8 0 - 
B 3 3-2 = 1 7 7-8 = -1 -1/1 = -1 
C 4 4-2 = 2 6 6-8 = -2 -2/2 = -1 
D 5 5-2 = 3 5 5-8 = -3 -3/3 = -1 
E 6 6-2 = 4 4 4-8 = -4 -4/4 = -1 
F 7 7-2 = 5 3 3-8 = -5 -5/5 = -1 
G 8 8-2 = 6 2 2-8 = -6 -6/6 = -1 
H 9 9-2 = 7 1 1-8 = -7 -7/7 = -1 
 
¿Cuál es la tasa marginal de sustitución de carne (x) por papa (y) en el caso de Juan? 
¿Cómo varía la tasa marginal de sustitución a medida que consume más carne (x) y menos 
papas (y)? ¿Es esto realista? 
La Tasa Marginal de Sustitución de papa por carne para Juan es -1 a lo largo de toda la 
curva. En la tabla se han agregado 3 columnas. Las 2 primeras son los diferenciales de 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
consumo de los bienes X e Y, tomando como referencia la canasta A. La última columna 
muestra la TmgS entre cada canasta y la canasta A. En el caso que se plantea, el incremento 
en el consumode carne, sacrificando unidades de papa no altera la TmgS. 
 
Independientemente de que el valor de la TmgS sea -1; cuando se tiene que este valor es un 
número fijo para todo el recorrido de la curva de indiferencia, se está ante la presencia de 
dos bienes que son sustitutos perfectos; es decir, bienes que se intercambian a una tasa 
fija. 
 
Intuitivamente, por el tipo de bienes que se están describiendo, sería más razonable que la 
TmgS cayese a medida que Juan aumentase su consumo de carne. 
 
9. Suponga un consumidor en un mundo donde solamente se producen dos bienes A y B, 
y el cumplimiento de todos los axiomas usuales sobre las preferencias. Los precios de 
ambos bienes son exógenos para esta persona, y su ingreso monetario es fijo. Si el 
objetivo consiste en maximizar su utilidad, se pide: 
9.1. Hallar las condiciones de primer y segundo orden consistentes con el objetivo 
citado y explicar su significado. 
( ) ( )Sea el Lagrangiano: , A BL U A B I Ap Bpλ= + − − 
Las condiciones de primer orden (CPO), se deducen de las ecuaciones estructurales: 
0
0
0
A
A A
A A A
B B B
B B
B
A B
UL U p
A p U p CPO
UL U pU p
B p
L I Ap Bp
λ λ
λ λ
λ
∂ = − = ⇒ = ∂  − = −∂ = − = ⇒ =
∂ 
∂
= − − =
∂
 
Las condiciones de primer orden indican que en el óptimo, la TmgS entre los bienes 
coincide con el cociente de sus respectivos precios. En otros términos, en el óptimo se 
igualan las pendientes de las curvas de indiferencia y de la restricción presupuestaria. 
Por otra parte, las condiciones de segundo orden se refieren, en términos matemáticos, a la 
convexidad de la curva de indiferencia; y, en términos del modelo, a la necesidad de 
demostrar que la cesta de equilibrio es una tal que -en este caso- el consumidor maximiza 
su utilidad. Una forma de expresarlo es mediante el determinante de la matriz del hessiano: 
0
0
AA AB A
BA BB B
A B
U U p
H U U p CSO
p p
−
= − >
− −
 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
Nótese que cada fila de la matriz es resultado de volver a derivar por la variable de 
referencia de cada columna, las filas del sistema de ecuaciones estructurales 
correspondientes a las CPO. 
 
9.2. Demostrar que no es lo mismo la convexidad de las curvas de indiferencia que las 
utilidades marginales decrecientes. 
( ) ( )( )
2
2 22
2 11 1 2 12 1 222 3
1 2 1 2 1
12 0
,
d x f f f f f f f
dx f x x x
= − + − > 
Como f2 es positiva, la condición necesaria para convexidad de la curva sería: 
( )2 22 11 1 2 12 1 222 0f f f f f f f− + − > 
Nótese que el término anterior podría no resultar positivo aunque las utilidades marginales 
en el consumo de ambos bienes fueran negativas. 
De lo anterior se deriva que la convexidad de la curva de indiferencia no implica, ni está 
implicada, por la utilidad marginal decreciente en el consumo de los bienes. La convexidad 
se refiere al decaimiento en la Tasa Marginal de Sustitución a medida que aumenta x1. 
La convexidad de la curva no es una derivación de la teoría económica, se relaciona con el 
comportamiento observado de las personas. Es el único supuesto compatible con la 
diversificación en el consumo. 
 
10. Encuentre los valores máximos (o mínimos) de las siguientes funciones restringidas por 
el método de sustitución y por los multiplicadores de Lagrange: 
10.1. ( ), 6 . . 12f x y xy s a x y= + = 
Por Sustitución: 
 
( ) 2
2
( , ) 6
( , ) 6 12 72 6
12 12
( , ) 72 6
(́ , ) 72 12 0 72 12 6 6
´́ ( , ) 12 0
f x y xy
f x y x x x x
x y y x
f x y x x
f x y x x x y
f x y
= 
= − = −+ = ⇒ = − 
• = −
• = − = ⇒ = ⇒ = =
• = − <
 
 
Si la segunda derivada es menor a cero implica que hay un máximo. Recuérdese que una 
segunda derivada negativa significa que la pendiente de la curva tiende a disminuir. Por 
otra parte, dado que estamos buscando valores óptimos, bajo este método tendremos que 
igualar la primer derivada de la función a cero. Así, el punto (6, 6) es un máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
 
Por Lagrange: ( )6 12L xy x yλ= + − − 
 
6 0 6
0 6 1
6
6 0 6 12 2 6 0 1 12 0
6
1 1 0
12 0 12
L y y
x y x xL x x x H
y y
L x y x y
λ λ
λ λ
λ
∂ = − = ⇒ = ∂   −= =∂ = − = ⇒ = = ⇒ = − = >∂  =  − −∂
= − − = ⇒ = + 
∂ 
 
De nuevo se comprueba que el punto (6, 6) es un máximo. 
 
10.2. ( ), 2 3 . . 24f x y x y s a xy= + = 
Por Sustitución: 
( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
2 2
3
, 2 3
, 2 72
24 24
, 2 72
´ , 2 72 0 36 6 4
´́ , 144 0
f x y x y
f x y x x
xy y x
f x y x x
f x y x x x y
f x y x
−
−
−
−
= +  = +
= ⇒ = 
• = +
• = − = ⇒ = ⇒ = =
• = >
 
 
Si la segunda derivada es mayor a cero, entonces existe un mínimo. Luego, el punto (6, 4) 
es un mínimo. 
 
Por Lagrange: ( )2 3 24L x y xyλ= + + − 
 
 De nuevo se comprueba que el punto (6, 4) es un mínimo. 
2
2 0 2
2 0
6233 0 3 24 0 2 0
43
0
24 0 24
L y y
xx yy xL xx x H x xy
y y
y x
L xy xy
λ λ
λ
λ λ λ λ
λ
∂ = − = ⇒ = ∂   − −= =∂ = − = ⇒ = = ⇒ = − − = − <∂  =  − −∂
= − = ⇒ = 
∂ 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
¿Qué diferencia básica existe entre las dos funciones objetivo? ¿Qué implica esto en la 
condición de segundo orden para un máximo? 
 
• La primera función objetivo es cóncava y el punto extremo encontrado es un valor 
máximo. 
• La segunda función objetivo es convexa y el valor extremo un mínimo. 
 
11. Dada la función objetivo: ( ) 2 23 - 2 20R xy x y xy= − + ; sujeta a la restricción 100x y+ = . 
Obtenga los valores de x e y que maximizan R (xy), sujeta a la restricción utilizando: 
• Método de sustitución 
• Método de Lagrange. 
 
Por sustitución: 
 
( ) ( )
2 2
2 2
2
3 - 2 20
3 100 - 2 20 100
100 100
30000 2600 25
´ 2600 50 0 260 / 5 48 52
´́ 50 0
R x y xy
R y y y y
x y x y
R y y
R y y x y
R
= − +
= − − + −
+ = ⇒ = − 
• = − + −
• = − = ⇒ = ⇒ = =
• = − >
 
 
Por tanto, el punto (48, 52) es un máximo. 
 
Por Lagrange: ( )2 23 2 20 100L x y xy x yλ= − − + + − − 
 
6 20 0 6 20
13 6 20 1
4825124 20 0 4 20 100 20 4 1 50 0
5212
1 1 0
100 0 100
L x y x y
x y x xL y x y x x H
y y
L x y x y
λ λ
λ λ
λ
∂ = − + − = ⇒ = − + ∂   − −= =∂ = − + − = ⇒ = − + = ⇒ = − − = >∂  =  − −∂
= − − = ⇒ = + 
∂ 
 
12. Suponga un consumidor en un mundo de dos bienes, cuyo mapa de indiferencia sea tal 
que la pendiente de las curvas de indiferencia sea siempre igual a –(y/x) donde y es la 
cantidad del bien Y, y x es la cantidad del bien X. 
12.1. Demuestre que la demanda de X es independiente del precio de Y. 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
Según los datos, se sabe que: X X Y
Y
pyTmgS xp yp
x p
= − = − ⇒ = 
Además, en un mundo de dos bienes, se tiene que: ingresoX Yxp yp m m+ = ⇔ = 
Por tanto:
2
X Y
X X
X Y X
xp yp mxp xp m x
xp yp m p
= 
+ = ⇒ =+ = 
 
De lo anterior, queda demostrado que las cantidades demandadas del bien X, no dependen 
(no están en función) de las cantidades demandadas del bien Y. 
 
12.2. Explique con precisión el significado de tasa marginal de sustitución. ¿Cuál es el 
valor de la tasa marginal de sustitución de equilibrio para este individuo 
suponiendo que P (x) = $1 y P (y) = $3? ¿Cuáles son los valores de x e y con un 
ingreso de $120? 
La TmgS con Px = $1 y Py = $3 es 1/3. En este punto, con un nivel de ingresos de $120 el 
consumo de x e y, sería de 60 y 20 unidades respectivamente. Una TmgS = 1/3 significa 
que esta persona está dispuesta a aceptar como mínimo una unidad de y a cambio de tres 
unidades de x,bajo la restricción de mantener constante su nivel de utilidad. 
 
12.3. ¿Cómo aparece la curva de Engel para X? ¿Cuáles son los parámetros y cuáles 
las variables para esta curva? ¿Y para la curva de demanda usual? 
La Curva de Engel de X es: x = m/2 Px. Las variables son x y m y el parámetro Px. En una 
curva de demanda usual el precio es la variable de y los demás factores que inciden en la 
demanda del bien se convierten en parámetros. 
 
13. Pruebe que la condición del determinante: 
11 12 1
21 22 2
1 2
0
0
U U p
U U p
p p
− 
 − > 
 − − 
 
Es equivalente a la condición de convexidad de la curva de indiferencia, es decir que: 
2
2 2 1
2
1 1 2
0 sujeto a d x dx U
dx dx U
> = −
 
En el ejercicio 9 se llegó a la conclusión que la curva de indiferencia era convexa siempre 
que: 
 
 
 
 
 
 
 
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Microeconomía II: Práctico Tema II – Primera Parte 
 
( )2 22 11 1 2 12 1 222 0f f f f f f f− + − > 
Si multiplico y divido ambos términos por 
2
1
4
2
f
f
, obtengo: 
2 3 4
1 1 1
11 12 222 3 4
2 2 2
2 0f f ff f f
f f f
 
− + − > 
 
 
 
Sin embargo, en el óptimo 1 1
2 2
f p
f p
= , reemplazando: 
 
2 3 4
1 1 1
11 12 222 3 4
2 2 2
2 0p p pf f f
p p p
 
− + − > 
 
 
 
( )
2
2 21
2 11 1 2 12 1 224
2
2 0p p f p p f p f
p
− + − > 
 
Pero 
2
1
4
2
0p
p
> , luego, la condición anterior se satisface si y sólo si: 
 
( )2 22 11 1 2 12 1 222 0p f p p f p f− + − > 
 
Y esta expresión es exactamente igual al desarrollo del determinante planteado. 
 
 
 
 
 
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