T02P04 - Efecto Sustitucion Ingreso [Solucionario]

Vista previa del material en texto

1 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
Universidad Nacional de Rosario 
Facultad de Ciencias Económicas y Estadística 
Microeconomía II 
 
Prof. Titular: Claudia Brun 
JTP: Agustina Leonardi 
JTP: Germán Tessmer 
Año 2018 
 
 PRÁCTICO TEMA II 
 CUARTA PARTE 
 EFECTO SUSTITUCIÓN-INGRESO Y DUALIDAD 
 
1. ¿En qué forma la descomposición de Hicks separa el “efecto ingreso” y el “efecto 
sustitución” de un cambio en el precio? Explique con un gráfico. 
 
 
 
Sea una situación de equilibrio representado por la cesta a, donde la restricción inicial se 
encuentra representada por la recta GT. 
 
Si el ingreso y py se mantienen constantes, y disminuye px, el ingreso real aumenta. La recta 
GT’ refleja ese fenómeno. La cesta b marca la nueva combinación de equilibrio para el 
consumidor, a un nivel de utilidad más alto. 
 
Para obtener los efectos sustitución y renta a la Hicks, deberá compensarse el ingreso real del 
consumidor para que se sitúe en el nivel de bienestar anterior1 –representado por las curvas 
de indiferencia- manteniendo los supuestos de maximización de la utilidad. 
 
 
1 En este caso, digamos que lo descompensan. 
 
 
 
 
 
 
 
2 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
Así, se genera una restricción presupuestaria hipotética VL, tangente a la curva de 
indiferencia original U0, pero cuya pendiente es idéntica a GT’, es decir, una recta 
presupuestaria que incorpora los precios relativos de la nueva situación. 
 
Así, el efecto-sustitución se puede medir como las diferencias consumidas del bien X entre 
las cestas a y c; en tanto que el efecto-renta como el diferencial de consumo entre las cestas 
c y b. 
 
 
2. En el cuadro siguiente aparecen tres situaciones en las que puede encontrarse un individuo 
consumidor de dos bienes: X e Y. En el cuadro aparecen los precios de los bienes: Px y Py, las 
cantidades consumidas de los bienes, el ingreso nominal del consumidor, M, y su nivel de 
utilidad. 
 
 
 
a) Cuándo el precio de Y baja de $1 a $0,5. ¿Cuál es el cambio de la cantidad demandada de 
Y cuando el ingreso nominal permanece constante en $90? Utilizando el criterio de Hicks, 
¿qué parte de este cambio se debe al efecto de sustitución y qué parte al efecto ingreso? ¿Es 
Y un bien normal, superior o inferior? 
 
Cuando el ingreso permanece constante la cantidad demandada de Y pasa de 40 a 84. De 
estas 44 unidades, 30 corresponden al efecto sustitución, las cuales se obtienen de restar las 
cantidades de la última fila -donde la utilidad se mantiene constante, pero se han modificado 
los precios relativos- de la primera fila. Así, las 14 unidades restantes, corresponden al efecto 
ingreso. 
 
El bien Y es un bien normal. Esto podemos observarlo a partir de las situaciones 2 y 3, donde 
el ingreso cae de $90 a $75. La variación en el ingreso en este caso fue igual al 16,7% 
coincidiendo con el cambio en las cantidades. 
 
b) Complete los espacios vacíos del siguiente cuadro y conteste las preguntas de a). 
 
 
 
 
 
Situación Px Py
Cantidad 
X
Cantidad 
Y
M Utilidad
1 1 1 50 40 90 10
2 1 0.5 48 84 90 15
3 1 0.5 40 70 75 10
Situación Px Py
Cantidad 
X
Cantidad 
Y
M Utilidad
1 1 1 50 20 70 10
2 1 0.5 52 36 70 15
3 1 0.5 42 36 60 10
 
 
 
 
 
 
 
3 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
Comencemos por averiguar las cantidades consumidas de Y en las situaciones 1 y 2. Ambas 
pueden calcularse con la definición de restricción presupuestaria, y luego despejar las 
variables para cada situación. 
 
Sea: 
 
( )
( )
1 1
2 2
70 1 50
20 20
1
70 1 52
36 36
0,5
x
x y
y
y y
m p xm p x p y y
p
y y
−
= = ⇒ =− = + ⇒ =  − = = ⇒ =

 
 
Lo mismo aplica para la situación 3, solo que deben despejarse las incógnitas de distinta 
manera. Sea: 
 
( )
3 3
60 0,5 36
42 42
1
y
x y
x
m p y
m p x p y x x x
p
− −
= + ⇒ = ⇒ = = ⇒ = 
 
Con un ingreso nominal constante, de $70 y un cambio en el precio del bien Y, de una 
situación inicial de $1 a una final de $0,5; se registra una variación total de 16 unidades 
adicionales demandadas del bien Y. De las cuales la totalidad se explica por efecto 
sustitución. 
 
 
3. ¿De dónde se deriva y cuál es la ecuación de Slutsky? ¿Qué signo puede tener el efecto 
total? ¿Por qué? 
 
La ecuación de Slutsky se deriva de la situación de equilibrio del consumidor (situación de 
óptimo), que llamaremos situación de equilibrio inicial. 
 
1 1 2 1
2 1 2 2
1 1 2 2
( , ) 0
( ) ( , ) 0
0
U q q p
E U q q p
p q p q m
λ
λ
+ =
 + =
 + − =
 
 
Así, un cambio en (E) de las variables, se reflejará como: 
 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
0
( ) 0
0
U dq U dq p d dp
dE U dq U dq p d dp
p dq q dp p dq q dp dm
λ λ
λ λ
+ + + =
 + + + =
 + + + − =
 
 
En otras palabras, el sistema dE, indica como pasar de una situación de óptimo a otra. Es 
decir, se descartan todas las posibles combinaciones de precios cantidades, para enfocarse 
solo en aquellas que son el resultado de un proceso de optimización. En este caso, de un 
problema de maximización del consumo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
Ahora, lo que queda es seguir desarrollando el sistema. Si se re-ordena lo anterior, se tiene 
que: 
 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
( )
0
U dq U dq p d dp
dE U dq U dq p d dp
p dq p dq dm q dp q dp
λ λ
λ λ
+ + = −
 + + = −
 + + = − −
 
 
Matricialmente, se tiene que AX=B, con: 
 
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2 0 i i
i
U U p dq dp
A U U p X dq B dp
p p d dm q dp
λ
λ
λ
 −     
     = = = −         −    
 
∑
 
 
Dado que el objetivo es conocer como varían las cantidades de los bienes 1 y 2 ante 
variaciones de cualquier de sus precios, o del precio de otro bien; como primer paso, se 
necesita resolver la matriz X. Por tanto, utilizando Regla de Cramer (ver Solucionario 1 – 
Herramientas de trabajo) se tiene que: 
 
1 12 1 11 1 1
1 2 22 2 2 21 2 2
2 10 0i i i i
i i
dp U p U dp p
A dp U p A U dp p
dm q dp p p dm q dp
λ λ
λ λ
   − −   
   = − = −
   
− −   
   
∑ ∑
 
 
Desarrollando A1 por los elementos de la primera columna, y tomando a la matriz Dij como 
la matriz del determinante del menor asociado al elemento ij de la matriz correspondiente, se 
tiene que: 
 
( ) ( )
[ ] [ ]
1 1 11 2 21 31
1 11 1 21 2 31 1 31 1 2 31 2
1 11 1 31 1 21 2 31 2 31
i i
i
A dp D dp D dm q dp D
A D dp D dp dmD q D dp q D dp
A D q D dp D q D dp D dm
λ λ
λ λ
λ λ
 = − + − + −  
= − − + − −
= − − + − − +
∑
 
 
Realizando el mismo procedimiento para A2, se tiene que: 
 
[ ] [ ]2 12 1 32 1 22 2 32 2 32A D q D dp D q D dp D dmλ λ= − − + − − + 
 
Por tanto, si se completa el procedimiento de Cramer, se tiene que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
(1.1) 
31 31 311 11 21
1 1 1 2 2
32 32 322 12 22
2 1 1 2 2
D D DA D Ddq q dp q dp dm
D D D D D D
D D DA D Ddq q dp q dp dm
D D D D D D
λ λ
λ λ
   = = − − + − − +      
   = = − − + − − +      
 
 
Con lo anterior, se conoce como varia totalmente las cantidades demandadas de cada bien, 
ante variaciones de cualquier variable que modifica a la demanda. 
 
La estrategia que se utiliza para formular la ecuación de Slutsky, es la de restringir las 
posibles variaciones por las de los niveles óptimos. Por tanto, lasvariaciones en (1.1) van a 
quedar restringidas por variaciones posibles de la demanda de cada bien, vale decir, se 
variaciones optimas asociadas a distintos niveles de presupuesto, o sobre niveles fijos de 
utilidad. 
 
Por tanto, en el segundo paso, se tomarán las demandas walrasianas (o marshalianas), a los 
fines de aislar el efecto parcial en la demanda de la cantidad de un bien que se origina por un 
movimiento de precios. Para lo cual se necesitará darle sentido económico a los valores que 
quedaron contenidos en (1.1) 
 
Sean las funciones de demanda de cada bien definidas como: 
 
( )
( )
1 1 1 2
2 2 1 2
, ,
, ,
q q p p m
q q p p m
=
=
 
 
Si se diferencian totalmente, queda planteado el siguiente sistema: 
 
(1.2) 
1 1 1
1 1 2
1 2
2 2 2
2 1 2
1 2
q q qdq dp dp dm
p p m
q q qdq dp dp dm
p p m
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
 
 
Por tanto, para el bien 1, de (1.1) y (1.2) se tendrá que: 
 
311 11
1
1
311 21
2
2
311
Dq D q
p D D
Dq D q
p D D
Dq
m D
λ
λ
∂
= − −
∂
∂
= − −
∂
∂
=
∂
 
 
O bien: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
(1.3) 
1 11 1
1
1
1 21 1
2
2
j ij j
i
i
q D qq
p D m q D q
q
q D q p D mq
p D m
λ
λ
λ
∂ ∂ 
= − − ∂ ∂ ∂ ∂ = − −∂ ∂ ∂ ∂= − −
∂ ∂ 
 
 
La expresión (1.3) se ha vuelto mucho más compacta y manejable que las anteriores. Ahora, 
como tercer paso, resta evaluar la expresión ijD Dλ− . Al respecto, se sabe que las curvas 
de demandas walrasianas no son de las únicas de las que se dispone. 
 
Existen otro tipo de curvas de demanda, que se originan cuando al consumidor se lo 
compensa por permanecer en el mismo nivel de utilidad que se encontraba en la situación 
original, o con la misma capacidad de compra; antes de que ocurriese el movimiento de 
alguna variable. 
 
En esta demostración se buscará disponer de demandas hicksianas, es decir, aquellas en las 
que al consumidor se le compensa de manera tal de que se anula el efecto ingreso, mediante 
la fijación de su nivel de utilidad. 
 
Así, para poder realizar dicha evaluación, va a volverse a resolver el sistema dE, pero 
partiendo de premisas distintas a como se resolvió anteriormente. En este caso, se tomará un 
nivel de utilidad fijo, es decir: 
 
Sea un nivel de utilidad fijo, tal que: ( ) 01 2 1 1 2 2, 0U q q U U dq U dq= ⇒ + = 
 
Por condiciones de primer orden, se sabe que: 
 
1 1
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 2
0 0 0
U p
U dq U dq p dq p dq p dq p dq
U p
λ
λ λ
λ
= −  + = ⇒ − + − = ⇒ + == − 
 
 
Entonces, tomando los resultados obtenidos en dE y cruzándolo con el resultado anterior, se 
va a tener que: 
 
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
0
0 0
0 i ii
p dq q dp p dq q dp dm
q dp q dp dm q dp dm
p dq p dq
+ + + − =  + − = ⇒ − =+ = 
∑ 
 
Desarrollando A1 por los elementos de la primera columna, y tomando a la matriz Dij como 
la matriz del determinante del menor asociado al elemento ij de la matriz correspondiente, se 
tiene que: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 11 2 21 31 1 1 11 2 21
2 2 21 2 22 31 2 2 21 2 22
i i
i
i i
i
A dp D dp D dm q dp D A dp D dp D
A dp D dp D dm q dp D A dp D dp D
λ λ λ λ
λ λ λ λ
 = − + − + − ⇒ = − + −  
 = − + − + − ⇒ = − + −  
∑
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
 
(1.4) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 11 2 21 1 11 1 21 2
2 2 21 2 22 2 21 2 22 2
A dp D dp D A D dp D dp
A dp D dp D A D dp D dp
λ λ λ λ
λ λ λ λ
= − + − ⇒ = − + −
= − + − ⇒ = − + −
 
 
Por tanto, aplicando Regla de Cramer al sistema dE con la información desarrollada en (1.4), 
donde implícitamente se ha restringido a un único nivel de utilidad, se tendrá que: 
 
 
 
(1.5) 
0
0
1 11 21
1 1 2
2 21 22
2 1 2
U U
U U
A D Ddq dp dp
D D D
A D Ddq dp dp
D D D
λ λ
λ λ
=
=
   = = − + −      
   = = − + −      
 
 
 
Siguiendo con la lógica (y también, con la restricción) anterior; sean las funciones de 
demanda compensadas de cada bien definidas como: 
 
( ) ( )
( ) ( )
0
0
1 1 1 2 1 1 1 2
2 2 1 2 2 2 1 2
, , , ,
, , , ,
U U
U U
h h p p U q h p p U
h h p p U q h p p U
=
=
= ⇔ =
= ⇔ =
 
 
Si se diferencian totalmente, queda planteado el siguiente sistema: 
 
 
(1.6) 
0
0 0
0
0 0
1 1
1 1 2
1 2
2 2
2 1 2
1 2
U U
U U U U
U U
U U U U
q qdq dp dp
p p
q qdq dp dp
p p
=
= =
=
= =
   ∂ ∂
= +   
∂ ∂      
   ∂ ∂
= +   
∂ ∂      
 
 
Por tanto, para el bien 1, de (1.5) y (1.6) se tendrá que: 
 
 
(1.7) 
0
0
0
1 11
1
1 21
2
U U j ij
i U U
U U
q D
p D q D
p Dq D
p D
λ
λ
λ
=
=
=
∂
= − 
∂ ∂ = − ∂∂ = − ∂ 
 
 
 
Finalmente, si se reemplaza (1.7) en (1.3), se obtiene la ecuación de Slutsky: 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
 0
* * *
*
EfectoEfecto
RentaEfectoTotal
Sustitución
Ecuación 
de Slutsky
j j j
i
i i U U
q q q
q
p p m
=
∂ ∂ ∂
= −
∂ ∂ ∂


 
 
La ecuación de Slutsky provee información cualitativa de la curva de demanda, sin necesidad 
de tener su forma analítica. Así, si (i = j) entonces el efecto-total “generalmente” es menor 
que cero. Si (i ≠ j), cuando el signo es mayor que cero se trata de bienes sustitutos. En cambio, 
cuando el signo del efecto-total es menor que cero se trata de bienes complementarios. 
 
Como ya se dijo, para realizar la demostración anterior, se optó por realizar una 
compensación a la Hicks. Es decir, una tal que mantuviera al consumidor en un nivel de 
utilidad fijo, para la determinación del efecto-sustitución puro. 
 
Si se optara por realizar una compensación a la Slutsky, se requeriría que se dejara fija la 
restricción presupuestaria. Si se utilizara esta estrategia, la ecuación quedaría expresada de 
la siguiente forma: 
 

* * *
*
EfectoEfecto Efecto RentaTotal Sustitución
Ecuación 
de Slutsky
j j j
i
i i dm
q q q
q
p p m
∂ ∂ ∂
= −
∂ ∂ ∂


 
 
¿Puede demostrar cómo llegar a esta última expresión? 
 
 
4. Usando la descomposición de Slutsky, demuestre que la condición Giffen (violación de la 
ley de demanda) se cumple sólo para un bien inferior. 
 
 
La violación de la ley de demanda implica que el signo del efecto-total sea positivo. Dado 
que el signo del efecto-sustitución es siempre negativo, para que se demuestre la condición 
Giffen, el efecto-ingreso no solo debe ser positivo, sino que debe serlo en una cuantía aún 
mayor que el efecto-sustitución. Analíticamente: 
 
 0
* * * *
*
EfectoEfecto
RentaEfectoTotal
Sustitución
0 0j j j ji
i i U U
q q q q
q
p p m m
=
∂ ∂ ∂ ∂
> ⇔ < ∧ <
∂ ∂ ∂ ∂


 
 
 
5. En cada proposición conteste Verdadero o Falso, y justifique su respuesta: 
5.a. “La utilidad marginal de un bien inferior es negativa, y esto es porque la cantidad 
demandada cae cuando aumenta el ingreso”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
Falso. Bajo el axioma de no saturación de la utilidad marginal de un bien, aun siendo inferior 
nunca es negativa. Lo que ocurre en el caso de un bien inferior es que la cantidad demandada 
cae cuando aumenta el ingreso. Es decir, su elasticidad renta es negativa. Analíticamente: 
 
( ) ( )
Cuando se cumple el 
axioma de no-saturación
0 0 0 0jjjm j j j
j j
dU qdq m q U q UMg
dm q dq
η = < ∧ > ⇒ > ⇒ = >

 
 
 
5.b. “Suponga un bien cuya elasticidad ingreso es mayor a la unidad. Siendo esto así, el 
precio relativo de dicho bien aumentará cuando se eleve el ingreso real per cápita, en relación 
a los bienes cuya elasticidadingreso es menor que uno”. 
Falso. El enunciado supone que: 
 
1 : es un bien de lujo
0 1 : es un bien normal
0 : es un bien inferior
x
j
jm jm z
j
y
q
dq m q
dm q
q
η η
> ⇒

= < < ⇒
< ⇒
 
 
Por tanto, un aumento del ingreso desplaza horizontalmente a la derecha la demanda del bien 
x y del bien z. La salvedad que debe hacerse es que, en el primer caso, el desplazamiento es 
más que proporcional a la magnitud del aumento del ingreso y en el caso del bien z es menos 
que proporcional. En tanto que el mismo estímulo, desplaza horizontalmente hacia la 
izquierda la demanda del bien y. 
 
Suponiendo una curva de oferta con pendiente positiva, entonces: 
 
0 0
0 0Si 0
0 0
x x
x z
z z
y y
dq dp
dq dq
dq dpdm
dq dp
 > ⇔ > 
> > ⇔ >>  
 < ⇔ <
 
 
Así, vemos que el efecto final sobre los precios depende de las elasticidades ofertas de los 
bienes en consideración. En otras palabras, las elasticidades-ingreso para toda la tipología de 
bienes no alcanzan conceptualmente a medir el impacto en los precios. Debe añadirse que 
existe un solo caso en que se mantendrá la relación de precios entre ambos bienes, cuando 
ambas curvas de oferta sean perfectamente elásticas (es decir, horizontales). 
 
5.c. “Un individuo gasta todo su ingreso en dos bienes, x e y. Gasta la cuarta parte de su 
ingreso en el bien x, y la elasticidad ingreso de ese bien es 5. Por lo tanto, el bien y es ahora 
un bien inferior para él”. Calcule la elasticidad ingreso exacta de y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
Verdadero. Sabemos que la sumatoria del promedio ponderado de las elasticidades ingreso 
es igual a 1; siendo iα las ponderaciones las participaciones relativas de cada bien en el 
gasto total. Analíticamente: 1i imα η =∑ 
 
Reemplazando con los valores del ejercicio: 
 
2
2
1
1
(0, 25).5 (0,75) 1
1,25 0,75 1 1 3 0
i im
x x y y
y
α η
α η α η
η
η η
=
+ =
+ =
+ = ⇒ = − <
∑
 
 
Con lo que se puede afirmar que y pasa a ser un bien inferior. 
 
 
5.d. “Si cada uno de entre 100 compradores tienen una elasticidad de la demanda de un bien 
igual a 3, la elasticidad de la demanda de los 100 compradores tomados en conjunto es 0,03”. 
 
Falso. 
Sabemos que 3 100 100dp q dQQ q
dq p dq
ε = = ∧ = ⇒ = 
 
Entonces: 1 3
100 100 100
100dQ
dq
dQ p dQ p dQ dq p dq p
dp Q dp Q dq dp q dp
d
d q
q
q
ε
    = = = = =    
    
 
 
 
5.e. “X e Y son complementarios si la utilidad marginal de X aumenta cuando se consume 
más de Y”. 
Falso. La complementariedad se define por el cambio en la demanda de un bien ante el 
cambio en el precio de otro y no por los cambios en las utilidades marginales. 
 
 
5.f. “En un modelo de dos bienes, si uno de ellos es inferior, el otro debe ser un bien de lujo”. 
Verdadero. Nótese que este ejercicio es la aplicación general del caso particular del ejercicio 
5-c). Analíticamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 

[ ]
( )


( )

( )
Bien
Inferior
0?
( 0)1 0
1
1 0 0,1
1 1
i
x x y y x i
y y x x y
α
α η α η η α
α η α η η
<
>> >
>
+ = ⇔ < ∧ ∈
 
 = − ⇒ >
 
 


 
 
6. Los sustitutos pueden ser definidos por el signo de los efectos cruzados “brutos” de los 
precios sobre las cantidades, o por el efecto “neto”. ¿De qué funciones de demanda se derivan 
estos conceptos? En un mundo de dos bienes, si X es sustituto de Y, ¿necesariamente Y es 
sustituto de X? 
 
Los bienes sustitutos “brutos” se derivan de la curva de demanda ordinaria. Los bienes 
sustitutos “netos” o Hicks-Allen se derivan de la curva de demanda compensada. 
 
Si X es sustituto de Y, entonces Y es sustituto de X, porque los efectos sustitución cruzado 
son iguales. Cada bien debe tener al menos un sustituto Hicks-Allen. 
 
 
7. Determinar si las siguientes ecuaciones de demanda son homogéneas y de qué grado: 
 
( )
2
7.a. , , 
2
xyf x y I
I xI
=
+
 
 
( ) ( )( )( )( ) ( )
2 3 2 2
2, , 
2 2 2
x y xy xyf x y I
I x I I xI I xI
λ λ λλ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ
• = = =
+ + +
 
 
La ecuación es no homogénea. 
 
 
 
( ) 4 37. . , , – 5b f x y w x yw= 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )4 3 4 4 3, , – 5 – 5f x y w x y w x ywλ λ λ λ λ λ λ• = = 
 
La ecuación es homogénea de grado 4. 
 
 
 
( ) 27. . , , 
3
x Mc f x y M
y x
= + 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
( ) 2 2• , , 
3 3
x M x Mf x y M
y x y x
λ λλ λ λ
λ λ
= + = + 
 
La ecuación es homogénea de grado 0. 
 
 
8. La función de demanda usual es homogénea de grado cero en precios y en ingreso. ¿Y la 
función de demanda compensada? ¿Cuál es la diferencia entre ambas a este respecto? 
 
La curva de demanda compensada es homogénea de grado cero en precios. En ella la renta 
no es una variable, sino que depende del nivel de utilidad. 
 
 
9. ¿Se puede derivar la función de demanda ordinaria a partir de una demanda compensada? 
¿Cómo? 
 
Definamos a la función de demanda ordinaria (también se le puede llamar demanda 
marshalliana o walrasiana) como: ( ),x p w . Es decir, es una solución única para un vector de 
precios y un nivel de ingresos dado. 
 
Las características que cumple ( ),x p w son: 
 
• Homogeneidad de grado cero: ( ) ( ), , 0x p w x p wα α α= ∀ > 
• Ley de Walras: ( ) ( ), ,p x p w w p w⋅ = ∀ 
• Convexidad 
 
Asimismo, definamos la demanda compensada (o función de demanda hicksiana) como: 
( ),h p u . La demanda hicksiana se puede interpretar como la demanda que surgiría en caso 
de que se compense al consumidor con un nivel de riqueza tal que le permita mantener su 
nivel de utilidad constante. 
 
Nótese que la función hicksiana comparte el mismo vector de precios que la demanda 
ordinaria, pero surge de una función de utilidad -que vamos a suponer continua- que 
representa preferencias no saciadas localmente. Esto último quiere decir que alrededor de la 
canasta óptima, existe al menos una canasta que es preferible a la primera. 
 
Las características que cumple ( ),h p u son: 
 
• Homogeneidad de grado cero en precios: ( ) ( ), ,h p u h p uα = 
• No exceso de utilidad: ( )( ),u h p u u= 
• Convexidad 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
• Unicidad: Si las preferencias representadas por la función de utilidad son 
estrictamente convexas, entonces la demanda hicksiana posee un único elemento. Es 
decir, provee una única solución. 
 
Siendo este el escenario, debe hacerse notar que la función de demanda walrasiana es el 
resultado de solucionar un problema de maximización de la utilidad, donde quedan fijos los 
precios y el presupuesto; en tanto que la demanda hicksiana es la solución a un problema de 
minimización del gasto, donde lo que queda fijo son nuevamente los precios y el nivel de 
utilidad. 
 
En otras palabras, manteniendo siempre fijo el vector de precios, existe la posibilidad de que 
la solución del problema de maximización de utilidad tenga una contrapartida en la solución 
del problema de minimización del gasto. En ese caso, se tendría que: 
 
( )* *, ( , )h p u x p w= 
 
Sin embargo, por el momento lo anterior no es más que una hipótesis. Dado que cada solución 
depende de parámetros distintos, debemos demostrar la forma de pasar de una solución a 
otra. Es decir, necesitamos un puente. 
 
Comencemos entonces con la solución que nos provee la demanda ordinaria. La definición 
nos dice que la canasta de consumo x, sujeta a un vector de precios y un ingreso dado, 
maximiza la utilidad. ¿Pero a qué nivel? 
 
Definamos la funciónde utilidad indirecta como: ( ),v p w ; donde: 
 
( ) ( ), ,v p w u x p w=    
 
Realicemos el mismo ejercicio para la demanda compensada. Si multiplico la función 
hicksiana (las cantidades de bienes a consumir, que son la solución del problema de 
minimización) por el vector de precios correspondiente, voy a obtener el gasto en el que 
incurrí para adquirir esa canasta de bienes. 
 
De esta forma, definimos la función de gasto como: ( ),e p u ; donde: 
 
( ) ( ), ,e p u p h p u= ⋅ 
 
Dado que la solución del problema de maximización de la utilidad puede llegar a ser 
equivalente a la solución del problema de minimización del gasto, se tiene que: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ), , , , , ,e p u e p v p w w v p w v p e p u u= = ∨ = = 
Por lo tanto, ahora si queda establecida una forma de relacionar nuestra primera hipótesis, de 
la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
( ) ( ) ( )( ), ( , e , ) , , ( , )h p u x p p u h p v p w x p w= ∨ = 
 
Ahora si estamos en condiciones de contestar la pregunta del ejercicio. Si se conoce la 
función de utilidad indirecta ( ),v p w podemos conocer la demanda ordinaria ( ),x p w a 
través de la Identidad de Roy, la que queda definida de la siguiente manera: 
 
( ) ( )( )
,
,
,
l
l
v p w p
x p w
v p w w
∂ ∂
= −
∂ ∂
 
 
(nótese que queda definida como la demanda ordinaria para el bien l) 
 
Demostración 
 
Sea ( ) ( )( ), , e ,v p w u v p p u u= ⇒ = 
 
Dado que esta igualdad vale para todo p , podemos derivar con respecto a lp . Entonces, se 
tiene que: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
, ( , , ( ,
0
, ( , , ( , ,
( , ) 0 ,
,
l l
l l
l l l
l l
l
v p e p u v p e p u dw
p w dp
v p e p u v p e p u v p w p
x p w x p w
p w v p w w
∂ ∂
+ =
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ = ⇒ = −
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
 
10. Suponga que la elasticidad precio “bruta” para un bien es –1, su elasticidad ingreso es 2 
y su participación en el ingreso es 0,25. ¿Cuál es la elasticidad precio compensada? 
 
*
11 11 1 1De la ecuación de Slutsky expresada en forma de elasticidad, se sabe que: mε ε α η= − 
Por tanto, reemplazando los variables con los valores de la consigna, se tiene: 
*
11 11 1 1
* *
11 111 (0, 25) 2 0,5
mε ε α η
ε ε
= −
− = − ⇒ = −
 
 
 
11. Responda Verdadero o Falso y justifique cada una de sus respuestas: 
11.a. “Todo bien Giffen es un bien inferior, pero la recíproca no es cierta”. 
 
Verdadero. Si i es un bien Giffen se tiene que el efecto total puro es: ( )* 0i idq dp > 
 
 
 
 
 
 
 
15 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
Como el efecto-sustitución es siempre negativo, para obtener un bien Giffen es necesario que el 
efecto-renta sea positivo y mayor –en valor absoluto- al efecto-sustitución (véase ejercicio nº4). Sin 
embargo, el efecto renta bien no podría superar al efecto sustitución, de forma que bajo estas 
condiciones se dispondría de un bien inferior, que al mismo tiempo cumple con la ley de demanda. 
 
 
11.b. “Si dos bienes X e Y son Hicks-Allen sustitutos el efecto cruzado debe ser positivo 
dado que Y es una necesidad.” 
 
Falso. Si dos bienes X e Y son Hicks-Allen sustitutos el efecto-cruzado puede ser positivo o 
negativo, siendo Y una necesidad. 
 
Analicemos la ecuación de Slutsky, con la información brindada en la consigna: 
 


0
Por ser Hick-Allen sustitu
* * *
*
to
0
¿?
0
j j j
i
i i U U
dq dq dq
q
dp dp dm
>
>
=
= −


 
Como puede apreciarse, el signo del efecto-cruzado depende del signo de ( )*jdq dm ; es decir, 
de si el bien en cuestión es inferior o normal. Analíticamente: 
 
* *
* *
0 el bien es inferior 0 el ef. cruzado es positivo siempre
Si
0 el bien es normal y necesario el signo del ef. cruzado queda indefinido
j j
i
j j
i
dq dq
dm dp
dq dq
dm dp

< ⇒ >




 > ⇒

 
 
 
11.c. “Uno o ambos Hicks-Allen sustitutos es posible que sean complementarios totales” 
 
 
Verdadero. Analicemos de nuevo la ecuación de Slutsky, a la luz de la información brindada 
en la consigna: 
 

0
Determina si son sustitutos 0 para que sean 
o complementarios netoscompl. brutos
Determina si son 0 dado que completarios son Hick
* *
s-Alleno sustitutos brutos sustitutos
j j
i i U U
dq dq
dp dp
=
<
>
=
 




*
¿?
0
* j
j
dq
q
dm
>
−

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
En la ecuación anterior se ha explicitado las condiciones para que un par de bienes sean 
Hicks-Allen sustitutos, es decir, que se cumpla que ( )
0
* 0j i U Udq dp = > . Además, como los 
efectos-sustitución cruzados son simétricos, también se cumple que ( )
0
* 0i j U Udq dp = > . 
 
Para que sean complementarios brutos el signo del efecto-cruzado total deberá ser negativo; 
por tanto, si el bien de referencia es uno normal, de manera tal que ( )* 0jdq dm > ; y si el 
valor del efecto-renta supera en valor absoluto al efecto-cruzado neto, entonces, se puede 
cumplir que aunque sea uno de los bienes en cuestión sea considerado complementario bruto. 
 
Nótese que el efecto-renta no es simétrico como el efecto-sustitución neto. 
 
 
11.d. “Cada bien debe tener al menos un Hicks-Allen sustituto, pero puede no tener 
complementarios”. 
 
 
Verdadero. Se sabe que * *0 0 (efecto sustitución puro)ij iiε ε= ∧ <∑ 
 
Si se desarrolla la sumatoria anterior, se tiene: 

* * * *
0
0 0ij ii ij ijε ε ε ε
<
= + = ⇒ >∑ 
Por tanto, si * 0ijε > existe un Hicks-Allen sustituto para todo bien, pero puede no existir un 
complementario. 
 
 
 
12. Suponga que en algún país el efecto de un aumento del 1% en el precio de la nafta reduce 
la demanda de motos en un 10%. La información disponible es la siguiente: 
 
 
 
¿Las motos y la nafta, son Hicks-Allen sustitutos o complementarios? ¿Puede usted pensar 
una explicación para este resultado? ¿Cómo afectaría un aumento en el precio de las motos 
a la demanda de nafta? (L&W) 
 
 
Sabemos por la ecuación de Slustky, que: *12 12 2 1mvε ε η= − 
 
Nafta = b2 Motos = b1
vi 5% 1%
ηim 2 3
 
 
 
 
 
 
 
17 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
 
Siendo el Bien 1 = Motos y el Bien 2 = Nafta; reemplazando los datos de la tabla en la 
ecuación anterior, se tiene que: 
 
*
12 12 2 1
*
12
* *
12 12
0,1 (0,05) 3
0,1 0,15 0,05 0
mvε ε η
ε
ε ε
= −
− = −
− = − ⇒ = >
 Por tanto, son bienes H-A sustitutos. 
 
 
 
13. ¿Qué medida nos da el grado de complementariedad o sustituibilidad? 
 
 
La elasticidad de sustitución de Allen. Analíticamente: 
*
ij
ij
jv
ε
σ = 
 
Demostración 
 
Una de las propiedades que se derivan de la ecuación de Slutsky, es la simetría que se 
establece entre los efectos de sustitución puros entre dos bienes. Es decir, se cumple que: 
 
00
ji
j i U UU U
xx
p p
==
∂∂
=
∂ ∂
 
 
Teniendo lo anterior en consideración, se necesita establecer una medida que brinde el grado 
de complementariedad o de sustituibilidad de dos bienes. Es decir, se está buscando conocer 
no solamente el signo del efecto cruzado (positivo para bienes sustitutos y negativo para 
complementarios) sino también una medida que muestre que tan fuerte es esa relación. 
 
Usualmente la medida que se utiliza para realizar ese cálculo es de la elasticidad cruzada del 
bien i contra el bien j. Sin embargo, cuando se quiere aplicar ese criterio para una variación 
compensada, se establecen diferencias, debido a que las combinaciones de precio-cantidad 
de cada bien no pueden suponerse iguales. Entonces: 
 
00
* *j ji i
ij ji
j i i jU UU Up xx p
p x p x
ε ε
==
∂∂
= ≠ =
∂ ∂
 
 
Para solucionar este problema, la elasticidad de sustitución, re-escala el efecto sustitución 
puro con una medida de la participación del otro bien en el presupuesto del consumidor de la 
siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
Microeconomía II: Solucionario Tema III – Tercera Parte 
00 0
* *
ij j j jii i i
ij ji
j j i j j j i j i j i i iU UU U U U
p xx x pm m m
v p x p x p x x p x p x v
ε ε
σ σ
== =
     ∂∂ ∂
= = = = = =     
∂ ∂ ∂         
 
 
 
 
14. ¿Qué es una función de utilidad indirecta? ¿Y la función de costo del consumidor? ¿Cómo 
se expresa la curva de demanda compensada en este enfoque de dualidad? 
 
 
La función de utilidad indirecta, mide cual es el nivel de utilidad alcanzado por las 
funciones de solución obtenidas en las condiciones de primer orden. Analíticamente, sean las 
demandas marshalianas para dos bienes: 
 
( )
( )
1 1 1 2
2 2 1 2
, ,
, ,
x x p p m
x x p p m
=
=
 
 
La función de utilidad indirecta es: ( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 2 2 1 2, , , , , , ,p p m U x p p m x p p mΨ = 
	PRÁCTICO TEMA II
	Cuarta PARTE
	Efecto sustitución-ingreso y DUALIDAD