Ecuación de movimiento segunda ley de newton equilibrio dinámico

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ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: SEGUNDA LEY DE NEWTON, EQUILIBRIO 
DINÁMICO 
 
LEYES DE NEWTON 
La dinámica es la parte de la Mecánica que estudia las relaciones entre las causas que 
originan los movimientos y las propiedades de los movimientos originados. Las Leyes de 
Newton constituyen los tres principios básicos que explican el movimiento de los cuerpos, 
según la mecánica clásica. Fueron formuladas por primera vez por Newton en 1687, aunque 
la primera de ellas ya fue enunciada por Galileo. Y que sólo son válidas para un Sistema 
de Referencia Inercial, con la justificación de la Primera y la Segunda Ley. 
 
a) PRIMERA LEY DE NEWTON 
 
Todo cuerpo que no está sometido a ninguna interacción (cuerpo 
libre o aislado) permanece en reposo o se traslada con velocidad 
constante. 
 
Esta ley es conocida como la ley de inercia y explica que para modificar el estado de 
movimiento de un cuerpo es necesario actuar sobre él. Definimos una nueva magnitud 
vectorial llamada momento lineal (o cantidad de movimiento) p de una partícula: 
 
 
 
Entonces la primera ley es equivalente a decir que un cuerpo libre se mueve 
con p constante. 
 
Consideremos el caso de dos partículas que, debido a su interacción mutua, describen un 
movimiento en el que sus velocidades respectivas varían: 
 
Como el conjunto de las dos partículas está aislado, su momento lineal total se conserva: 
 
 
 
Esta expresión se conoce como principio de conservación del momento lineal y se 
puede hacer extensivo a un conjunto de N partículas. Operando en la ecuación anterior 
obtenemos que: 
 
 
Esto significa que, como el momento lineal del conjunto de las dos partículas se conserva, 
pero el de cada una de ellas por separado no permanece constante, lo que aumenta el 
momento lineal de una de ellas ha de ser igual a lo que disminuye el momento lineal de la 
otra. El ejemplo típico que demuestra este hecho es el retroceso que experimenta un arma 
al ser disparada. 
 
b) SEGUNDA LEY DE NEWTON 
 
Se define fuerza F que actúa sobre un cuerpo como la variación 
instantánea de su momento lineal. Expresado matemáticamente: 
 
 
 La unidad de fuerza en el S.I. es el Newton (N). 
http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton
http://es.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei
http://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/cinematica/relativotr.htm
http://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/cinematica/relativotr.htm
 
 
Una fuerza representa entonces una interacción: 
 
Cuando una partícula no está sometida a ninguna fuerza, se mueve con momento lineal 
constante (Primera Ley). 
 
Sustituyendo la definición de momento lineal y suponiendo que la masa de la partícula es 
constante, se llega a otra expresión para la Segunda Ley: 
 
 
 
 
 
Comentaremos algunos aspectos interesantes de esta ecuación: 
 
• La aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada, y la 
constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo. 
 
• Si actúan varias fuerzas, esta ecuación se refiere a la fuerza resultante, suma vectorial 
de todas ellas. 
 
• Esta es una ecuación vectorial, luego se debe cumplir componente a componente. 
 
• En ocasiones será útil recordar el concepto de componentes intrínsecas: si la trayectoria 
no es rectilínea es porque hay una aceleración normal, luego habrá una también una 
fuerza normal; si el módulo de la velocidad varía, es porque hay una aceleración 
tangencial, luego habrá una fuerza tangencial. 
 
• La fuerza y la aceleración son vectores paralelos, pero esto no significa que el vector 
velocidad sea paralelo a la fuerza. Es decir, la trayectoria no tiene por qué ser tangente 
a la fuerza aplicada. 
 
• Esta ecuación debe cumplirse para todos los cuerpos. Cuando analicemos un problema 
con varios cuerpos, deberemos entonces tener en cuenta las fuerzas que actúan sobre 
cada uno de ellos y aplicar la ecuación por separado. 
 
c) TERCERA LEY DE NEWTON 
 
Volvamos a la ecuación que relaciona las variaciones del momento lineal de dos 
partículas que interaccionan entre sí. Si dividimos por el intervalo tiempo transcurrido y 
tomamos el límite cuando Δt tiende a cero: 
 
 → 
 
 
Atendiendo a la definición de fuerza vista en la segunda ley: 
 
 
 
 
Enunciamos ya la tercera ley: 
 
Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este último ejerce sobre el 
primero una fuerza igual en módulo y de sentido contrario a la 
primera. 
 
Esta ley es conocida como la “Ley de Acción y Reacción”. 
 
Un error muy común es cancelar las fuerzas que constituyen un par acción-reacción al 
estudiar un cuerpo, pero hay que tener en cuenta que dichas fuerzas se ejercen sobre 
cuerpos distintos, luego sólo se cancelarán entre sí cuando consideremos el sistema 
formado por los dos cuerpos en su conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Otro factor a tener en cuenta es que las fuerzas que constituyen un par acción-
reacción siempre responden al mismo tipo de interacción. 
Resumimos las Leyes de Newton, con lo siguiente: 
 
Primera ley (partícula libre) 
 
 
Segunda ley 
 
 
Tercera ley 
 
 
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 
 
En física, una “ecuación de movimiento” es la formulación matemática que define 
la evolución temporal de un sistema físico en el espacio. Esta ecuación relaciona la derivada 
temporal de una o varias variables que caracterizan el estado físico del sistema, con 
otras magnitudes físicas que provocan los cambios en este. 
 
En la dinámica del punto material, la ecuación de movimiento determina la posición futura 
de un objeto o partícula móvil en función de otras variables como, su velocidad, su 
aceleración, su masa y cuantas variables le puedan afectar en su movimiento junto con las 
condiciones iniciales. 
 
En otras áreas de la física como la mecánica de los medios continuos o la teoría de campos 
se habla de ecuación de movimiento en general para describir las ecuaciones de evolución 
o variación temporal del sistema. 
 
Históricamente el primer ejemplo de ecuación del movimiento que se introdujo en física fue 
la segunda ley de Newton para sistemas físicos compuestos de agregados partículas 
materiales puntuales. En estos sistemas el estado dinámico de un sistema quedaba fijado 
por la posición y velocidad de todas las partículas en un instante dado y, hacia finales 
del siglo XVIII se introdujo la mecánica analítica o racional, como generalización de las 
leyes de Newton aplicables a sistemas de referencia inerciales, entonces se concibieron 
dos enfoques básicamente equivalentes conocidos como mecánica lagrangiana y mecánica 
hamiltoniana, que pueden llegar a un elevado grado de abstracción y formalización 
en ecuaciones diferenciales. 
 
Un sistema discreto de partículas o de sólidos rígidos tiene un número finito de grados de 
libertad. Los ejemplos clásicos de ecuación del movimiento más conocidos son: 
 La segunda ley de Newton que se usa en mecánica newtoniana. 
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_(f%C3%ADsica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_f%C3%ADsico
https://es.wikipedia.org/wiki/Estado_f%C3%ADsico
https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica
https://es.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A1mica_del_punto_material
https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIII
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial
https://es.wikipedia.org/wiki/Grado_de_libertad_(f%C3%ADsica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Grado_de_libertad_(f%C3%ADsica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtoniana
 Las ecuaciones de Euler-Lagrange que aparecen en mecánica lagrangiana. 
 Las ecuaciones de Hamilton que aparecen en mecánica hamiltoniana. 
 
FORMULACIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: 
 
Considere el sistema mostrado en la figura 1 y las siguientes suposiciones: 
• La masa del sistema denotada por m es constante y totalmente rígida. 
• El resorte es lineal y de masa despreciable,se representa mediante una constante 
denominada k, La relación entre la fuerza y la deformación del resorte está dada por: 
F = kd, en donde k es la constante de rigidez y d es el desplazamiento. 
• Existe un amortiguamiento lineal representado por la constante de amortiguamiento c, la 
fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad de la masa: Fa = cv. 
• El movimiento de la masa es de translación rectilínea. 
• El diagrama de cuerpo libre-DCL bajo las condiciones anteriores se muestra en la figura 
2. 
 
Aplicando la segunda ley de Newton y sumando las fuerzas actuantes en eje X, se obtiene: 
 
∑ x = - kx – cv = ma 
 
Ordenando la expresión: 
 
ma + cv + kx = 0 escribiendo en función del desplazamiento 
 
mẍ + cẋ + kx = 0 …… (1) entonces, 
 
La ecuación (1) describe el movimiento vibratorio libre amortiguado. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1. Sistema 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2. DCL 
 
 
EQUILIBRIO DINÁMICO 
 
Normalmente existen dos clases de equilibrio, equilibrio estático y equilibrio dinámico. 
 
Cuando las cargas están aplicadas sobre una estructura en forma cuasi lineal (partiendo 
desde cero y alcanzado su valor final gradualmente), la estructura se deformará bajo estas 
cargas y quedará en reposo en su forma final. Desde este instante la estructura no sufre 
cambios en su posición ni en su forma deformada y la condición de equilibrio estático 
establece que la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre la estructura 
(incluyendo las reacciones) trasladadas a un punto común, serán iguales a cero. 
 
M ma 
cv 
kx 
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Euler-Lagrange
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_lagrangiana
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_hamiltoniana
Por el contrario, si las cargas se aplican súbitamente, la estructura alcanzara diferentes 
deformaciones en diferentes instantes. 
 
Entonces, si cualquier partícula o porción de la estructura está en equilibrio en cualquier 
instante bajo la acción de cargas externas, fuerzas gravitacionales, fuerzas elásticas y 
fuerzas inerciales que actúan sobre ella, entonces se dice que existe el llamado equilibrio 
dinámico de la estructura. 
 
El objetivo del estudio dinámico de una estructura es, en última instancia, predecir el 
comportamiento de la misma para establecer el grado de seguridad frente al colapso. 
 
El análisis (dinámico o de cualquier otro tipo) debería ser utilizado como indicador del 
funcionamiento futuro: si es bueno para aceptar el diseño y si es malo para modificarlo. 
 
Cuando se aplica el análisis dinámico ya se ha dimensionado toda la construcción y 
quedarán por definir armaduras y detalles de armado en los componentes de hormigón 
armado y los detalles constructivos (uniones, principalmente) en las construcciones de 
acero. Por lo tanto, el análisis debería servir para confirmar o rectificar un diseño en cuya 
gestación ya se tomaron la mayoría de las decisiones que definen el comportamiento de la 
construcción.