Vibraciones forzadas por carga armonica

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VIBRACIONES FORZADAS POR CARGA ARMONICA 
 
GENERALIDADES-RESUMEN: VIBRACIÓN PERIÓDICA 
La forma más simple de una vibración periódica está dada por el movimiento armónico 
simple. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
Su representación (Fig. 1) es la proyección sobre un eje vertical de un vector rotante que 
rota con movimiento circular uniforme de velocidad angular, ro constante. 
Resulta: 
X = 𝐴∙𝑠𝑒𝑛(𝑤∙𝑡) 
 
Después de una rotación completa (ciclo) de 2π radianes, la onda se repite. 
 
El tiempo requerido para completar un ciclo se define como período (T) del movimiento. 
 
Como para un ciclo se cumple: 𝜔T = 2 π, resulta: 
𝑇=2∙𝜋/𝜔 
 
La frecuencia (f) es la inversa del período: 
𝑓=1/𝑇=𝜔/2∙𝜋 
 
 
 
3.- MOVIMIENTO FORZADO (NO AMORTIGUADO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA N° 04: 
 
SOLUCIÓN 
 
 
 
VIBRACIONES FORZADAS ARMÓNICAS 
 
Cuando un sistema está sometido a una acción externa o excitación armónica forzada, su 
respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. Fuentes comunes 
de excitación armónica son el desbalance en máquinas rotatorias, fuerzas producidas por 
máquinas reciprocantes o el movimiento de la máquina misma, entre otras. La excitación 
armónica es frecuente en sistemas de ingeniería. Son comúnmente producidas por 
desbalances en maquinaria rotatoria. Aunque la pura excitación armónica es menos 
probable que la periódica u otros tipos de excitación, un entendimiento de la conducta de 
un sistema que sufre excitación armónica es esencial para comprender cómo el sistema 
responderá a tipos más generales de excitación. La excitación armónica puede ocurrir en 
la forma de una fuerza o desplazamiento de algún punto del sistema. 
 
Sea el siguiente sistema masa resorte forzado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La solución general completa de esta ecuación consta de dos partes, la solución general 
de la homogénea y la solución particular de la completa. La función de la general 
homogénea en este caso es la correspondiente a la vibración libre, y la particular de la 
completa es una oscilación estacionaria de la misma frecuencia 𝜔 de la excitación. 
 
Podemos suponer que dicha solución es de la forma: 𝑥𝑝=𝐴𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡−𝜃) 
 
Donde Ap es la amplitud de la oscilación y 𝜃 es la fase del desplazamiento con respecto a 
la fuerza excitatriz. 
 
La amplitud y la fase en la ecuación de arriba se calculan recordando que en el movimiento 
armónico las fases de la velocidad y la aceleración están adelantadas al desplazamiento 
en 90º y 180º respectivamente. 
 
 
 
 
Para completar el análisis de la respuesta a estos sistemas forzados se analiza a la solución por 
separado de lo que corresponde al régimen transitorio y al régimen permanente 
 
LIMITES ADMITIDOS PARA LA VIBRACIONES 
A los fines de tener una visión más amplia de los problemas de las vibraciones pasamos 
revista a los factores que limitan la magnitud de estas. Uno de los principales objetivos del 
estudio y de la medición de las vibraciones es determinar cuantitativamente la magnitud de 
las amplitudes de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones para constatar si son 
superiores o inferiores a los límites admisibles. Se tratan entonces de conocer ciertos límites 
admisibles para los numerosos elementos sometidos a vibraciones. 
 
Las magnitudes características de las vibraciones están limitadas por los factores que a 
continuación tratamos de exponer: 
 
El efecto sobre el hombre 
Las vibraciones tienen sobre el hombre efectos nocivos muy variados. Así, por ejemplo, las 
vibraciones muy lentas, características de los buques, pueden provocar el mal de mar. Las 
vibraciones de los automóviles fatigan y son, a veces, la causa de muchos problemas físicos 
del cuerpo de los pasajeros / conductores. En los edificios destinados a viviendas u oficinas, 
las vibraciones son fastidiosas y molestas sobre todo por sus efectos sobre el sistema 
nervioso. Para el hombre que trabaja en forma permanente en un lugar sujeto a vibraciones: 
trátese de un conductor de vehículos, de un operario atendiendo una máquina, etc., el 
efecto nocivo se presenta bajo forma de fatiga, de disminución de la productividad, a la 
larga también bajo forma de enfermedades profesionales. 
 
Muchos investigadores en diferentes países han estudiado los efectos de las vibraciones 
sobre el hombre para establecer las condiciones y las escalas de percepción, así como los 
niveles admisibles de las vibraciones. 
El efecto sobre las máquinas y los aparatos 
Los daños que las vibraciones pueden provocar en las máquinas y aparatos revisten varios 
aspectos. En primer lugar, es necesario considerar los efectos de fatiga mecánica debido a 
las fuertes vibraciones después de las cuales algunos elementos de máquinas pueden fallar 
o romperse. Las vibraciones pueden representar un obstáculo para el desarrollo normal de 
un proceso de fabricación, dando origen a una calidad deficitaria de los productos 
elaborados (por ejemplo, el caso de vibraciones en máquinas-herramientas). Las 
vibraciones que llegan a los aparatos de medida pueden ser extremadamente 
contraproducentes (falsean la medida) cuando están montados a bordo de vehículos. 
 
El efecto sobre los edificios 
Las vibraciones producidas en los edificios pueden provocar (además de los efectos sobre 
hombres y máquinas) daños a la construcción. Se comienza por la destrucción del 
cielorraso, por los vidrios que se rompen y pueden llegar a fisuras en las fundaciones, los 
pisos y columnas. El caso extremo está representado por los efectos desastrosos de un 
terremoto. 
 
Un gran número de estudios revelan los efectos de las vibraciones en los dominios más 
variados de la técnica, teniendo como punto de partida una gran variedad de factores. La 
documentación recogida hasta ahora ha permitido realizar algunas síntesis, bajo forma de 
diagramas y tablas, y que, en ciertos países, revisten carácter de norma obligatoria. No 
obstante, estas indicaciones no representan todavía una forma universalmente aceptada, 
sea debido a los límites admisibles adoptados como con relación a la magnitud física 
utilizada como criterio para apreciar la nocividad. Es por eso que, frente a la documentación 
técnica presentada, deberá realizar un análisis crítico con respecto a los factores 
característicos del problema que él mismo debe resolver. 
 
El problema es simple cuando el criterio para apreciar la vibración está representado por la 
deformación del material provocada por la vibración. En este caso, la resistencia de 
materiales da la magnitud admisible para la deformación de los cuerpos estudiados, así 
puede concluirse directamente el límite admisible de la vibración. 
 
SISTEMAS DE MÁS DE UN RESORTE 
Cuando un sistema cuenta con más de un resorte se pueden dar dos posibilidades de 
arreglo entre ellos, que se los considere en serie o en paralelo. 
1. Resorte serie 
Cuando se tienen los dos resortes unidos por los extremos opuestos, dispuestos como 
si fueran una cadena, el desplazamiento de la masa será la suma de los alargamientos 
de ambos resortes, o sea: 𝛿𝑒𝑠𝑡=𝛿𝑒𝑠𝑡1+𝛿𝑒𝑠𝑡2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
En esta disposición, la carga se propaga por los dos resortes por igual: 
𝛿𝑒𝑠𝑡=(𝑤/𝑘1) +(𝑤/𝑘2) =𝑤. [(1/𝑘1) +(1/𝑘2)] 
 
𝛿𝑒𝑠𝑡=𝑤. [(𝑘1+𝑘2) / (𝑘1. 𝑘2)] 
 
Entonces: 𝑘𝑒= (𝑘1. 𝑘2) /(𝑘1+𝑘2) = k1. k2 
 k1 + k2 
 
 
2. Resorte paralelo 
En esta configuración los resortes se encuentran unidos por los extremos del mismo 
lado, de forma que ambos resortes ven el mismo desplazamiento en su extremo libre, de 
forma que: 
 
𝑤1=𝑘1. 𝛿𝑒𝑠𝑡 𝑤2=𝑘2. 𝛿𝑒𝑠𝑡 
 
Así es como: 𝑤1+𝑤2=𝛿𝑒𝑠𝑡. (𝑘1+𝑘2) 𝑤=𝛿𝑒𝑠𝑡. (𝑘1+𝑘2) 𝑘𝑒=𝑘1+𝑘2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2