Tema 04 - Cinemática III

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9UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 4
CINEMÁTICA III
FÍSICA
GRÁFICAS DEL MRU - MRUV
I. GRÁFICAS EN CINEMÁTICA
En el estudio de las magnitudes cinemáticas es co-
mún encontrar una relación entre dos o más magni-
tudes, de tal manera que si aumenta el valor de una
de ellas, entonces cambia el valor de la otra (aumen-
tando o disminuyendo); por lo tanto se afirma que
entre ellas existe una proporción (directa o inversa)
a una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc, en ge-
neral se dice que una de ellas está en función de la
otra.
Cuando una magnitud es función de otra, entonces
se puede construir una gráfica que relacione a dichas
magnitudes y para ello se emplean los ejes rectangu-
lares x – y, cinemática encontramos que la veloci-
dad, la aceleración y la posición de móviles se pue-
den expresar en función del tiempoy por lo tanto se
pueden construir los gráficos correspondientes.
Importantes
A. Proposición Directa
y
xO
Magnitud
Dependiente

x
Magnitud
Independiente
y k(Cons tan te)
x
y kx
k Tg (pendiente)

 
 
B. Variación Lineal
y
xO x
V0
0y kx y 
C. Cariación Cuadrática
y
xO x
y Semiparábola
 
2
2
y k(Constante)
x
y kx

 
II. EN EL MRUV
A. Gráfica V - t
En este caso la gráfica es una línea horizontal para-
lela al eje del tiempo, esta se debe a que la veloci-
dad es constante y no depende del tiempo trans-
currido.
V
tO t
V
DESARROLLO DEL TEMA
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CINEMÁTICA III
TEMA 4
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Propiedad:
d Área
Observación:
(a) Primer cuadrante  área (+)
 Desplazamiento hacia la derecha
(b) Cuarto cuadrante  área (–)
 Desplazamiento hacia la izquierda
Nota 1.
Así por ejemplo
V
t
O
k
d(+)
 
d
V
Movimiento hacia
la derecha (d = 0)
V
k
O
d(–)
t
 
d
Movimiento hacia
la izquierda (d = 0)
V
Propiedades
1. El área comprendida entre la recta representati-
va y el eje temporal nos da la distancia recorrida.
d = Área
2. La sumatoria algebráica de las áreas considerando
signos positivos para los ubicados encima del eje
positivo y signo negativo para los ubicados por
debajo, nos da el desplazamiento efectuado.
debajoarriba
del eje 1 del eje 1d S – S  
Otro ejemplo:
yx1
O
x2
t1
t2
t
V
+V1
O
–V2
t1 t2
t
V2
x2
V1
O x1
2. Gráfica x – t
En este caso la gráfica es una línea recta inclina-
da la cual no necesariamente pasa por el origen
de coordenadas, esto se debe a que el móvil va
cambiando de posición durante el transcurso del
tiempo.
x
t
x
x0

0
t
Propiedad.
V Tg 
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Importante:
(a) Desplazamiento hacia la derecha.
x
x0

0
t
V
0 x0
x
 V tg (positivo)  
(b) Desplazamiento hacia la izquierda.
x0
0
t

V
0 x0
x
. . .
V Tgx Tg (negativo)   
(c) Cuerpo en reposo.
 
x
x0
O
t
t
V 0 
 Ejemplo:
Se presenta un móvil con MRU represente
sus gráficos. V – t y x – t.
V
5s
5 m 25m 45m0m
V V
5s
20m 20m
Solución:
Hallando la velocidad:
d 20V 4m/s
t 5
  
Construyendo las gráficas tenemos.
V(m/s)
1
2
3
4
5
6
7
5 10
t(s)
0
x(m)
10
20
30
40
50
5 10
t(s)
0
1. Gráfica a – t
En este caso la gráfica es una línea horizon-
tal paralela al eje del tiempo, esto se debe a
que la aceleración es constante y no de-
pende del tiempo transcurrido.
a
0 t
t
a
Propiedad:
t 1V V – V área  
2. Gráfica V – t
En este caso la gráfica es una línea recta
inclinada cuya pendiente puede ser positiva
o negativa, esto se debe a que la velocidad
del móvil va cambiando continuamente ya
sea aumenta o disminuyendo asó como
tambien cambiando su dirección.
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V
0 t
t
Vt
Vi

Propiedad:
a Tg d área  
Observaciones:
Si el móvil parte del reposo la gráfica es:
V
t
V1
t0
Si el móvil desacelera la gráfica es:
V
V1
0
a = Tg

t

t
Peso:
Tg Tg a Tg     
3. Gráfica x – t.
En este caso la gráfica es un arco de pará-
bola cuyo eje es vertical paralelo al eje de
coordenadas (x), si el móvil parte del repo-
so la gráfica es una semiparábola, cumplién-
dose que en cada punto de la gráfica la pen-
diente nos da la velocidad instantánea del
móvil.
 
x
x0
O
t
t
x Arco de 
parábola

Propiedad:
V Tg 
Para recordar:
(a) Área debajo de la gráfica (MRU).
 
10
20
30
40
50
60
1 2 3 4 5 6
t(s)
V(m/s)
Área
Área = (6 – 2)(40) = 160
 d = 160 m
(b) Área debajo de la gráfica (MRUV).
5
10
15
20
25
30
2 4 6 8 10
t(s)
a(m/s )2
Área
Área = (8 – 2)(25) = 150
 d = 150 m/s
0
Para recordar:
(a) Área de triángulo
b
b
b.hÁrea
2

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Problema 1
Una partícula se muestra a lo largo del
eje x de acuerdo a la gráfica posición
(x) - tiempo (t).
Hállese su velocidad media entre. t1 = 5s
y t2 = 15s.
20
10
8
–10
5
15 t
25(s)
x(m)
O
A) 3 m/s
B) – 1,5 m/s
C) –3 m/s
D) 2 m/s
E) 1,5 m/s
Resolución:
Recordemos que la velocidad media se
determina por:
2 1
m
2 1
x – xxV
t t – t
 

De la gráfica: 1 1t 5s x 20m   y
2 2t 15s x 10m   .
m m
(–10) – (20) mV V –3
(15) – (5) s
   
Respuesta: C) –3 m/s
Problema 2
Dos móviles A y B recorren la misma
recta, variándo sus velocidades según
indica la gráfica v-t. Si en el instante
en que sus velocidades se igualan, el
desplazamiento de A es el triple del
desplazamiento de B, obtener la ace-
leración de B (en m/s2).
V(m/s)
10
10
B
A
O
t(s)
A) 2
B) 4
C) 0,2
D) 0,4
E) 5
Resolución:
Recordemos que en la gráfica v-t el
desplazamiento (distancia) está indica-
da por el área que encierran la gráfica
con el eje de los tiempos.
Las velocidades se igualan cuando las
gráficas se cortan, luego hallando el
instante cuando se igualan.
V
10
10
B
A
O
t
A2A
t
10(t – 10)A
2
 ..........(1)
10t3A
2
 .................(2)
(1) en (2):
103 (t – 10)
2
10 t
2
t 15s 
Luego la aceleración de B:
10a a 2
t – 10
  
Respuesta: A) 2
Problema 3
Un móvil de mueve a lo largo del eje
x, y su velocidad varía con el tiempo
de acuerdo a la gráfica que se mues-
tra. Señale la veracidad (V) o falsedad
(F) de las siguientes proposiciones.
( ) El desplazamiento durante los pri-
meros 15 es –750m.
( ) La velocidad media durante los pri-
meros 10 s es 25 m/s.
( ) La longitud total recorrida duran-
te los 15 s es 1250 m
50
0
–100
5 15t(s)
A) VVV
B) FFF
C) VFV
D) FFV
E) VFF
problemas resueltos
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Resolución:
50
0
–100
5 15
V
A2 A3
10 t
A1
(V) Desplazamiento ( x)
1 2 3 1 2 3x A – A – A A – (A A )
x 50(5) – 100(10)
x –750m
   
 
 
(F) velocidad media (0; 10 s):
1 2
m
A – A 5(50) – 5(100)V
10 10
 
Vm = –25 m/s
(V) Longitud recorrida:
   1 1 2 3L A A A L 50 (5) 100 (10)     
 L 1250m
VFV
Respuesta: C) VFV