Tema 17 - Ondas mecánicas simples y Energía de una onda

Vista previa del material en texto

50UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 17 - 18
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES -
ENERGÍA DE UNA ONDA
FÍSICA
Cuando disfrutamos de las olas en una playa, estamos ex-
perimentando un movimiento ondulatorio. Los rizos en un
estanque, los sonidos musicales que escuchamos, otros so-
nidos que no podemos oír, los movimientos de un resorte
largo y flojo estirado sobre el piso: todos éstos son fenó-
menos ondulatorios. Pueden ocurrir ondas siempre que un
sistema es perturbado de su posición de equilibrio y cuando
es perturbado puede viajar o propagarse de una región del
sistema a otra. El sonido, la luz, las olas del mar, la transmi-
sión de radio y televisión, y los terremotos, son fenómenos
ondulatorios. Las ondas son importantes en todas las ramas
de la física y la biología; de hecho, el concepto de onda es
uno de los hilos unificadores más importantes que corren por
toda la tela de las ciencias naturales.
En este tema se tratan las ondas mecánicas, ondas que
viajan dentro de algún material llamado medio.
No todas las ondas son mecánicas. Otra clase muy amplia es
la de las ondas electromagnéticas, que incluyen la luz, las
ondas de radio, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos
x, los rayos gamma. Las ondas electromagnéticas no nece-
sitan un medio; pueden viajar por el espacio vacio.
Otra clase más de fenómenos ondulatorios es el comporta-
miento tipo onda de las partículas atómicas y subatómicas.
Este comportamiento forma parte de los cimientos de la
mecánica cuántica, la teoría básica que se usa para analizar
la estructura atómica y molecular. Volveremos a las ondas
electromagnéticas en clases posteriores. Mientras tanto,
podemos aprender el lenguaje esencial de las ondas en el
contexto de las ondas mecánicas.
I. ONDAS MECÁNICAS
Observemos una pequeña piedra que cae desde cierta
altura hacia la superficie de un lago con agua tranquila.
Al incidir la piedra en la superficie del agua, vemos que
ésta experimenta una perturbación, la cual se propa-
ga en toda la superficie del agua. Por lo tanto decimos
que se ha generado una ¡Onda!
Una onda mecánica es una perturbación que viaja por
un material o sustancia que es el medio de la onda. Al
viajar la onda por el medio, las partículas que forman el
medio sufren desplazamientos de varios tipos, depen-
diendo de la naturaleza de la onda.
II. TIPOS DE ONDA
La Fig. 1 muestra variedades de ondas mecánicas. En
la Fig. 1a el medio es un hilo o cuerda tensado. Si
imprimimos al extremo izquierdo una pequeña sacudi-
da hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo del hilo.
Secciones sucesivas del hilo repiten el movimiento que
dimos al extremo, pero en instantes posteriores suce-
sivos. Dado que los desplazamientos del medio son
perpendiculares o transversales a la dirección en que
la onda viaja por el medio, decimos que se trata de
una onda transversal.
Fig. 1 (a) La mano mueve la cuerda hacia arriba y re-
gresa, produciendo una onda transversal.
(b) El pistón comprime el líquido o gas y regresa, pro-
duciendo una onda longitudinal.
(c) La tabla empuja a la derecha y regresa, producien-
do una suma de ondas longitudinal transversal.
DESARROLLO DEL TEMA
51UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 17 - 18
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES ENERGÍA DE UNA ONDA
En los 3 casos la onda solitaria se propaga a la derecha.
En la Fig. 1b el medio es un líquido o gas de un tubo
con un pared rígida en el extremo derecho y un pis-
tón móvil en el izquierdo. Si damos al pistón un solo
movimiento hacia adelante y hacia atrás, el desplaza-
miento y las fluctuaciones de presión viajarán a lo largo
del medio. Esta vez los movimientos de las partículas
del medio son en la misma línea en que viaja la onda y
decimos que se trata de una onda longitudinal.
En la Fig.1c el medio es agua en un canal, como una
zanja de irrigación. Si movemos la tabla plana de la
izquierda hacia delante y hacia atrás una vez, una alte-
ración ondular viajará a lo largo del canal. En este caso
los desplazamientos del agua tienen componentes tanto
longitudinal como transversal.
Cada uno de estos sistemas tiene un estado de equi-
librio. Para la cuerda estirada, es el estado en que el
sistema está en reposo, tendido en línea recta. Para el
fluido en un tubo, es un estado en que el fluido está
en reposo con presión uniforme, y para el agua en
una zanja es una superficie lisa y plana de agua. En
cada caso el movimiento ondulatorio es una alteración
del estado de equilibrio que viaja de una región del
medio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden a
restablecer el sistema a su posición de equilibrio cuan-
do se le desplaza, al igual que la gravedad tiende a
llevar un péndulo hacia su posición de equilibrio cuan-
do se le desplaza.
Estos ejemplos tienen tres cosas en común. Primera,
la perturbación siempre viaja o se propaga por el me-
dio con una rapidez definida llamada rapidez de propa-
gación o simplemente rapidez de la onda, determina-
da en cada caso por las propiedades mecánicas del
medio. Usaremos el símbolo "V" para esta rapidez. (La
rapidez de la onda no es la rapidez con que se mueven
las partículas cuando con movidas por la onda).
Segunda, el medio mismo no viaja por el espacio; sus
partículas individuales realizan movimientos alrededor de
sus posiciones de equilibrio. Lo que viaja es la configura-
ción global de la perturbación ondulatoria. Tercera, para
poner en movimiento cualquiera de estos sistemas, de-
bemos aportar energía realizando trabajo mecánico so-
bre el sistema. La onda transporta esta energía de una
región del medio a la otra. Las ondas transportan ener-
gía, pero no materia, de una región a otra.
III. ELEMENTOS DE UNA ONDA
A
y
x
V
Py
x
Y: Desplazamiento
A: Amplitud (Ymax)
 : Longitud de onda
T : Periodo
f : Frecuencia
T: s
f : hertz
1f
T

Velocidad de propagación
V f
T
  
IV. ECUACIÓN DE UNA ONDA
Si las partículas del medio tienen movimiento armónico,
entonces la onda se rige por la siguiente ecuación:
t xY Asen2
T
     
Y Asen(wt kx) 
(–) Si la onda se propaga a la derecha.
(+) Si la onda se propaga a la izquierda.
Cuando una onda choca con la frontera de su medio,
se reflejan parcial o totalmente. Si gritamos hacia la pa-
red de un edificio o un alcantarillado que ésta a cierta
distancia, la onda sonora se refleja la superficie rígida, y
regresa un eco. Si sacudimos el extremo de una cuerda
cuyo otro extremo está atado a un soporte rígido, un
pulso viaja a lo largo de la cuerda y se refleja hacia noso-
tros. En ambos casos la onda inicial y reflejada se solapan
en la misma región del medio. Este solapamiento de
ondas se denomina interferencia.
Si hay dos puntos o superficies de frontera, como en
una cuerda de guitarra que ésta sujeta por ambos ex-
tremos, obtenemos reflexiones repetidas.
En tales situaciones observamos que solo pueden ocu-
rrir ondas seniodales para ciertas frecuencias especiales
determinadas por las propiedades y dimensiones del
medio. Estas frecuencias especiales y las correspondien-
tes configuraciones de ondas se denominan modos
normales. Los tonos de la mayor parte de los instru-
mentos musicales están determinados por las frecuen-
cias de los modos normales también explica por qué
sentimos que cantamos mejor en la ducha y por qué la
voz amplificada de un cantante profesional puede rom-
per una copa de cristal si canta la nota correcta.
V. INTERFERENCIAS DE ONDAS
Es un fenómeno que consiste en el reforzamiento o
destrucción de las ondas cuando se superponen.
Dos trenes de ondas distintos procedentes de diferen-
tes centros de vibración que concurren simultáneamente
en cierta región, se superponen propagándose como si
no hubieran superpuestos (principio de superposición).
52UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES ENERGÍA DE UNA ONDA
TEMA 17 - 18
Exigimos más!
Superposición de los dos pulsos. El desplazamiento del pulso
combinado es la suma de los desplazamientos individuales.
La superposición de dos pulsos iguales y opuestos.
(A) antes de la anulación completa.
(B) anulación completa.
VI. VELOCIDADDE LAS ONDAS EN UNA
CUERDA
Para el caso de las ondas lineales, la velocidad de las ondas
mecánicas solo depende de las propiedades del medio
por el que se propaga la perturbación.
Nosotros enfocaremos la atención en la determinación de
la rapidez de un pulso que viaja sobre una cuerda estirada.
Si la tensión en la cuerda es F y su masa por unidad de
longitud es la rapidez V de la onda está dada por:
V
T M
L
  

M TV
L
T : Tensión (N)
 : Densidad Lineal (kg/m)
¡No olvidemos!
Una onda es una perturbación, del equilibrio que viaja,
o sea propaga, de una región del espacio a otra. La
rapidez de propagación se denomina rapidez de la onda.
Las ondas pueden ser transversales, longitudinales o
una combinación de ambas.
En una onda periódica, la perturbación en cada punto
es una función periódica del tiempo, y la configuración
de la perturbación es una función periódica de la dis-
tancia. Una onda periódica tiene una frecuencia y lon-
gitud de ondas definidas. En las ondas periódicas se-
noidales cada partícula del medio oscila en movimiento
armónico simple.
La función de onda sitúa cada punto en el medio en
que se propaga la onda en cualquier instante.
VII.ENERGÍA DE ONDAS
A. Velocidad de las ondas
La velocidad de propagación de las ondas mecáni-
cas depende de las propiedades del medio en el
cual se propaga la onda. En el caso de una onda
que viaja en una cuerda tensada, el valor de su
velocidad depende de la tensión (F) y de su masa
por unidad de longitud ( ).
F masaV ;
longitud
  

Cuando una onda viaja a través de un medio, trans-
porta energía capaz de realizar un trabajo. La po-
tencia transmitida por una onda está dada por la
siguiente ecuación:
2 21Potencia A v
2
 
B. Superposición de ondas
Es un hecho experimental que, en muchas clases
de ondas dos o más de ellas pueden propagarse
en un mismo medio en forma independiente, es
decir, ninguna onda afecta a la otra. El hecho que
las ondas actúen independientemente quiere de-
cir que todo punto que sea alcanzado simultánea-
mente por dos o más ondas sufrirá un desplaza-
miento igual a la suma vectorial de los desplaza-
mientos individuales que las ondas proporcionan.
Este proceso de adición vectorial de los desplaza-
mientos de una partícula se llama superposición.
C. Interferencia
La palabra interferencia se refiere a los efectos físi-
cos que resultan al superponer dos o mas trenes
de onda. Para que se dé una interferencia que no
varíe con el tiempo (estacionaria) se requieren las
siguientes condiciones:
1. Las ondas deben ser la misma naturaleza.
2. Las ondas deben poseer la misma frecuencia
(velo-cidad).
F1
F2 d2
d1 P
Consideremos dos ondas de la misma amplitud "A" y
frecuencia "f" al cabo de un cierto tiempo recorriendo
la misma distancia. La suma de las elongaciones Y = y +
y' en la figura muestra que se obtiene una onda sinusoidal
de la misma frecuencia, pero de amplitud "2A".
Esto implica que la intensidad de la onda resultante es
el cuádruple de una cualquiera de las ondas que se
superponen.
53UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA TEMA 17 - 18
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES ENERGÍA DE UNA ONDA
Exigimos más!
A y
d1
d2
d2
d12A
A y'
Y
Notemos que se obtiene el mismo resultado si las
dos ondas tienen entre sí una diferencia de camino
d , igual a un número entero de longitud de onda
 : d N   N = 0, 1, 2, 3, ...
En este caso se dice que las ondas llegan en fase al
punto "P" y que se produce una interferencia cons-
tructiva.
A y
d1
d2
d2
d12A
A y'
Y
Si las 2 ondas tienen entre sí una diferencia de
caminos iguales a / 2 , la suma de las elongaciones
es siempre cero. Luego la intensidad de la onda
resultante es nula. Observemos que el mismo efecto
se obtiene si la diferencia de camino es un número
impar de / 2 , es decir: d (2N 1) / 2    .
(N = 1, 2, 3, ...)
 
A y
d1
d2
d2
d1
A y'
Y
/2
En este caso se dice que las ondas llegan al punto
"P" en oposición de fase y que se produce una
interferencia destructiva.
A y
d1
d2
d2
d1
A y'
Y
  d=(2 /2+1)
Si las amplitudes de las ondas son diferentes, se
obtiene una onda de igual frecuencia pero de am-
plitud igual a la diferencia de las amplitudes de las
ondas.
VIII. ONDAS ESTACIONARIAS
Estas ondas se obtienen mediante la superposición de
2 ondas de igual frecuencia y amplitud que se propagan
en direcciones opuestas. Las ondas estacionarias
presentan las siguientes características:
1. No todos los puntos vibran, existen puntos cuyo
movimiento es nulo. Denominados nodos.
2. La distancia entre dos nodos consecutivos es una
semi-longitud de onda ( / 2) .
3. Todos los puntos vibran con la misma frecuencia y
fase pero con diferentes amplitudes. La amplitud
de la partícula correspondiente depende de su po-
sición, llamándose antinodos a los puntos de máxi-
ma amplitud.
4. Las ondas estacionarias se establecen para ciertas
frecuencias, las cuales dependen de las caracterís-
ticas del sistema oscilante.
Para el caso de una cuerda vibrante de longitud "L"
cuyos extremos se encuentran fijos los posibles va-
lores de la longitud de onda estan dados por:
2L
N
 
Por lo que las correspondientes:
Frecuencias son:
 vf N 2L
Donde: N = 1, 2, 3, ...
Cuando N = 1, se obtiene la frecuencia conocida
como, frecuencia fundamental (f1).
54UNI SEMESTRAL 2013 - III FÍSICA
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES ENERGÍA DE UNA ONDA
TEMA 17 - 18
Exigimos más!
Problema 1
Se tiene una onda armónica que viaja
hacia la derecha; Ymax e Ymin son los
puntos más altos y más bajos de la onda;
se observa que Ymáx – Ymin = 4 m; para
"t" fijo se observa que la distancia en-
tre crestas consecutivas es 2 m y para
x fijo se observa que la onda oscila con
una frecuencia de 3 Hz. Determine la
ecuación de la onda sabiendo además
que Y(0,0) = 0.
UNI 2011 - I
A) 1Y(x, t) 4sen x t
3
    
 
B)  Y(x, t) 4sen x – 3t 
C) x 1Y(x, t) 2sen – t
3 2
     
D)  Y(x, t) 2sen x – 6t 
E) xY(x, t) 2sen t
3 2
   
 
Resolución
Ubicación de incógnita
Ecuación de la onda: Y(x; t)
Análisis de los datos o gráficos
Del texto:
0
2 m
f 3Hz
 
 

Operación del problema
y(x, t) = Asen(kx – cot +  )
 y 0, 0 0 0 sen 0      
Conclusión y respuesta
y(x, t) = 2sen( x – 6 t) m 
Respuesta:
D) y(x, t) = 2sen( x – 6 t)m 
Problema 2
En la figura se muestran 2 fotos tomadas
en los instantes t1 = 10 m/s y t2 = 15 m/s,
a una onda viajera que se desplaza a
través de una cuerda a lo largo del eje
x. Si se sabe que t2 – t1 < T, siendo T
el periodo de oscilación de la onda, de-
termine su rapidez de propagación (en
m/s). (1 m/s = 10–3 s)
UNI 2010 - II
A) 15 B) 20
C) 30 D) 40
E) 50
Resolución:
Ubicación de incógnita
Rapidez de la onda V.
Análisis de los datos o gráficos
–3
2 1
2 1
• t – t 5 10 s
• t – t T
• 20 cm


 

Operación del problema
 2 1
–3
V
T
T 2 t – t
T 10 x10 s



Reemplazando:
–220 x 10V 
–310 x10
20m/s
Respuesta: B) 20 m/s
Problema 3
Las ecuaciones de 3 ondas viajeras es-
tán representadas por:
A
B
C
Y (x, t) A sen (kx t)
Y (x, t) A sen(kx t)
Y (x, t) A sen(kx t )
 
  
    
Con respecto a estas ondas se hacen
las siguientes proposiciones:
I. La superposición de YA e YB da co-
mo resultado una onda estaciona-
ria de amplitud 2A.
II. La superposición de YA e YC da
como resultado otra onda estacio-
naria.
III. La superposición de YB e YC da co-
mo resultado una onda de ampli-
tud cero.
Señale la alternativa que representa la
secuencia correcta después de deter-
minar si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F).
UNI 2010 - I
A) VVV B) VVF C) VFV
D) FFV E) FFF
Resolución:
I. YR = YA + YB
YR = A sen (Kx – wt) + Asen(Kx + wt)
RY 2A Sen(Kx) Cos(wt)
Es una onda estacionaria de ampli-
tud "máxima" 2A.
II. YR = YA + YC
RY A Sen(Kx wt) ASen(Kx wt )     
   RY 2A Sen Kx Cos wt2 2   
RY 2A Cos (Kx)Sen (wt)
Sigue siendo una onda estaciona-
ria.
III. YR = YB + YC
RY ASen(Kx wt) ASen(Kx wt )     
   R
0
Y 2A Sen Kx wt Cos
2 2    

RY 0
Respuesta: A) VVV
problemas resueltos