ALGEBRA SEM 02 - 2022 II

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 ÁLGEBRA 
 CICLO 2022-II 
 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Semana N° 02 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
VALOR NUMÉRICO 
Con frecuencia hacemos uso de símbolos para 
representar elementos arbitrarios de un conjunto. 
Por ejemplo, podemos usar x para expresar un 
número real, aunque no especifiquemos ningún 
número real en particular. 
Una letra que se utilice para representar cualquier 
elemento de un conjunto dado se llama variable. 
Un símbolo que representa a un elemento específico 
se llama constante. 
A menos que se especifique otra cosa, las variables 
representan número reales. 
 
El valor numérico de un polinomio P se obtiene 
cuando se sustituye su variable por un número real 
“a”, se denota por P a ; así, por ejemplo: 
Para P  x   2x2  3x  5 
Si x =  2, resulta: P 2  2 2
2 
 32  5 
P 2  24  6  5  P 2  3 
Los valores numéricos de uso frecuente son P(1) 
y P(0) que representan la suma de los 
coeficientes de P y su término constante 
respectivamente. 
 
CAMBIO DE VARIABLE 
Proceso por el cual la variable inicial de una 
expresión es llevada hacia una nueva variable. 
Ejemplo: Sea P( x)  3x  5 
P( )  3  5 
P(3 x )  3(3x)  5  9x  5 
GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
RACIONAL ENTERA 
Al empezar el estudio de este tema, nuestro 
objetivo principal es mostrar que el grado es la 
propiedad implícita más importante de las 
expresiones algebraicas racionales enteras, ya que 
este nos indica el número de raíces para polinomios 
de una variable, y la dimensión funcional en Rn, 
para polinomios de distintas variables. 
Concepto 
El grado es la principal característica de una 
expresión entera, el cual viene dada por los 
exponentes naturales que afectan a sus variables. 
 
Cálculo del grado de una expresión entera 
A. Para un monomio 
Grado relativo (G.R.) 
Se determina ubicando el exponente de la 
variable referida en dicha expresión 
Grado absoluto (G.A.) 
Se determina sumando todos los exponentes de 
las variables (suma de grados relativos) 
Ejemplo: 
Dado el monomio: M ( x, y , z )  2 x
5 y3z 4 
Con respecto a una de sus variables: 
G.R.(x) = 5, G.R.(y) = 3 y el G.R.(z) = 4 
 
El grado absoluto será: G.A. = 5 + 3 + 4 = 12 
 
B. Para un polinomio 
Grado relativo (G.R.): 
Se determina ubicando el mayor exponente de 
la variable referida en dicha expresión. 
 
Grado absoluto (G.A.): 
Se determina tomando el mayor grado absoluto 
de uno de sus términos 
Ejemplo: Sea el polinomio 
P( x2)  3(x  2)  5  3x 11 P  3x
8 y 4  7 x5 y6  4x2 y7 
( x, y ) { { 142 443 
P 
 P 
 
 3 P( x  2)  5  3(3x  11)  5 T1 T2 T3 
 ( x2 ) 
P 

 P( x2 ) 


 9 x  38 
Cálculo del grado relativo: 
Mayor exponente de x: GR(x) = 8 
Mayor exponente de y: GR (y) = 7 
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Obtención del grado absoluto de cada término: 
GA (T1) = 8 + 4 = 12 (es el mayor) 
GA (T2) = 5 + 6 = 11 
GA (T3) = 2 + 7 = 9 
Por lo tanto: GA (P) = 12 
Finalmente, debemos tener en cuenta que: 
 
1. El grado de una constante monómica es igual a 
cero. Veamos Sea P(x) = 5  grado (P) = 0 
2. El grado de la constante nula no está definida, 
Es decir: Si P(x) = 0  grado (P) es 
indefinida. 
 
3. Es indiferente utilizar la terminología grado o 
grado absoluto 
 
Grado en operaciones algebraicas 
Lo resumimos en el cuadro adjunto. 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1. Sabiendo que la expresión 
mostrada: 
Px, y  2a  bxa3 y3b  a  2bxb1y15 
se reduce a un solo término, hallar 
el valor de “b-a”. 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 2 
 
2. El polinomio: 
Px, y   35 x n 3 y m  2  x n  2 y m 3 
es de grado 11 y cumple: 
GRx  GRy   5. Hallar m – n. 
a) -1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4 
 
3. Si P es un polinomio tal que: 
a 
 
 
Px, y  x 3 y a4  xa1 y 
Calcule su grado. 
a 1 
5  x10 y14a 
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 
 
4. Sean los polinomios 
   nn n n 
n 
 
Qx   x 2nn 1  10 x n  2n 
Si el grado de P(x).Q(x) es 783, 
entonces el grado de P(x) - Q(x) 
es: 
a) 27 b) 121 c) 125 d) 243 e) 729 
 119  7 x x x P 
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f)10
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f)675
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n
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n
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n
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n
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( )
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Rectángulo
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Rectángulo
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( )
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4 P 2 QR 
 
 
H x 1 P x , P x 
 
 
5. Dado el polinomio: a) VVV b) VVF c) VFV d) FVV e) FFF 
 3 
4
 
Px, y     8xm yn  2 xm 1 yn 1  4 xm  2 yn 1 2  
 
   9. Si P es un polinomio definido por 
si GR(y) = 48. Determine el GR(x), si 
el grado absoluto de P(x) es 96. 
a) 24 b) 36 c) 48 d) 96 e) 108 
 
6. Si el grado de P5 x.Q2 x es 19 y el 
Px; y   x 2 m  n  4 y m  n  2  x 2 m  n 3 y m  n 1 
x 
2 m  n  2 
y 
m  n 
Tal que cumple las siguientes 
condiciones: 
 El grado del polinomio es 28. 
grado de 
P
2 x 
es 4. Determine el 
Q x 
 GR(x)-GR(y) = 6. 
Entonces, el valor de M = m + n. 
grado de Q(x). 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
7. Se tienen 3 polinomios en “x” , 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 24 
 
10. Dado 
Px  a  xb  cx   ax  3 
Px, Qx, Rx , se sabe que la Qx  x  bx  1  x La suma de 
suma de los grados de Q y R excede 
en 10 al grado de P. Así mismo el 
Px  Qx origina un polinomio 
de grado cero. Determinar bajo 
grado de 
PQ 3 
de 
R 
4 
es 10 y el grado 
es 34, hallar la diferencia 
estas condiciones el valor de 
b 
2 
 c 
2
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
entre los grados de Q(x) y P(x). 
a) 2 b) 4 c) 7 d) 9 e) 11 
 
8. Determine el valor de verdad de las 
siguientes afirmaciones: 
 
11. Hallar el grado del producto: 
x 2  1x12  1x 36  1x 80  1 . . . 10 factores 
a) 2410 b) 3410 c) 4410 
d) 5410 e) 3240 
I. Px   2 x  x 2 es un 
 
 
 
II. 
polinomio sobre Q de grado 
2. 
Qx   x  12  x  22 es un 
polinomio de grado 2. 
12. Determine el grado del polinomio P, si 
se sabe que la suma de los 
coeficientes de P es a su término 
independiente como -43 es a 1. 
III.       2   de grado Px  43x 2 1
2n 1 
.2x 12n  1 
4 entonces 
grado 4. 
H x es de a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 
15 
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Nota rápida
q+r = p+10
2p+q+r / 4 =10
3p+31-4r = 34
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Rectángulo
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Rectángulo
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f)VFF
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1 2 x 
 
 
13. Si el término independiente del 
polinomio P, definido por: 
P2x  3  2x  34a  24x2  32a  4x  22a 
es 1600. Entonces el valor de a2  3 
es: 
a) 4 b) 7 c) 12 d) 15 e) 19 
 
I EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2018-III 
14. Si el polinomio 
17. Si el término independiente y el 
coeficiente principal del polinomio: 
Px  x2  3x  56xn  x  n
2x4  x2  n  110 xn1  5xn  1;n  1
Son iguales. Hallar el grado de P(x). 
a) 14 b) 15 c) 12 d) 20 e) 22 
 
18. Hallar el grado absoluto del 
monomio: 
Px  x  13  x  23  x  33  .... n   n 
  
 n 1 xy 

 
m  n xy 
tiene 2n  1 términos; entonces M x; y   7 
  3 n xy  
 n xym 
el valor de P n  
a) 8 b) 12 c) 5 d) 4 e) 10 
a) n 3 b) 2n3 c) 2n  13 d) 0 e) n 
19. Si x  0, definimosla expresión 
15. Calcular el grado del siguiente P , así: 
   
 x 
1 
. 
producto: 
x Px   

 x  x
x1 x  x1 x 
1 



P
 x    x196  1 x225  1 x256  1
 x2500  1
Después de reducir la expresión 
Px , clasifíquese: 
a) 382066 b) 42106 c) 48106 
d) 40526 e) 46102 
 
16. En el polinomio 
Q  4 x  3
P 
 2 x 
P 
 128 4 x  1
sea P un múltiplo de dos aumentado 
en uno; además, la suma de 
coeficientes más el termino 
independiente es 1. Halle P2 
a) Expresión trascendente 
b) Expresión algebraica racional entera. 
c) Falta datos. 
d) Expresión algebraica irracional. 
e) Expresión algebraica racional 
fraccionaria. 
ORDINARIO 2019 II 
20. Dada la expresión algebraica de 
grado entero: 
 2 
a) 9 b) 4 c) 16 d) 36 e) 81 M x; y; z  
ab c 
Si a 
a  b 
 
b 
b  c 
 
c 
a  c 
, entonces, el 
grado absoluto de M es igual a: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 
2 
x .y .z 
9a
2 
8ac 8bc 
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Q(1) + Q(0) = 1
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Máquina de escribir
(x)^(x^2)
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Nota rápida
a=1
b=1
c=1