ALGEBRA SEM 06 - 2022 II

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Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo 
a 
a 


 
 ALGEBRA 
 Ciclo 2022-II 
Semana N° 06 
“TEOREMA DEL RESTO” 
TEOREMA DEL RESTO 
(Teorema de Renato Descartes) 
 
Es una regla práctica que nos va a permitir 
determinar el residuo de una división cualquiera, sin 
necesidad de efectuar dicha operación. se aplica 
cuando el divisor es un binomio de primer grado en 
la forma ax  b y para cualquier otro tipo de 
divisor, siempre que se utilicen las estrategias 
adecuadas que permitan la aplicación correcta del 
teorema. 
Enunciado del Teorema del Resto 
igualarse a cero, y a partir de esta igualdad se 
despejará una relación conveniente, el cual se 
reemplaza directamente en el dividendo. 
El resultado obtenido de este reemplazo, nos 
representará el residuo de la división. Teniendo en 
cuenta que el máximo grado del residuo es uno 
menos que la del divisor. 
 
Teorema 1 
En toda división de polinomios, si al dividendo y al 
divisor, se les multiplica por un polinomio de grado 
no nulo, el cociente no se altera; pero el residuo 
quedará multiplicado por dicho polinomio; es decir, 
El residuo de dividir un polinomio P(x) Racional resultará alterado. 
y entero entre un binomio de forma ax  b , es 
igual al valor que toma dicho polinomio cuando se 
 
DEMOSTRACIÓN 
D( x)  d( x)  q( x)  R( x) 
 b 
reemplaza “x” por   
 
, es decir: Si Multiplicando por S( x) / S( x)  0 
ax  b  0  x  
b
 
a 
D( x)  S( x)   d( x)  S( x )  Q( x)  R( x)  S( x) 
De donde se observa que el residuo queda 
Por la identidad fundamental de la división, se 
tiene: P x  ax  bQ(x)  R(x) 
multiplicado por S( x) 
Teorema 2 
y el cociente es el mismo. 
 
Evaluando la identidad para x  
b
 
a 
En toda división de polinomios, si al dividendo y al 
divisor se les divide por un polinomio de grado no 
nulo, el cociente no se altera, pero el residuo queda 
Luego: P  

a 

 
b  
 
 
 R 
 
 
dividido por dicho polinomio. 
 b     b Q( x) ( x) 
 
    a  
P  b  bQ  R D( x)  d( x)  Q( x)  R( x) 

 
b 


( x) ( x) 
 a 
 
Dividiendo por S( x) / S( x)  0 
P b   0  R( x)  D d R 
 a  ( x)  
( x) 
Q  
( x) 
 
  
Generalización del teorema del resto 
Si el divisor de la operación es de grado arbitrario 
S( x) S( x) 
( x) 
S( x) 
se establece la siguiente regla general: 
Para determinar el residuo de una división 
cualquiera; en primer lugar, el divisor deberá 
De donde se observa que el residuo queda dividido 
entre S( x) y el cociente es el mismo. 
 
1 
R  P  b ( x) a 
DEMOSTRACIÓN 
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PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
 
1. Calcular el resto de la siguiente 
división: 
27x4  6x2  x  15 
 
 
3x 1 
a) 15x b) 3 c) 15 
d) x + 8 e) -15 
 
2. Calcula“m”sabiendo que la división. 
 
x4  7x2  mx  16 
, es exacta. 
x  2 
a) 3 b)10 c)11 d)-3 e)30 
 
3. Sea2x3 + 10x2 - 14x – 3, ¿cuánto hay 
que aumentarle de x2 para que la 
división entre (x – 3) sea exacta? 
a) -11 b) 10 c) 11 
d) 9 e) 12 
4. Hallar el valor de 3 1 para que al 
d) 4x - 3 e) 3 – 8x 
 
6. Calcule el resto al dividir: 
x 4  6  3x102  x 4  3x  453  2x 4  3x14 
 
x4  3x  5 
a) -4 b) -2 c) –3 d) -6 e) 5 
 
7. Calcule el resto al dividir: 
 
x  2
82 
 4x  2
63 
 5x  2
24 
 3x  2
3 
 7 
 
x2  4x  5 
 
a) x + 2 b) 2(x + 2) c) 2(x +1) 
d) 2x e) x - 11 
 
8. Proporcionar el resto de dividir 
(x 1)(x2  x)2 (x2  5x  6) 
(x2  2x  4) 
 
a) 2x b) x c) 84x 
d) 82x e) – 84x 
 
9.- Hallar el resto: 
a 
dividir el polinomio: 2x
57  2x30 
4x3  5x2  (1 a)x  7a  9 entre x2 x  1 
(x + 1) el resto de la división es 
cero. 
a) 2 b)1/2 c)11 d)-2 e)3 
 
5. Hallar el resto de la división: 
(x  2)2n  x2  5 
(x 1)(x  3) 
 
a) 2x + 1 b) 4x + 3 c) 3x + 4 
a) 4 b) 10 c) 11 
d) -4 e) 5 
10.- Hallar el resto: 
2x 12x  32x  22  x  5 
2(2x2  4x) 1 
 
a) x + 13 b) 3x + 7 c) 2x + 3 
d) 15 +x e) 0 
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Rectángulo
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Máquina de escribir
f)3-4x
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11.- Señalar el residuo de la siguiente 
División. 
x 1x2  x2 x2  5x  6

x2  2x  4 
a) 9x b) 5x c) 20x 
d) x e) 24x 
 
12.- Calcular el valor de n si la división: 
Deja un residuo igual a 5770 
 
x  4n x 1n x3  27)(x  6(x2  3x  7) 10 
 
x2  3x  6 
a) 13 b) 7 c) 3 
d) 15 +x e) 5 
13.- Hallar el residuo de dividir. 
x  21999  x 11998  7 
(x  2)(x 1) 
a) x + 1 b) 3x + 2 c) 2x - 3 
d) 2x+4 e) NA 
 
16. Al efectuar la división, encontrar el 
termino independiente del resto. 
 
(x  6)9  (x  5)7 19 
(x  6)(x  5) 
a) 3 b) -9 c) 8 d) 7 e) 16 
 
 
SUMATIVO 2011 - III 
17. Al efectuar la división: 
2x9  2x7  4x5  6x4  7x2  32x  10 , el 
x2  2 
resto que se obtiene, es: 
a) 30 b) 29 c) 28 d) 27 e) 26 
 
SUMATIVO 2014 - I 
18. El resto 
x
53x  853  x  44  6 
14.- Encontrar el residuo en la 
Siguiente división. 
x
2 
 8x  1 
a) 230 b) 320 c) 302 
, es : 
x4
5 n 
 x4
3n 
x4
n 
 x4
n 
 2 
1 
d) 203 e) 300 
 
SUMATIVO 2014 - II 
Sabiendo que ”n” pertenece a los 
números naturales. 
a) -1 b) -4 c) -2 
d) 3 e) -1/4 
 
15.Hallar el resto en la siguiente 
división. 
( x  3)5  ( x  4)6 
19. Calcular el resto de dividir: 
x3n  x2n  xn  xn  x2n  x3n 
x
n 
 x
n 
 2 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
 
SUMATIVO 2015-I 
20.-Hallar el resto dela siguiente división. 
x2  7 x  12  2 n  2 2n 
 2n1 2 2n3 
a) x - 1 b) 2x - 4 c) -2 
d) 2x+10 e) x - 1/4 
x  5x  7  x  5x  5  (8x 15) 
x  2 
a) 0 b) 1 c) 2 
 (x  5) 
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Rectángulo
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Máquina de escribir
7
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   
d) 3 e) 4 
SUMATIVO 2015 III 
21. El resto que se obtiene al efectuar 
la división: 
2x6  2x5  3x4  3x3  x2 1  x2  2 
es igual a: 
a) 2x+1 b) 2x-1 c) 1-2x 
d) -2x-1 e) x-2 
 
II SUMATIVO 2016 II 
22. El resto de la división: 
x 1x  2x  4x  6x  8x  9 es: 
x  52  2 
a) 49 b) 65 c) 86 
d) 98 e) 72 
 
II SUMATIVO 2016 III 
23. Determinar el resto de dividir: 
x  4x  5x  6x  7  8 
x2  11x  20 
 
 
II SUMATIVO 2017 I 
25. El resto de la división: 
x 1x  2x  4x  6x  8x  9
x  52  2 
es: 
a) 49 b) 65 c) 86 
d) 98 e) 72 
 
 
II SUMATIVO 2017 II 
26. Encuentre el resto a partir de la 
siguiente división indicada: 
m2  4m  3m2  6m  8m2 11m  30 m2 
m2 11 7m 
a) 7m-6 b) -6 c) 6-m 
d) 7m e) 6 
 
a) 56 b) 68 c) 72 
d) 76 e) 84 
 
 
SUMATIVO 2016 III 
24.Calcular el resto de dividir: 
 
x19  3x 1 
x2  x 1 
 
a) 4 b) -1 c) 4x d) 4x+1 e) 4x-1 
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