ALGEBRA SEM 07 - 2022 II

Vista previa del material en texto

1 
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo 
 
 ALGEBRA 
 Ciclo 2022 - II 
 “COCIENTE NOTABLE” 
 
 
 
 
Son cocientes cuya forma general 
es: 
b a
b a nn


 ; n  z+ 
 
El desarrollo de estos cocientes se 
pueden efectuar directamente sin 
aplicar los criterios generales de la 
división algebraica 
Todo cociente notable debe 
satisfacer los siguientes principios: 
1º El resto de la división debe ser 
igual a cero. 
2º Las bases deben ser iguales 
3º Los exponentes deben ser 
iguales. 
Nota.- CoNo = Cociente Notable 
 
 
 
 
b - a
b -a nn
 
n : Puede ser par o impar; siempre 
será Co no ya que su resto es cero. El 
desarrollo obtenido por la regla de 
Ruffini es: 
1 - n 2 - n 1 - n
nn
b ........... b a a 
b - a
b - a
 
Ejemplo: 
 b - a 
b - a 44 = a3 + a2 b + ab2 + b3 
Segundo caso: 
b a
b a nn


 
n : En este caso debe ser impar 
necesariamente; para que el resto 
sea cero y el cociente sea notable. 
El desarrollo obtenido por la regla de 
Ruffini es 
1 - n 2 - n 1 - n
nn
b -, ........... - b a a 
b a
b a



, 
Ejemplo: 
b a
b a 55


= a4 – a3 b + a2 b2 – ab3 + b4 
Tercer caso: 
b a
b -a nn

 
n : Para este caso debe ser un 
número par necesariamente, lo cual 
nos da un resto cero y por 
consiguiente el cociente es notable. 
El desarrollo obtenido por la regla de 
Ruffini es: 
 
1 - n 2 - n 1 - n
nn
b - ,......... b a a 
b a
b - a


, 
Ejemplo: 
 b a
 b - a 44

= a3 – a2b + ab2 – b3 
 Semana N° 07 
COCIENTES NOTABLES 
CASOS QUE SE PRESENTAN 
Primer caso: 
 DOCENTE: EQUIPO DOCENTE CICLO 2022 - II SEMANA :07 
 
 
2 
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo 
Cuarto caso: 
b - a
b a nn 
 
n : Ya sea par o impar, el resto no 
será cero, por consiguiente este tipo 
de cociente nunca será cociente 
notable. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respecto al CoNo cuya forma 
general es: 
 
b a
b a nn


 
 
 
Se satisfacen las siguientes 
propiedades: 
1º El resto de la división debe 
ser igual a cero. 
2º El número de términos que 
tiene en su desarrollo es igual 
al exponente del dividendo 
del cociente notable. 
3º El desarrollo de un CoNo es un 
polinomio homogéneo cuyo 
grado es igual al exponente 
del dividendo del CoNo menos 
uno. 
4º En el desarrollo de un CoNo los 
exponentes de la primera y 
segunda base varían 
consecuti-vamente en forma 
descendente y ascendente 
desde el mayor exponente, 
hasta el exponente cero. 
5º Respecto a los signos de los 
términos del desarrollo de un 
CoNo, debemos considerar lo 
siguiente: 
i) 

 
 = +, +, + ..... + (n: Par ó Impar) 
ii) 

 
= +, -, +, …....-, + (n: Impar) 
iii) 

 
= +, -, +, ……,+, - (n: par) 
 
 
 
 
En la expansión del Co No: 
 
b a
b a nn


= an-1  an-2b + a n-3b2  ….  bn-1 
 T1 T2 T3 TK Tn 
Vemos que el término de lugar “k” 
adopta la forma matemática: 
 
 TK =  (a)
n – k (b) k – 1 ; 
 1  k  n 
Debemos tener en cuenta que: 
“a” : Primera base del CoNo 
“b”: Segunda base del CoNo 
“n”: Número de términos de CoNo 
“k”: Lugar que ocupa el término 
 que queremos determinar 
Además: 
i) TK, es (+)  k, es impar 
ii) TK, es (-)  k, es par, pero solo para 
CoNo de la forma : 
PROPIEDADES GENERALES 
DE LOS COCIENTES 
NOTABLES 
FORMULA PARA CALCULAR EL 
TÉRMINO DE LUGAR “K” EN 
EL DESARROLLO DE UN CONO 
 DOCENTE: EQUIPO DOCENTE CICLO 2022 - II SEMANA :07 
 
 
3 
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo 

 
 ó 

 
 
iii) TK siempre es positivo para una CoNo 
de la forma 

 - 
 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1. Hallar m si la división: 
21
)6(535




mm
mm
yx
yx
origina un cociente 
notable : 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 9 e) NA 
 
2. Hallar el grado absoluto del 10
mo
 en 
el 
C.N. que se obtiene al dividir: 
37
72168
yx
yx


 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 9 e) 125 
 
3. El número de términos de: 
 
53 yx
yx ba


 es ocho; ¿cuál es el quinto 
 termino.? 
 a) x
10
y
9
 b) x
20
y
3
 c) -x
20
y
9
 
 d) x
20
y
9
 e) x
9
y
20
 
 
4. Hallar el número de términos del 
siguiente cociente notable: 
1....... 2141618  xxxx 
como cociente notable 
 a) 
1
1
3
20


x
x
 b) 
1
1
2
20


x
x
 c) 
1
1
3
21


x
x
 
 d) 
1
1
3
21


x
x
 e) 
1
1
2
20


x
x
 
 
5. Si la división notable: 
1



xx
xx nn
 Origina un cociente 
notable que solo tiene 15 términos 
enteros la suma delos valores de n 
que hacen posible que esto suceda es: 
 
a) -59 b) -9 c) 59 d) 79 e) 61 
 
6. Si la división: mm
mm
yx
yx




1
866
da lugar 
a un cociente notable, determinar el 
valor de “m” e indicar su número de 
términos. 
a) 13 b) 9 c) 17 d) 19 e) 10 
 
7. Hallar el termino central en el 
desarrollo del cociente notable. 
32;;
5292
505105





bNcb
yx
yx
cc
bb
 a) 
a) x
77
y
9
 b) x
67
y
49
 c) –x
77
y
49
 
 d) x
49
y
77
 e) x
77
y
49
 
 
8. Hallar el número de términos del 
siguiente cociente notable: 
................ 15631270  yxyx 
a) 19 b) 16 c) 15 d) 18 e) 17 
 
9. En el desarrollo del siguiente cociente 
notable: 
34
90120




xx
xx
 el número de 
términos fraccionarios que se obtiene 
es: 
 a) 9 b) 13 c) 5 d) 8 e) NA 
 
10. Encontrar el cociente de dividir el 
noveno término entre el décimo 
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Nota rápida
Fórmula para hallar cantidad de números enteros:
Si n=impar
n+1 / 2 
Si n=par
n / 2 
=============================
En el problema no sabemos si n es impar o par, por lo que aplicamos ambos casos:
Cantidad de números enteros=15
Si n=impar
n+1 / 2 =15
n=29
Si n=par
n / 2 =15
n=30
Por último, nos piden la suma de los posibles valores de n.. 
Entonces: 29 + 30 = 59
M. Loyola
Rectángulo
M. Loyola
Máquina de escribir
4 y 8
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Nota rápida
Exponente de "x" 
= (120 - 4a) + [-90 + (31 - a)] 
Siendo "a" los números del 1 hasta n.. osea de 1 a 30.
Para hallar los términos enteros, poner la ecuación " (120 - 4a) + [-90 + (31 - a)] > 0 "
123 > 7a
17,...> a
a={1,2....17}
Esos son los valores que puede tomar "a" para que los términos sean enteros.
===================
Entonces, para que los términos no sean enteros: n - a(máx) = 30 - 17 = 13
Hay 13 números que serán fraccionarios.
 DOCENTE: EQUIPO DOCENTE CICLO 2022 - II SEMANA :07 
 
 
4 
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo 
tercero del siguiente desarrollo. 
6523
901255075




nmyx
nmyx
 señalar la suma 
de exponente. 
 a) 45 b) 68 c) 63 d) 67 e) 64 
 
11. Hallar el número de términos que 
tendrá el siguiente producto. 
)1...)(1.....( 222324222324  nnnnnnnn xxxxxxxxP 
 a) 29 b) 20 c) 23 d) 25 e) NA 
 
12. calcular el término de lugar 16 en el 
siguiente cociente notable: 
31
2
21
34


x
xx 
a) x-4 b) x-3 c) x-2d) x+4 e) x-8 
 
EXAMEN ORDINARIO 2016-II 
13. Si el termino x
56
y
708
 ocupa el lugar 60 
en el desarrollo del cociente notable 
d
: ba
ba
yx
yx
42
296148


entonces el grado 
del término que ocupa el lugar 21 es 
igual: 
 a) 425 b) 436 c) 432 
 d) 452 e) 464 
 
14. Si el término “k” contando a partir del 
extremo final del desarrollo del 
cociente notable: 25
60150
yx
yx


 tiene 
como grado absoluto 91. Calcular el 
grado absoluto del 2kT contando a 
partir del primero. 
a) 114 b) 118 c) 116 d) 106 e) 126 
 
15. Sabiendo que e siguiente cociente 
notable: 72 yx
yx pm


 admite ser 
desarrollado como término central a 
70yx a . Evaluar 203  mpJ 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
16. Calcular el mínimo valor de “k” de 
manera que en el cociente notable: 
;
1
ba
ba
m
mm mm



 para (m = impar) el 
grado absoluto del término que ocupa 
el lugar “k” exceda en (4m-4) al 
grado absoluto del término que ocupa 
el lugar “k” contando desde la 
derecha. 
a) 9 b) 10 c) 12 d) 11 e) 13 
 
 
17. ¿Qué relación debe cumplir nk  
para que la expresión sea un cociente 
notable? 
 
22
33
nkkn
knnkknnk
yxy
yyx




 
 a) k/n =1 b) k/n = 2 c) kn=1 d) kn=2 e) 0 
 
18. Si un término del cociente notable 
que resulta de dividir: 
23 



mm
nmm
yyx
yx
 es x12 . Hallar el 
valor de (m+n) 
a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55 
 
19. Si: 
20 18 2 11
10 9 8
... 1 1
( )
... 1 1
x x x x
E x
x x x x x
    
 
     
Hallar: E (-1/3). 
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Rectángulo
M. Loyola
Máquina de escribir
150
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Rectángulo
M. Loyola
Lápiz
M. Loyola
Rectángulo
M. Loyola
Máquina de escribir
32
M. Loyola
Resaltar
 DOCENTE: EQUIPO DOCENTE CICLO 2022 - II SEMANA :07 
 
 
5 
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo 
 a) -1/9 b) -1/3 c) 1 d) 3 e) 9 
 
20. Simplificar: 
 
78 76 74 2
40
38 36 34 2
... 1
... 1
x x x x
E x
x x x x
    
 
    
 
 a) 0 b) 1 c) 
36x c) 
41x e) 42x 
 
21. Calcular el residuo de la división: 
1997
11998 1997 
 
 a) 1 b) 0 c) 1996 d) - 1 e) N.A. 
 
22. Hallar  +  en el cociente notable: 
 
43 yx
yx

 
 Si: 2812
7
96
yx
t
t.t
 
 a) 20 b) 84 c) 48 d) 36 e) N.A. 
 
23. El cociente de: 
x
1
x
xx 168

 
 
 Al ser expresado en forma de un cociente 
notable tiene en su desarrollo un término 
que no contiene a x. ¿Cuál es su posición? 
 a) to6 b) to5 c) avo16 d) ero3 e) N.A. 
 
 
24. Simplificar: 
)xx1.(
x...xxx1
x...xxx1 np2np
p)1n(p3p2p
p)1n2(p3p2p





 
 a) 
np3
x - 1 b) 
np3
x + 1 c) 1x
p2
 
 d) 1x
p
 e) 1 
 
25. ¿ Qué lugar ocupa en el desarrollo del 
cociente notable: 74
280160
yx
yx


 el 
término que tiene 252 como grado 
absoluto. 
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 
 
26. El término 21t en el siguiente 
cociente notable: es
a
aa
,
11
2
20
2


 
a) a-2 b) a-1 c) a
2
-1 d) a
2
+3 e) a
2
-5 
 
27. El grado absoluto del décimo primer 
término en el cociente que se obtiene 
al dividir: es
yx
yx
n
nn
52
1523




 
a) 25 b) 28 c) 30 d) 32 e) 34 
 
28. Los términos 
22252615 xaxa  
pertenecen a un cociente notable; el 
segundo está a dos lugares del 
primero. El término central en dicho 
cociente notable, es: 
a) 1640 xa b) 2420 xa c) 2820 xa 
d) 2050 xa e) 3050 xa 
 
29. Si la división: 
 
21
6535




nn
nn
yx
yx
 es un 
cociente notable, entonces el valor de 
“n” es: 
 a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 10 
 
30.- Si 
28px y ; 16 2( 6)px y  son términos 
equidistantes de los extremos en el 
cociente notable de 
4 7
m nx y
x y


, calcular 
“m + n + p” 
 a) 225 b) 235 c) 245 
 d) 257 e) 322 
 
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Rectángulo
M. Loyola
Máquina de escribir
76
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Resaltar
M. Loyola
Máquina de escribir
m=20
n=35
p=?
M. Loyola
Resaltar