ALGEBRA SEM 08 - 2022 II

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Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo 
 
 ALGEBRA 
Ciclo 2022-II 
 “FACTORIZACIÓN” 
 
Semana Nº 08 
FACTORIZACIÓN 
Es aquel proceso que consiste en transformar una 
expresión algebraica entera (polinomio) en un 
producto de factores primos. 
Lo mencionado, podemos resumirlo en el siguiente 
esquema: 
x2 + 7x + 10 = (x+2) (x+5) 
 
FACTOR PRIMO O IRREDUCTIBLE. Es aquel facto 
algebraico que sólo tiene dos divisores: el mismo y 
la unidad. Por lo tanto, un factor primo ya no se 
puede descomponer en el producto de otros dos 
factores. 
 
Ejemplo: 
x; x + 6; x2 + y2 + 3 ….. Factores primos 
(x2 – 16) ……………… No es un factor primo 
debido a que se puede transformar en un producto 
(x+4)(x-4). 
 
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN. 
I. Factor común Monomio. 
Se saca el coeficiente común con las letras 
comunes elevadas al menor exponente con que 
aparecen en la expresión dada, luego se divide cada 
uno de los términos de la expresión dada entre el 
factor común monomio y los resultados se escriben 
dentro del signo de agrupación: 
Ejemplo: 
* ab + ac = a (b+c) Factor común 
* a5b2 + a3b6 = a3b2 (a2 + b4) Factor común 
* -ab – ac = -a (b+c) Factor común 
* 3m2n – 6mn3 = 3mn (m-2n)2Factor común 
II. Factor Común Polinomio. 
* a(x-1) + b(x-1) = (x-1) (a+b) 
Factor común polinomio 
* a(x-y) + b(y-x) = a(x-y) – b(x-y) = (x-y)(a-b) 
Factor común polinomio 
* x(m+n+8) + y(m+n-8) = (m+n-8)(x+y) 
Factor común polinomio 
MÉTODO DE LAS IDENTIDADES. 
Se le denomina así porque existen expresiones 
algebraicas que para poder factorizarlas es 
necesario aplicar las siguientes identidades 
algebraicas: 
A. Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.). 
* a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 
* a2 - 2ab + b2 = (a-b)2 
B. Diferencia de Cuadrados. 
* a2 – b2 = (a+b)(a-b) 
C. Suma y Diferencia de Cubos. 
* a3 + b3 = (a+b) (a2 – ab + b2) 
* a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2) 
Ejemplo 1. 
Factorizar: E = x2 + y2 + x(y+z) + y(x+z) 
Resolución: 
Efectuando los productos indicados, se obtiene: 
E = x2 + y2 + xy+xz + yx+yz 
E = x2 + 2xy + y2 + xz + yz = (x+y)2 + z(x+y) 
Sacamos factor común: (x+y): 
(x + y) (x + y + z) 
Ejemplo 2. 
Factorizar: R = 2x3 + 7x2 – 18x – 63 
Resolución: 
Agrupación de términos de la siguiente manera: 
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x 
R = (2x3 – 18x) + (7x2 – 63) 
R =2x(x2 – 9) + 7(x2 – 9) 
Sacamos factor común polinomio: (x2 – 9) 
R = (x2 – 9) (2x + 7) = (x+3) (x-3) (2x-7) 
MÉTODO DEL ASPA SIMPLE. 
Este método se aplica a los trinomios cuadráticos 
que toman las formas siguientes: 
* ax2n + bxn + c ó ax2n + bxnyq + cy2q 
Donde: a; b y c  Z y n; q  N. 
Regla: 
* Luego de ordenar el trinomio cuadrático, se 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1. .- Al factoriza: 
E = m3 + m2 + m2 n + mp + m2 p + mn 
Indique la cantidad de factores primos 
 
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 
2. Indique la cantidad de factores primos: 
T  a
6  64b6 
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0 
descompone cada uno de loe términos extremos 
en un producto de dos factores. 
3. Factorizar: Nx   x
6 19 x3  216 
* Estos factores se multiplican en aspa y se debe 
cumplir que, la suma de los productos que se 
obtengan, sea igual al término central. 
* De cumplirse lo anterior los factores del trinomio 
dado vienen a ser la suma horizontal de los 
factores encontrados. 
Ejemplo 1. 
Factorizar: 6x2 + x – 15 
Resolución: 
6x2 + x – 15 
3x + 5  +10x 
2x - 3  -9x 
x 
6x2 + x – 15 = (3x + 5) (2x - 3) 
Ejemplo 2.Factorizar: 4x4 101x2 + 25 
Resolución: 
4x4 101x2 + 25 
4x2 -1  -x2 
x2 - 25  -100x2 
-101x2 
4x4 101x2 + 25= (2x+1) (2x-1) (x+5)(x-5) 
Indica la suma delos factores primos 
lineales. 
a) 2x +1 b) 2x -1 c) 2x +5 d)1 e)2x 
 
4. Factorizar: 
¿Cuántos factores cuadráticos tiene el 
binomio. P(x)= x8 – 1? 
a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 0 
 
5. Factoriza : 
P(x;y) = 64x7y7 – xy13, luego indica el 
número de factores primos. 
a) 12 b) 5 c) 3 d) 6 e) 7 
 
6. Luego de factorizar, indicar la suma de 
sus factores primos lineales. 
Px  x2  x 1(x2  x 1)  7x2  385 
a) 2x b) 4x c) 2x+1 d) x e) -x 
 
7. Luego de factorizar 
Px  x 1x  2x  3x  4 24 . 
La suma de los factores de primer grado 
es: 
a) x+4 b) 2x-3 c) 2x-1 d) x-4 e) 2x+3 
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x, y, z 
8. Indicar un factor primo de: 
Px  a2  2abx2  ba  4bx  b  aa  2b
a) ax+a-2b b) 2ax+a-b c) ax-2b 
d) ax-2b-a e) ax-b+2 
 
 
9. Factorizar: 
(x+y)(y+z)+ (x+z)(y+z) +(x+y)(x+z) –x2-yz, 
Y dar la suma delos coeficientes de sus 
 
a) 2m b) m+n c) n d) m-n e) n-m 
 
15. Cuántos factores primos presenta 
Pa; b; c  a 3  b3  c3 3  a 9  b9  c9 
a) 5 b) 9 c) 4 d) 7 e) 6 
 
16. Cuantos factores presenta la expresión 
Px  x 12x 13x 1 x 12  x(x 1) 
factores. 
 
a) 6 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 
 
10. Señalar un factor primo, al factorizar: 
F (x; y)  x3 y  x2 y2  x2  xy 
a) 1 b) 2 c) 3 d) e) 5 
 
17. Un factor del polinomio: 
Rx  m2  n 2 x 2  1 2m2  n 2 x 
Calcule f(1) 
 
 
 
 
es f(x) 
 
a) y b) xy - 1 c) x2 d) x - y e) xy a) 2n b) m-2n c) m+n 
d) m+2n e) m-n 
11. Indicar un término que no es factor del 
polinomio. 
 
Px  x9  5x7  3x6  4x5 15x4  20 x3 12 x2  60 
a) x2-5 b) x3-3 c) x3-2 d) x2-2 e) x2+2 
 
12. Factorizar: 
F (x; y)  x3 y  2x2 y2  xy3  x2  2xy  y2 
El factor primo de primer grado es: 
 
a) -xy + 1 b)xy – 1 c) (x  y)2 d) x +1 e) 1+xy 
13. Factorizar: a 3  b3  c3 3  a 3  b3  c3 
indicando el número de factores primos. 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
14. Halle la suma de los términos 
independientes de los factores primos de: 
Px; y  m2  n 2  x 2  y2  2mx  ny

18. ¿Cuántos factores presenta la expresión? 
pw; x; y; z  w  z4  2x2  y2 w  z2  x2  y2 2 
a) 12 b) 8 c) 4 d) 20 e) 16 
 
19. Indique la suma de los factores primos 
tiene el polinomio: 
Px  x4  2x3  2x 1 
a) 3x b) 5x c) 6x d) 4x e) 2x 
 
20. Factorice el polinomio: 
P   x  y  zx  y  z1
2 
 4x  y2 
e indicar la cantidad de factores primos. 
a) 3 b) 5 c) 6 d) 4 e) 2 
21. Indicar cual no es un factor del polinomio: 
P(a;b)  a5  a3b2  27a2  27b2 
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a:b 
 
a) a-b 
b) a+3 
c) a2+3a +9 
d) a+b 
e) a2-3a +9 
 
22. Factorice e indicar la suma de 
coeficientes de uno de sus factores primos 
a) 2 b) -2 c) 6 d) 7 e) 8 
 
27. Calcular la suma de los factores primos de: 
Px  x  3x  2x 1 x  2x 1 x 1 
a) 2x+4 b) 2x-4 c) 2x-1 
d) 3x+1 e) 3x-2 
 
28. Factorizar: 
Px  x 1x  2x  2x  3 3 , e 
P   a  b
2 
 a  b2  3a  b 4ab  35 
a) 12 b) 11 c) 13 d) 14 e) 10 
 
23. Halle un término de un factor primo de: 
a  ba  c b  d c  d 
a) -b b) ab c) -c d) bc e) a 
 
24. Luego de factorizar el polinomio; P(X) en 
los racionales por el criterio del aspa 
simple se obtuvo: 
P(x) =8x2 + bx2 – ( 2 + d) 
Cx2
 
1 
4x2
 
1 
Determinar uno de los factores primos. 
a) 4x2 –x +3 b) x2 + 2 c) 4x2 + x +1 
d) 2x2 + 3 e) 2x2 + 1 
 
25. En el polinomio 
Pa;b  a3b  a 2b  a3  a 2 , calcule la 
suma entre el número de factores 
algebraicos y el número de factores 
primos. 
a) 14 b) 15 c) 10 d) 7 e) 13 
 
26. Al Factorizar Px  x7  27x 4  x3  27, se 
obtienen “m” factores de primer grado y 
“n” factores de segundo grado. Hallar 
“m+n”. 
indicar la suma de los términos 
independiente de los factores primos. 
a) -8 b) -2 c) 8 d) -4 e) 5 
 
29. Señaleun factor primo del polinomio 
Px; y; z  ax 2  by2  cz2  dxy  exz  fyz 
si los coeficientes a, b, c, d, e, f en ese 
orden son números enteros consecutivos 
cuya suma es 27. 
a) 2x-3y+4z b) x+y+z c) x+2y+3z 
d) x-2y+z e) 2x+4y+3z 
 
30. Si P es un polinomio factorizable definido 
por: 
Px; y; z  x 2  x  y2  y  z2  z  2yz , 
entonces un factor primo es: 
a) x-y+z b) x-y+z+1 c) x-y-z d) x-y-z+1 e) x+y+z 
 
31. Factorizar: 
Px  xx  cx  2cx  3c 24c4 , 
entonces un factor primo es: 
a) x2+c2 b) x2+3cx+6c2 c) x+c 
d) x-2c e) x-3c 
 
32. Señale uno de los factores primos de: 
P(x;y)  x2 (x  y)2 14xy2 (x  y)  24y4 
 
a) x - 4 y2 b) x – y c) x + 3y 
 
d) x + 2y e) 2x+3y. 
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