ALGEBRA SEM 12 - 2022 II

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Centro Preuniversitario de la UNS S-12 Ingreso Directo 
 

3x  y   14 
 ÁLGEBRA 
 CICLO 2022-II 
 
RELACIONES BINARIAS Semana N° 12 
 
RELACIONES BINARIAS 
 
1. DEFINICIONES PREVIAS. 
1.1. Par Ordenado. Llamaremos “par 
ordenado” de números reales a la 
expresión (a,b) donde: 
 
(a , b) 
Primera componente⮥ ⮥ 
segunda componente 
 
* Propiedades del Par Ordenado. 
- Si (a,b) = (c,d)  a = c  b = d 
- Si (a,b)  (c,d)  a  c  b  d 
Ejemplo: 
Encontrar el valor de x  y, sabiendo 
que: (2, 3x-y) = (x + y, -14) 
Resolución: 
Por condición: (2, 3x-y) = (x + y, -14) 
 2 = x + y  3x – y = -14 
segunda componente le pertenece al 
conjunto B, es decir: 
 
A x B = {(a,b) / a  A  b  B} 
 
* Propiedades del Producto Cartesiano. 
- El producto cartesiano de A por B no 
es conmutativa: A x B  B x A. 
- n(A x B) = n(A)  n(B). 
 
2. RELACIONES. 
2.1. Relaciones Binarias. Dado dos 
conjuntos no vacíos “A” y “B” se 
denomina relación binaria de A en B, a 
todo subconjunto R del producto 
cartesiano A x B, es decir: 
R es una relación de A en B  R  AxB 
Si R es una relación de A en B, se 
 
 x  y  2 

....... (I ) 
....... (II ) 
denota así: 
R: A  B ó A  B 
 4x = -12  x = -3 
Reemplazando: 
x = -3 en (I): 
-3 + y = 2  y = 5 
 
1.2.Producto Cartesiano. Dados dos 
conjuntos no vacíos “A” y “B” se 
define el producto cartesiano de A 
por B denotado 
así: A x B, como el conjunto de pares 
ordenados cuya primera componente 
le pertenece al primer conjunto A y la 
Donde el conjunto A se denomina 
conjunto de partida y al conjunto B 
conjunto de llegada. 
 
2.2. Dominio y Rango de una Relación. 
 
- Dominio de R. Es el conjunto que 
tiene por elemento a todas las 
primeras componentes de los pares 
ordenados pertenecientes a la 
relación, es decir: 
Dom (R) = {a / (a,b) R} 
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- Rango de R. Es el conjunto que 4. Se tiene A  3;4;5;6;7;8;9 y la relación 
tiene por elementos a todas las 
segundas componentes de los pares 
ordenados pertenecientes a la 
relación, es decir: 
Ran (R) = {b / (a,b) R} 
 
Ejemplo: 
Halle el dominio y el rango de la 
Relación: 
R: A  B, definida por: 
R = {(x,y) / x R  y R  x  y}, donde: 
A = {1,2} y B = {-1,1,4} 
Resolución: 
Hallemos: 
A x B = 
{(1,-1),(1,1)(1,4),(2,-1)(2,1),(2,4)} 
La relación R = {(1,1),(1,4),(2,4)} 
Dom (R) = {1,2}  Ran (R) = {1,4} 
R  AxA definida por x es divisor de y. 
Calcula n(R). 
a) 4 b) 36 c) 10 d) 8 e) 20 
 
5. Calcular la suma de los elementos del 
rango de R. 
R  a; b NxN /1  a  b  6
a) 19 b) 14 c) 13 d) 12 e) 15 
 
6. Si M  3;5;7;16 calcula a  m ,siendo 
R una relación de M en M. 
R  a;2a  1, 3m  1; m
a) 12 b) 14 c) 21 d) 8 e) 18 
 
7. Sea R  a  1; a  1 ZxZ / a 2  50. 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
1. Si R  x; y/ x  y  x 2  1 y su 
dominio es 0;1;1¿Cuál es la suma de 
los elementos del rango? 
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 9 
Calcula la cantidad de elementos de R que 
tienen como suma de sus coordenadas a 
un número mayor que 8. 
a) 3 b) 2 c) 1 d) 9 e) 5 
 
8. Si A  2x  1/ x  N ;5  x  8
R  A2 tal que R  a; b/ a  b
2. Si: A  5;6;7;8, B  17;18;19;20;21;22 nDom R nRan R
y además R  AxB, tal que calcula 
R  (a; b) / 3a  1  b,indica nR
a) 4 b) 2 c) 1 d) 3 e) 5 
 
3. Sean A  8;10;12;14;16, B  3;5;7;11
a) 6 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3 
 
9. Sea: A  2x  1 N / 3  x  4
B  3x  1 Z /11  2x  3  16
y R  AxB tal que 
R  (a; b) / a  2b  2. Calcular la suma 
de los elementos del dominio de R. 
a) 38 b) 36 c) 32 d) 30 e) 40 
¿Cuántos elementos tiene el producto 
cartesiano AxB ? 
a) 90 b) 80 c) 60 d) 50 e) 70 
M. Loyola
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 
10. Se da el conjunto A  1;2;3;4  º 
Q  b  N / b  2  8 y 
y las relaciones:  
M  x; y A2 / x  y a, b PxQ / a  b es par 
N  x; y A2 / x  y  4 La suma R   menor que 30 
de los elementos del dominio de M  N Calcular nR 
es: 
a) 6 b) 10 c) 4 d) 5 e) 3 
a) 2 b) 10 c) 8 d) 7 e) 9 
 
15. Si: 
11. Si: M  2;4;6;8;10 y A  a  Z / 0  a  7
N  1;3;5;7;9 R  MxN tal que B  b  N / 2  b  6
R  a; b/ b  a  3 encontrar la R  a; b AxB /1  a  b  5
suma de los elementos del rango de R. 
a) 21 b) 9 c) 15 d) 19 e) 10 
 
12. Si: 
Halla el número de elementos de R. 
a) 4 b) 7 c) 8 d) 5 e) 6 
 
16. Sean:  
81 
64 
; x  1
 
  
y  P  p  N / p es impar 
   9 ; y 
    Q  q  N / q es par mayor que cero
entonces el valor de x  y es: 
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 
R   p; q PxQ / p  q primo  10
Calcular n(R) 
13. Si: A  a  Z / 2  a  7
a) 4 b) 2 c) 8 d) 5 e) 6 
B  b  N / 3  b  10
R  a; b AxB / 3  a  b  7 hallar 
17. Sea S una relación definida 
en: T  2;1;0 tal que: 
la suma de los elementos del rango de R. 
a) 20 b) 19 c) 18 d) 15 e) 9 
 
14. Sean: 
 º 
S  x; y T 2 / y 2  1  x 2  1
Hallar: Dom(S ) 
a) {0} b) {0;1;2} c) {0;1} 
d) {1;2 } e) {2} 
P  a  N / a  5  15
 
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x 
1  
 
18. Dado el conjunto: SUMATIVO 2015 III 
 4 x  3   22. Dada la siguiente relación 
A  

  Z / x 
5 
5;10  Se define 

R  x; y R2 /2  y2  9  x2 
DomR Rang R
. Hallar: 
una relación R de A en A tal que: a) 0, 2 b) 1,5 c) 0,3 d)  1,3 e) 2,5
R  

a; b A2 / a  b  
º 
 Hallar 
 6
 
Dom(R). 
a) {4;5;6} b) {4;5;7} c) {5;6;7} 
d) {4;5;6;7} e) {4;5} 
 
23. En R definimos la relación: 
R  x, y R2 / 4x2  9 y2  36 . Halle la 
intersección del dominio con el rango de 
esta relación real. 
19. Se define las siguientes a)  2,2 b)  2,2 c) 3,3
relaciones 
R  a; b/ 1  b  a  5; a; b  Z
d)  3,3 e)  1,2
S  a; b/ 3  a  1  b  7; a; b  N 24. Sea la relación: 
Calcular n(T), sabiendo que: T  RS 
a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 6 R  

x; y  R 2 

x  32 
/ 
9 
y  22 
1
4 

SUMATIVO 2012 II 
20. Dada la relación 
H  x, y  N 2 / y  6  x Afirmamos: 
. Indicar su rango. 
a)  4,0 b) 0,6
d)  4,4 e) 

c)  1,2
1. nH   7 
2. DomH   Rang H  
3. La suma de los elementos del 
DomH   20 
 
III EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2020-I 
25. Hallar el rango de la siguiente 
relación 
a) Sólo 1 b) Sólo 2 c) 1 y 2 
d) 1 y 3 e) Todas W  

x, y  R 2 / 
x
 
 4 
y 
2 
1
9 
III SUMATIVO 2013 II 
21. Calcular el área de la región 
determinada en el plano cartesiano por A 
 B si: 
A = {( 2 –1)  R / 4  x 25} 
B = {2/3(x – 1)  R / 19  x  –4x  0} 
a) 62 2 b) 70 2 c) 75 2 
d) 76 2 e) 82 2 
a)  3,3
d)  2,2
b)  3,3 
e)  3,2
c)  2,2 

2 

M. Loyola
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