Adicional de Funciones Trigonométricas_1

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Problema adicional de funciones trigonométricas 
Sea la función trigonométrica 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) 
a) Hallá analíticamente el conjunto de ceros. 
b) Graficá la función, indicando intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos, 
mínimos. Conjunto de positividad y negatividad. 
c) Definí la función 𝑓(𝑥) para que resulte biyectiva. 
Resolución: 
Para hallar analíticamente el conjunto de ceros, debemos plantear y resolver la 
ecuación 𝑓(𝑥) = 0. Veamos primero para qué valores de 𝑥 ∈ [0; 2𝜋) la igualdad se 
cumple: 
 𝑓(𝑥) = 0 
 3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) = 0 
 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) = 0 ∶ 3 
 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) = 0 
La igualdad anterior se cumplirá cuando el argumento del seno sea igual a cero o a 𝜋. 
Para obtener todas las soluciones reales debemos sumar, en cada uno de los casos, 2𝑘𝜋 
con 𝑘 ∈ ℤ. Es decir, las soluciones de la ecuación anterior serán las soluciones de las 
siguientes dos ecuaciones: 
𝑥 +
𝜋
2
= 0 + 2𝑘𝜋 𝑦 𝑥 +
𝜋
2
= 𝜋 + 2𝑘𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
Resolvamos la primera ecuación: 𝑥 + 𝜋
2
= 0 + 2𝑘𝜋 
 𝑥 = −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 
Como 𝑘 puede tomar valores enteros, entonces las soluciones que se obtienen son: 
𝑆1 = {… ; −
5
2
𝜋; −
1
2
𝜋; 
3
2
𝜋; 
7
2
𝜋; … } 
De manera general: 𝑆1 = {−
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋; 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} 
Ahora resolvamos la otra ecuación: 𝑥 + 𝜋
2
= 𝜋 + 2𝑘𝜋 
 𝑥 = 𝜋 −
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 
 𝑥 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 
Nuevamente, como 𝑘 puede tomar valores enteros, entonces las soluciones que se 
obtienen son: 
𝑆2 = {… ; −
7
2
𝜋; −
3
2
𝜋; 
1
2
𝜋; 
5
2
𝜋; … } 
De manera general: 𝑆2 = {
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋; 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} 
De la unión de ambos conjuntos solución obtenemos: 
𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 = {… ; −
7
2
𝜋; −
5
2
𝜋; −
3
2
𝜋; −
1
2
𝜋; 
1
2
𝜋; 
3
2
𝜋; 
5
2
𝜋; 
7
2
𝜋; … } 
Podemos notar que la diferencia entre valores consecutivos del conjunto solución es 𝜋, 
por lo que se puede escribir el conjunto solución de forma general: 
𝑆 = {
𝜋
2
+ 𝑘𝜋; 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} 
Luego, el conjunto de ceros de 𝑓 es: 
𝐶0 = {
𝜋
2
+ 𝑘𝜋; 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} 
Viendo la fórmula de la función podemos establecer que su amplitud es 3 (que es el 
módulo del número que está multiplicando al 𝑠𝑒𝑛𝑜) y que no tiene desplazamientos 
verticales. Marquemos en un gráfico las raíces y determinemos su amplitud: 
 
Dada la forma que tiene el gráfico de una función seno, y sabiendo que pasa por las 
raíces y que se conoce su amplitud, un posible gráfico de la función 𝑓 es: 
 
Otro posible gráfico que cumple con las condiciones, es el siguiente: 
 
Notemos que no puede haber más alternativas para el gráfico de 𝑓. Para poder 
determinar cuál de los dos posibles gráfico es el que corresponde a la función 𝑓, 
calculamos su ordenada al origen. Si esta es positiva, entonces el gráfico 
correspondiente será el primero (verde). En cambio, si es negativa, el gráfico de la 
función será el segundo (azul). Calculemos la ordenada al origen, es decir 𝑓(0): 
𝑓(0) = 3𝑠𝑒𝑛 (0 +
𝜋
2
) 
 𝑓(0) = 3𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) 
 𝑓(0) = 3.1 
 𝑓(0) = 3 
Dado que la ordenada al origen es positiva, esto quiere decir que el punto (0; 3) ∈ 𝑓(𝑥), 
entonces el gráfico correspondiente a 𝑓 es el primero (verde). 
Calculemos los extremos de la función. Para ello marquemos en el gráfico los puntos 
máximos y mínimos de 𝑓. 
 
Calculemos el periodo de la función. Como el número que está multiplicando a la 𝑥 
dentro del argumento es el 1, entonces el periodo es: 
𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 =
2𝜋
1
= 2𝜋 
Dado que un punto máximo es el (0, 3), y como el periodo es 2𝜋, entonces el conjunto 
de puntos máximos será: 
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠 = {… ; (−4𝜋, 3); (−2𝜋, 3); (0, 3); (2𝜋, 3); (4𝜋, 3); … } 
En general: 
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠 = {(2𝑘𝜋, 3) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} 
Ahora analicemos los puntos mínimos. Observemos que un punto mínimo es (𝜋, −3). El 
valor de la coordenada 𝑥 es el valor medio entre las raíces 
1
2
𝜋 y 
3
2
𝜋: 
𝑥 =
1
2 𝜋 + 
3
2 𝜋 
2
= 𝜋 
Nuevamente, como el periodo es de 2𝜋, los puntos mínimos serán: 
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 = {… ; (−5𝜋, −3); (−3𝜋, − 3); (−𝜋, −3); (𝜋, −3); (3𝜋, −3); … } 
En general: 
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 = {(𝜋 + 2𝑘𝜋, −3) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} 
Para hallar el intervalo de crecimiento, primero determinamos en el gráfico un 
intervalo donde la función es creciente y, dado que se conoce su periodo, vamos a poder 
hallar todos los intervalos donde la función es creciente. 
Se puede observar que en el intervalo (𝜋, 2𝜋) la función 𝑓 crece. Entonces el conjunto 
de crecimiento de la función es: 
𝐼↑ = (𝜋 + 2𝑘𝜋 ; 2𝜋 + 2𝑘𝜋) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
Del mismo modo calculamos el conjunto de decrecimiento. Se puede observar que en el 
intervalo (0, 𝜋) la función 𝑓 decrece. Luego el conjunto de decrecimiento de la función 
es: 
𝐼↓ = (2𝑘𝜋 ; 𝜋 + 2𝑘𝜋) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
Cabe aclarar que, tanto el intervalo de crecimiento y de decrecimiento, no se conforman 
como una unión de intervalos. 
Análogamente que lo hecho en los intervalos anteriores, vamos a hallar los conjuntos 
de positividad y de negatividad de 𝑓. 
Primero hallemos el conjunto de positividad. Se puede observar en el gráfico que el 
intervalo (−
1
2
𝜋,
1
2
𝜋) la función se encuentra por encima del eje 𝑥. Entonces el conjunto 
de positividad de la función es: 
𝐶+ = (−
1
2
𝜋 + 2𝑘𝜋 ; 
1
2
𝜋 + 2𝑘𝜋) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
Del mismo modo calculamos el conjunto de negatividad. Se puede observar que un 
intervalo donde el gráfico se encuentra por debajo del eje 𝑥 es el intervalo (
1
2
𝜋,
3
2
𝜋). 
Luego el conjunto de negatividad de la función es: 
𝐶− = (
1
2
𝜋 + 2𝑘𝜋 ; 
3
2
𝜋 + 2𝑘𝜋) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ 
A diferencia de los intervalos de monotonía, los conjuntos de positividad y de 
negatividad sí se conforma como una unión de intervalos. 
Ahora definamos la función 𝑓 de modo que resulte biyectiva. Primero restrinjamos el 
dominio natural de la función para que resulte inyectiva. Para ello notemos que para 
todo valor de 𝑥1, 𝑥2 ∈ [0; 𝜋] con 𝑥1 ≠ 𝑥2, se tiene que 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). Por lo tanto, en 
ese intervalo la función es inyectiva. 
Para que resulte sobreyectiva tenemos que calcular su imagen y definir el codominio 
en consecuencia. Podemos observar que 𝑓, con un dominio [0; 𝜋], tiene como imagen 
los valores pertenecientes al intervalo [−3; 3]. Luego la función 𝑓 podemos definirla de 
la siguiente manera para que resulte biyectiva: 
𝑓 | [0; 𝜋]: [0; 𝜋] → [−3; 3] / 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) 
Veamos si se puede definir a 𝑓 de una manera distinta a la anterior, para que también 
resulté biyectiva. Para ello busquemos otro dominio y codominio. Primero restrinjamos 
el dominio natural de la función para que resulte inyectiva. Notemos que para todo 
valor de 𝑥1, 𝑥2 ∈ [0; 
1
2
𝜋] con 𝑥1 ≠ 𝑥2, se tiene que 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). Por lo tanto, en ese 
intervalo la función también resulta inyectiva. 
Para que resulte sobreyectiva tenemos que calcular su imagen y definir el codominio 
en consecuencia. Podemos observar que 𝑓, con un dominio [0; 
1
2
𝜋] tiene como imagen 
los valores pertenecientes al intervalo [0; 3]. Luego la función 𝑓 podemos definirla de la 
siguiente manera para que resulte biyectiva: 
𝑓 |
 
[0; 
1
2
𝜋]
: [0; 
1
2
𝜋] → [0; 3] / 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥 +
𝜋
2
) 
Observemos que, en este caso, no existe una única forma de definir la función para que 
resulte biyectiva. Te proponemos que encuentres otra definición de la función, distinta 
de las dos anteriores, de modo que también resulte biyectiva.