final 19-12

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Introducción al Cálculo
Licenciatura en Biotecnología
Examen Final
19/12/2019
Plan nuevo Plan viejo
Nombre y apellido:.............................................................................. D.N.I. ........................................
Para aprobar el examen final es necesario tener cinco ítems bien resueltos. Los estudiantes del plan
nuevo deben tener bien resueltos, entre ellos, al menos un ítem del Problema 6 y al menos un ítem del Pro-
blema 7. Todas las respuestas deben estar justificadas. Los cálculos deben ir acompañados de explicaciones
escritas que aclaren su significado. Un resultado suelto, no acompañado de explicación, aún siendo correcto,
se considerará como problema no resuelto y no será considerado.
Problema 1. Dos móviles se desplazan sobre una misma ruta. La posición (en kilómetros) del primer móvil
en función del tiempo (en horas) sigue la siguiente ley:
m1 :
[
0, 3
]
→ R, m1(t) = 20(t+ 1)2
El segundo móvil, se mueve a velocidad constante. Se sabe que parte del kilómetro 100 y a las 2 horas se
encuentra en el kilómetro 300. Finaliza su recorrido en el kilómetro 800.
a) El primer móvil, ¿se mueve con velocidad constante? Justificá la respuesta.
b) Da la ley que rige el movimiento del segundo móvil.
c) ¿Se encuentran ambos móviles? En caso afirmativo, da la posición y el instante.
d) ¿Qué distancia recorrió cada móvil?
Problema 2.
a) Considerá el esquema de la Figura 1. Sea R1 la recta que pasa
por los puntos (0, 2) y (6,−2). Hallá la ecuación de la recta R2
sabiendo que es perpendicular a R1 y que la longitud de la base
del triángulo coloreado paralela al eje x es igual a 6
b) Dadas las rectas:
R1 de ecuación y = 13x+ 1
R2 que pasa por los puntos
(
0, 143
)
y
(
3, 2
)
.
Calculá el área encerrada por las rectas R1, R2 y la recta x = −3.
Figura 1
Problema 3.
a) Da, si es posible, la fórmula de una función polinómica f que cumpla simultáneamente las siguientes
condiciones:
Su grado es 3.
Sus únicas raíces son las soluciones de la ecuación 2x2 − x = x2 − 2x+ 2.
Corta al eje y en 8.
En caso de que exista, graficá y da el conjunto de positividad de f . En caso de no exista, explicá por qué
no es posible encontrar tal función.
b) Dado el polinomio P (x) =
(
−2x+ 6
)(
x3 − 4x2 + 5x− 2
)
i) Factorizá completamente el polinomio sabiendo que x = 1 es una raíces de P .
ii) Hallá C−(P ).
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Problema 4.
a) Resolvé la ecuación 2 cos
(
x+ π3
)
= 1 en −2π ≤ x ≤ π.
b) Sea f : A → B, f(x) = cos(2x) + 1, da conjuntos A,B ⊂ R para que f resulte inyectiva pero no
suryectiva, justificá tu respuesta. Considerá A =
[
0, 2π
]
y hallá C0(f).
Problema 5.
a) Una especie de pino crece a razón de un 3% de su altura por semana. Se tomó una primera medición y
la altura era de 100mm.
i) Calculá cuál será su altura al cabo de 8 semanas. Un investigador sostiene que esta especie debe
crecer un 12% respecto de los 100mm en 4 semanas. ¿Es correcta esta afirmación?
ii) Hallá una fórmula que determine la altura en función del tiempo para esta especie de pino.
b) Da, si es posible, la fórmula de una función exponencial f que cumpla simultáneamente las siguientes
condiciones:
Su ordenada al origen es 2
Es creciente
Im(f) =
(
−∞, 5
)
f(4) = 7716
Para la función hallada, encontrar los valores de x ∈ R tales que f(x) > −1.
Problema 6. Sean f(x) = 4x−1 + k, g(x) = ln
(
x− 2
)
y h(x) = |2x+ 1| − 3
a) Si s es una función tal que s−1(3) = 5, encontrá, si es posible, k ∈ R para que
(
f ◦ s
)
(5) = 19.
b) Hallá el dominio de la función
(
g ◦ h
)
(x).
Problema 7.
a) Dado el esquema de la Figura 2.
i) Hallá las coordenadas del punto Q sabiendo que la distancia
entre R y Q es 10.
ii) Encontrá la distancia entre los puntos Q y P .
b) Ubicá los puntos (-2,-1), (4,2) y (-1,2) en un sistema de ejes cartesia-
nos, unilos y construí el simétrico de la figura obtenida respecto de
la recta y = x, describiendo los pasos realizados.
Figura 2
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