ICBT Com 08 - Unidad 10 - Repaso U9 y Problemas 1, 2 y 3 de U10

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Martes 09 de noviembre de 2021 
Repaso: 
Unidad 9: Funciones trigonométricas 
 
𝑔(𝑥) = sin(2𝑥 − 𝜋) 
Para que sea sobreyectiva, su codominio debe ser [−1; 1] 
 
Para que sea inyectiva, su dominio puede ser [
𝜋
4
;
3
4
𝜋] 
𝑔: [
𝜋
4
;
3
4
𝜋] → [−1; 1] 
Es biyectiva. 
 
Otra posibilidad, es tomar: 
𝑔: [0;
𝜋
4
] → [−1; 0] 
 
Ahora bien, para encontrar la función inversa, debemos despejar 𝑥: 
𝑦 = sin(2𝑥 − 𝜋) 
arcsin 𝑦 = 2𝑥 − 𝜋 
π + arcsin 𝑦 = 2𝑥 
π + arcsin 𝑦
2
= 𝑥 
𝑔−1(𝑥) =
π + arcsin 𝑥
2
 
𝑔−1: [−1; 1] → [
𝜋
4
;
3
4
𝜋] 
 
 
 
 
 
Unidad 10: Composición de funciones 
 
(i) Deberá abonar 600, 50 ⋅ 3 = 150, luego 150 ⋅ 4 = 600. 
(ii) Compró 9, gastó $900, dividido la cantidad de kilos 900: 4 = 225, que si lo dividimos en 
bolsas de 25 da 9, 225: 25 = 9. 
(iii) 𝑃(𝑥) = 4𝑥, donde 𝑃 es el precio de los kilogramos de cemento, 𝑥 es la cantidad de kg. 
 
(i) (10 ⋅ 25) ⋅ 4 + 400 = 1400 
(ii) 𝑓(𝑥) = 400 + 4𝑥, donde 𝑓 es el precio final del cemento más el envío, y 𝑥 es la cantidad de 
kg. 
Nuestra fórmula, podría ser expresada como el costo del flete más el precio del cemento: 
𝑓(𝑥) = 400 + 4𝑥 → 𝑓(𝑥) = 400 + 𝑃(𝑥) 
 
a) 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = √5 + 𝑥2 + 𝑥2 − 1 
Para indicar el dominio, debo tener en cuenta si aparecen funciones que deban ser 
restringidas, a saber: 
-raíces de índice par (aquí su contenido debe ser mayor o igual a cero). 
-logaritmos (su argumento debe ser mayor a cero) 
-cocientes (el divisor debe ser distinto de cero) 
En nuestra función, aparece la expresión √5 + 𝑥2, por lo tanto, necesitamos que 5 + 𝑥2 sea 
positivo o cero: 
5 + 𝑥2 ≥ 0 
Como 𝑥2 es siempre mayor o igual a cero, al sumarle 5 se cumple siempre la condición, 
entonces esa raíz se puede calcular para cualquier valor de 𝑥. 
Finalmente, el dominio de 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = √5 + 𝑥2 + 𝑥2 − 1 
Es 𝑅. 
b) 
(𝑓 ⋅ 𝑔)(𝑥) = √5 + 𝑥2 ⋅ (𝑥2 − 1) 
Por lo mismo que dijimos en a), el dominio de esta función 𝑅. 
c) 
(
𝑓
𝑔
) (𝑥) =
√5 + 𝑥2
𝑥2 − 1
 
¡Ojo! Aquí tengo un cociente, por ende, necesito que el divisor sea diferente de cero. 
𝑥2 − 1 ≠ 0 
𝑥2 ≠ 1 
|𝑥| ≠ √1 
𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ −1 
𝐷𝑜𝑚 = 𝑅 − {1;−1} 
 
𝑓 parece ser una función lineal, y 𝑔 una cuadrática. 
 
• “𝑓 + 𝑔 parece ser una cuadrática porque tiene varios puntos simétricos”. Además, 
podemos asegurar que será una cuadrática porque es la suma de una lineal y una 
cuadrática. 
• En 𝑓 − 𝑔 ocurre lo mismo que en 𝑓 + 𝑔, por ende, tendremos otra cuadrática más. 
• En 𝑓 ⋅ 𝑔 nos va a quedar una polinómica de grado 3. 
Composición de funciones: 
Recordemos que, si tenemos una función por ejemplo 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1, y me piden que exprese 
𝑓(2), hacemos: 
“reemplazamos 𝑥 por 2”: 
𝑓(2) = 3 ⋅ 2 + 1 
Ahora bien, ¿qué harían si nos piden que hagamos 𝑓(𝑥2)? 
“Por lógica diría reemplazar 𝑥 por 𝑥2”. 
Efectivamente, 𝑓(𝑥2) = 3𝑥2 + 1 
Vamos a ponerlo más complicado… Si sabemos que 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 − 1, ¿Se animan a escribir 
la expresión de 𝑓(𝑔(𝑥))? 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 3(𝑥3 − 2𝑥 − 1) + 1 
¡Eureka! Acabamos de componer funciones, particularmente, se escribe: 
𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) 
Y se lee “efe compuesta de ge”. 
¿Será lo mismo decir (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) que (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)? “y, no”. 
Para comprobarlo, veamos otras funciones más explícitas: 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 y otra 𝑔(𝑥) = 3 + 𝑥 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = sin(3 + 𝑥) 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 3 + sin 𝑥 
Evidentemente, (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ≠ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥). La composición no es conmutativa. 
 
Practicar problemas 5, 7 y 8.