ICBT Com 08 - Unidad 5 - Teoría de funciones cuadráticas

Vista previa del material en texto

Martes 14 de septiembre de 2021
Unidad 5: Funciones Cuadráticas
Formas de su fórmula
1. Forma polinómica
2. Forma factorizada
3. Forma canónica
1. Forma polinómica
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
Por ejemplo:
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
Si la quisiéramos graficar mediante una tabla de valores
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
0 02 − 4 · 0 + 3 = 3
1 12 − 4 · 1 + 3 = 0
2 22 − 4 · 2 + 3 =− 1
3 32 − 4 · 3 + 3 = 0
4 42 − 4 · 4 + 3 = 3
5 52 − 4 · 5 + 3 = 8
− 1 (− 1)2 − 4 · (− 1) + 3 = 8
(eso sería un gráfico a mano, feo por el mal pulso pero con la info de la tabla)
Elementos:
● Ordenada al origen: reemplazo a la equis por cero.
𝑓(0) = 𝑐
● Raíces: igualo la función a cero y resuelvo la ecuación.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Generalmente debemos emplear la fórmula resolvente para resolverla:
𝑥
1;2
= −𝑏± 𝑏
2−4𝑎𝑐
2𝑎
● Vértice: Debo calcular la coordenada de equis (“equis del vértice” ) y la𝑥
𝑣
coordenada de y (“y del vértice” ) porque en sí el vértice es un punto:𝑦
𝑣
𝑣 = (𝑥
𝑣
; 𝑦
𝑣
)
Calculamos y luego𝑥
𝑣
= −𝑏2𝑎 𝑦𝑣 = 𝑎𝑥𝑣
2 + 𝑏𝑥
𝑣
+ 𝑐
Si conocemos las raíces, podemos calcular el como el punto medio entre ellas:𝑥
𝑣
𝑥
𝑣
=
𝑥
1
+𝑥
2
2
(esta semisuma se puede hacer con cualquier par de puntos simétricos que conozcamos y
de esa forma hallaríamos al )𝑥
𝑣
● Eje de simetría: coincide con el . Su ecuación es .𝑥
𝑣
𝑥 = 𝑥
𝑣
● Si la función es “cóncava hacia arriba”.𝑎 > 0
● Si la función es “cóncava hacia abajo”.𝑎 < 0
En nuestro ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ; 𝑎 = 1 ; 𝑏 =− 4 ; 𝑐 = 3
Ordenada al origen: 𝑦 = 3
Raíces: 𝑥
1;2
= −(−4)± (−4)
2−4·1·3
2·1
𝑥
1;2
= 4± 16−122 → 𝑥1;2 =
4±2
2
𝑥
1
= 4+22 ∧ 𝑥2 =
4−2
2 → 𝑥1 = 3 ∧ 𝑥2 = 1
Vértice: lo que me dice que el eje de simetría𝑥
𝑣
= −(−4)2·1 → 𝑥𝑣 = 2 𝑥 = 2
También lo podíamos calcular .𝑥
𝑣
= 1+32 → 𝑥𝑣 = 2
𝑦
𝑣
= 22 − 4 · 2 + 3 → 𝑦
𝑣
=− 1
El vértice es 𝑣 = (2; − 1)
2. Forma factorizada
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 − 𝑥
1( ) 𝑥 − 𝑥2( ) ; 𝑎 ≠ 0
Info importante que me da la ecuación factorizada:
- y son las raíces de la función.𝑥
1
𝑥
2
Por ejemplo, la función de nuestro ejemplo, en forma factorizada, se escribe:
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
-Si la función es “cóncava hacia arriba”.𝑎 > 0
Si la función es “cóncava hacia abajo”.𝑎 < 0
● Vértice:
Si conocemos las raíces, podemos calcular el como el punto medio entre ellas:𝑥
𝑣
𝑥
𝑣
=
𝑥
1
+𝑥
2
2
y luego 𝑦
𝑣
= 𝑎 𝑥
𝑣
− 𝑥
1( ) 𝑥𝑣 − 𝑥2( )
● Ordenada al origen: reemplazo a la equis por cero.
𝑓(0) = 𝑎 · 𝑥
1
· 𝑥
2
3. Forma canónica:
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 − 𝑥
𝑣( )2 + 𝑦𝑣 ; 𝑎 ≠ 0
Info importante que me da la ecuación canónica:
- e son las coordenadas del vértice.𝑥
𝑣
𝑦
𝑣
Por ejemplo, la función de nuestro ejemplo, en forma canónica, se escribe:
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2( )2 − 1
-Si la función es “cóncava hacia arriba”.𝑎 > 0
Si la función es “cóncava hacia abajo”.𝑎 < 0
● Ordenada al origen: reemplazo a la equis por cero.
𝑓(0) = 𝑎 0 − 𝑥
𝑣( )2 + 𝑦𝑣
● Raíces: igualo la función a cero
𝑎 𝑥 − 𝑥
𝑣( )2 + 𝑦𝑣 = 0
𝑎 𝑥 − 𝑥
𝑣( )2 =− 𝑦𝑣
𝑥 − 𝑥
𝑣( )2 =−
𝑦
𝑣
𝑎
𝑥 − 𝑥
𝑣| | = −
𝑦
𝑣
𝑎
Notemos que estamos calculando una raíz… ¿De un número negativo? Observemos que
podría ser positivo cuando sea negativo.−
𝑦
𝑣
𝑎
𝑦
𝑣
𝑎
Estudiemos la gráfica:
Conjunto de negatividad: son los valores de equis que al reemplazarlos en la función nos da
valores negativos. En nuestro ejemplo gráfico, es
𝐶− = 𝑥
1
; 𝑥
2( )
Conjunto de positividad: son los valores de equis que al reemplazarlos en la función nos da
valores positivos. En nuestro ejemplo gráfico, es
𝐶+ = − ∞; 𝑥
1( ) ∪ 𝑥2; + ∞( )
Existen casos en los que la función no tiene raíces y por ende no tiene conjunto de
negatividad o de positividad:
𝐶− =⊘
( es “conjunto vacío”, en realidad debería sobresalir un poco⊘
más la línea recta hacia afuera… Pero no hallo el simbolito acá
en el Docs...)
O también se puede expresar un conjunto vacío de la forma: {}
𝐶+ = 𝑅
𝐶+ = − ∞; + ∞( )
𝐶+ = {}
𝐶− = 𝑅
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento:
𝐼 ↑ = (𝑥
𝑣
; + ∞)
𝐼 ↓ = (− ∞; 𝑥
𝑣
)
𝐼 ↓ = (𝑥
𝑣
; + ∞)
𝐼 ↑ = (− ∞; 𝑥
𝑣
)