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Dominios Numéricos (N, Z, Q, Q+,R) Frank Tápanes Ramos franktapanes1393@gmail.com Resumen: Una breve caracterización de los dominios numéricos, como representarlos y operaciones entre ellos. Es un material de apollo para nuevos docentes pues cuenta con los contenidos relacionados con el objeto matemático así como ejemplo de ejercicios para valorar el nivel de asimilación en los estudiantes. Ha estos ultimos le sirve como resumen del contenido y pueden prácticar cuanto aprendieron con los ejercicios. Dominios Numéricos: Son los conjuntos numéricos con las operaciones y relaciones definidas en ellos, estos son: • El conjunto de los números naturales (N) formada por 0; 1; 2; 3; 4; …. • El conjunto de los números enteros (Z) formado por el conjunto de los números naturales y sus opuestos . . . -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . . • El conjunto de los números racionales (Q) formado por los números enteros y los cocientes que se pueden formar entre ellos, es decir todas las expresiones del tipo a/b, a Є Q, b Є Q, b≠0; o sea toda expresión decimal periódica. Ejemplo: -----5/3; 0.600; 6/3; -11,233...; etc. • El conjunto de los números irracionales (I), formado por todas las expresiones decimales no periódicas, e=2,7182…; -√3= -1,73…; π= 3,14 ... • El conjunto de los números reales (R) formado por la unión de los racionales y los irracionales, es decir Q U I= R Enteros Naturales Racionales Enteros negativos Reales Fracciones positivas negativas Irracionales A cada punto de una recta se le hace corresponder de forma única un número real y viceversa. Comparación y orden Para ordenar un grupo de números reales debes tener en cuenta que: ➢ De dos números reales cualesquiera son menor el que está más a la izquierda de la recta numérica. ➢ De dos números reales positivos es mayor el que tiene mayor módulo. ➢ De dos números reales negativos es mayor el que tiene menor módulo. mailto:franktapanes1393@gmail.com Los intervalos son subconjuntos de números reales, entonces: ✓ Un intervalo cerrado [a; b] de extremos a y b es un segmento en el que se incluyen estos extremos: [a; b] = { x Є R; a≤ x≤ b} a. .b ✓ Un intervalo abierto (a; b) de extremos a y b es un segmento en el que no se incluyen estos extremos. ( a; b) ={ x Є R; a˂ x˂ b} ao ob ✓ Un intervalo semiabierto de extremos a y b puede ser (a; b] ó [a; b). (a; b] = { x Є R; a˂ x ≤ b} a o .b [a; b)= { x Є R; a ≤x ˂ b} a. Ob En particular: (-∞ ; b] = { x Є R; x ≤ b} .b Es el conjunto de los números reales menores o iguales que b. (-∞ ; b) = { x Є R; x ˂ b} ob Es el conjunto de los números reales menores que b. [a; +∞) = {x Є R; x ≥ a} a. Es el conjunto de los números reales mayores o iguales que a. (a; +∞) = {x Є R; x ˃ a} a o Es el conjunto de los números reales mayores que a. Ejercicios: 1.- Di cuáles de las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Escribe V o F en la línea dada a la izquierda. a) ___ πQ b) ___ RN c) ___ -4,7 ЄQ+ d) ___ ZQ e) ___ -1/3ЄQ f) ___ 5N g) ___ RQ h) ___ π=3,14 2.- Clasifica las proposiciones siguientes en V o F. Justifique las falsas. a) ___ Los números racionales Q cubren toda la recta numérica. b) ___ Si a Є Q y b Є Q, entonces ab Є Q. c) ___ Si m Є N y n Є N, entonces m:n Є N. d) ___ El numero - 15 pertenece al conjunto de los números reales. e) ___El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números fraccionarios. 3.- Marca con una cruz la proposición verdadera: a) ___ Las expresiones decimales periódicas son números irracionales. b) ___ La operación de extracción de raíces de índice par de números positivos está determinada unívocamente. c) ___ La operación de sustracción se pude realizar ilimitada en el conjunto Z de los números enteros. d) ___ El conjunto R de los números reales está formado por los números fraccionarios y sus opuestos. 4.- Dados los conjuntos: A = {x Є R: x ≥-3}, B = {x Є R: -3 ˂ x ˂ 2} y P: El conjunto de los números naturales pares. Completa los espacios en blanco con el símbolo adecuado, de forma que se obtenga una proposición verdadera. a) 2 ___ P b) 6 ___ A c) A ___ B d) -2 ___ A e) P ___ A f) 2 ___ B g) 5 ___ P h) 3 ___ B i) B ___ P 5.- Selecciona la respuesta correcta marcando con una X en la línea dada. Sean los conjuntos: A = {x Є R: x ≤ 3} y B = (-2; 4) se puede afirmar que A∩B es: a) ___ [-2: 3) b) ___ {x Є R: x ≤ 3, x≠ -2} c) ___ (-∞: 4) d) ___ {x Є R: -2 ˂ x ≤ 3} Sean los conjuntos: M = [-4; 2] y N = {x Є R: x ˃-0,38} se puede afirmar que AB es: a) ___ {x Є R: 0,38 ˂ x ≤ 2} b) ___ {x Є R: -0.38 ˂ x ≤ 2} c) ___ [-4; +∞) d) ___ (-∞: -4) Operaciones con números reales o con subconjuntos numéricos de los números reales. ➢ Se Efectúan las operaciones indicada entre signos de agrupamiento tales como paréntesis, corchetes o llaves. ➢ Se realizan las operaciones de potenciación y radicación en el orden en que aparecen. ➢ Se efectúan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. ➢ Se realizan las sumas y restas en el orden en que aparecen. Recordatorio: Aspectos que debes tener en cuenta cuando vas a realizar operaciones con números reales: • Si vas a adicionar dos números reales debes tener en cuenta sus signos; si son iguales se suman y se mantiene el signo, si son diferentes se restan y se pone el signo del que tiene mayor módulo. • Si dos números son opuestos, su suma es cero. • Si vas a multiplicar o dividir dos números reales se multiplican o dividen sus módulos; si los dos números tienen signos iguales, el resultado es un número positivo y si tienen signos diferentes el resultado es negativo. • El l producto de un número y su recíproco es 1. • La multiplicación o división de un número real distinto de cero por 1 da como resultado el propio número real. • La multiplicación de un número real por cero es cero. • La división de un número real por cero no está definida. • La división de cero por cero no está determinada. • Cuando se eleva un número real positivo a un exponente cualquiera el resultado es un número positivo. • Cuando se eleva un número real negativo a un exponente par, el resultado es un número positivo y si el exponente es impar, el resultado es negativo • La raíz de orden par de un número negativo no está definida en el dominio de los números reales.
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