Cero acotada

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Análisis Matemático-Licenciatura en Biotecnología 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MORENO 
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Límites 
1. Límite de la forma: “Cero por acotada” 
Vamos a comenzar explicando qué es un infinitésimo y a recordar cómo se define una función acotada. En base 
a estos conceptos enunciaremos una proposición que nos permitirá luego resolver algunos de nuestros límites. 
 
Diremos, por un lado, que una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es infinitamente pequeña o infinitésimo cuando 
𝑥 → 𝑥0 ( 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥 → ∞) sí y sólo sí lím
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0 ( lím
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 0). 
Por ejemplo: 
• 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 es infinitésimo cuando 𝑥 → ∞ ya que lím
𝑥→∞
1
𝑥
= 0 
• 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) es infinitésimo cuando 𝑥 → 1 ya que lím
𝑥→1
ln(𝑥) = 0 
 
Por otro lado, las funciones seno y coseno son ejemplos de funciones acotadas en ℝ. Ya analizamos estas 
funciones y vimos que oscilaban entre -1 y 1. Quedando sus gráficas acotadas, “encerradas” o “delimitadas” 
entre esos dos valores. En valor absoluto digamos que no superaban a 1. 
|𝒔𝒆𝒏(𝒙)| ≤ 𝟏 |𝒄𝒐𝒔 (𝒙)| ≤ 𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ∈ ℝ. 
Atención: Tengan en cuenta que si en vez de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) tuviesen 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) esa función también 
estaría acotada, pero entre 2 y -2. Lo mismo ocurre con el coseno. Si en vez de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) tuviesen 
 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠 (𝑥) esta función también estaría acotada, pero entre 3 y -3. Es necesario aclarar también que 
2𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≠ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) al igual que 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) ≠ 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥), pueden observar todo esto en GeoGebra. 
 
 Teniendo en cuenta lo expuesto vamos a enunciar una proposición muy útil. 
Proposición: Sea 𝑓(𝑥) función real tal que lím
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0 (infinitésimo) y 𝑔(𝑥) una función acotada. Entonces 
𝐥í𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙) = 𝟎 
Coloquialmente diremos: El producto de un infinitésimo y una función acotada es cero o simplemente “Cero por 
acotada es igual a cero”. 
De esto nos valdremos para resolver límites de este tipo, por ejemplo1. 
𝐥í𝐦
𝒙→−∞
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙
 
Antes de comenzar reescribiremos al límite de la siguiente manera para que les resulte más sencillo su análisis 
𝐥í𝐦
𝒙→−∞
𝟏
𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙
. 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) 
 
 
1 Problema adicional 2.h. Unidad 2 
En este límite podemos observar por un lado que lím
𝑥→−∞
1
2𝑥2+4𝑥
= 0 es un infinitésimo. Veamos este 
comportamiento en el siguiente gráfico: 
 
 
En el caso de 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) estamos en presencia de una función acotada. Observen su gráfica. 
 
 
Por lo tanto, podemos concluir que: 
𝐥í𝐦
𝒙→−∞
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
𝟐𝒙𝟐+𝟒𝒙
=0 
Tengan cuidado con esta proposición porque si una de las 2 condiciones no se cumple no pueden aplicarla. 
Si no recuerdan esto pueden concluir erróneamente. Por ejemplo, un error típico: 
𝑙í𝑚
𝑥→0
(𝑥2 + 1) . 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 
Muchas veces ven seno o coseno y se adelantan a decir cero por acotada, ¡ojo! eso no es así siempre. Si observan 
en este caso 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) → 1 cuando 𝑥 → 0 y además lím
𝑥→0
(𝑥2 + 1) ≠ 0 o sea que no es un infinitésimo. Entonces 
no pueden usar la proposición. 
En este caso: 
lím
𝑥→0
(𝑥2 + 1) . cos(2𝑥) = lím
𝑥→0
(𝑥2 + 1) . 𝑙í𝑚
𝑥→0
cos(2𝑥) = 1. cos(2.0) = 1