03_Ejemplos y ejercicios adicionales

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Ejercicios trabajados en la clase AMBT (04/05) 
Problema 1a): 
lím
𝑥→ ...
3𝑥2 + 1 = lím
𝑛→+∞
𝑓(𝑎𝑛) 
Siendo 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 1 y 𝑎𝑛 = 2 + (
1
10
)
𝑛
 
lím
𝑛→+∞
𝑓(𝑎𝑛) = lím
𝑛→+∞
 3 (2 + (
1
10
)
𝑛
 )
2
+ 1 = 13 
Con lo que lím
𝑥→ ...
3𝑥2 + 1 = 13. Luego hay que resolver 3𝑥2 + 1 = 13, siendo 𝑠 = {−2; 2} 
Se concluye que 𝑥 → 2 o 𝑥 → −2 
Problema 2a): 
lím
𝑥→2
 
1
𝑥 − 2
= 
Se analiza los límites laterales: 
lím
𝑥→2+
 
1
𝑥 − 2
= +∞; lím
𝑥→2−
 
1
𝑥 − 2
= −∞ 
Por la proposición 2, se concluye: 
lím
𝑥→2
 
1
𝑥 − 2
= ∞ 
 
 
Problema 3a): 
lím
𝑥→−2
 
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
 = 
Límites laterales: 
 Indeterminación (
0
0
) simplificando (𝑥 + 2) 
lím
𝑥→−2+
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
 = lím
𝑥→−2+
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 + 2
 = lím
𝑥→−2+
𝑥 − 2 = −4 
 Indeterminación (
0
0
) simplificando (𝑥 + 2) 
lím
𝑥→−2−
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
 = lím
𝑥→−2−
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 + 2
 = lím
𝑥→−2−
𝑥 − 2 = −4 
Como los límites laterales son iguales, entonces: 
lím
𝑥→−2
 
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
 = −4 
Yop
Yop
EJEMPLOS Y EJERCICIOS ADICIONALES 
Yop
Yop
Ejercicio resuelto a modo de ejemplo: 
lím
𝑥→0
 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥
= 
Notar que estamos en una indeterminación del tipo 
0
0
 . Veamos como se “salva”. Calculemos los 
límites laterales. 
 Indeterminación (
0
0
) 
lím
𝑥→0+
 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥
= lím
𝑥→0+
 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥
∙
2
2
= lím
𝑥→0+
 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2𝑥
∙ 2 = 1 ∙ 2 = 2 
 1 
 Indeterminación (
0
0
) 
lím
𝑥→0−
 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥
= lím
𝑥→0−
 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥
∙
2
2
= lím
𝑥→0−
 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2𝑥
∙ 2 = 1 ∙ 2 = 2 
 1 
Luego: 
lím
𝑥→0
 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥
= 2 
Ejercicios adicionales: 
a) lím
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
5𝑥
= 
 
b) lím
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥2
= 
 
c) lím
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(−𝑥2)
3𝑥3
= 
 
d) lím
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
−
5
2
𝑥2
= 
 
e) lím
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(−𝑥)
−𝑥6
= 
 
f) lím
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(
1
2
𝑥3)
−
2
3
𝑥2
=