SINTITUL-4

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TRILCE
47
Capítulo
4 CAÍDA LIBRE
CARACTERÍSTICAS
La caída de los cuerpos se ha estudiado con gran precisión
* Si puede ignorarse el efecto del aire, Galileo está en lo cierto; todos los cuerpos en un lugar específico caen con la
misma aceleración, sea cual sea su tamaño o peso.
* Si la distancia de caída es pequeña en comparación con el radio terrestre, la aceleración es constante.
CAÍDA LIBRE VERTICAL
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
tsubir
tbajar
g
* bajarsubir tt  (tiempo)
* 71 VV  ; 62 VV  ; 71 VV V3 V5 (velocidad)
V1=V7 ; V2=V6 ; V3=V5 (rapidez)
* V4 = 0 (altura máxima)
TIEMPO DE VUELO
Vi
g
g
oV2
vuelot 
g
oV
subirt  i
i
ALTURA MÁXIMA
Vi
V=0
Hmáx
g2
2
oV
máxH  i
Física
48
ECUACIONES DE LA CAÍDA LIBRE
ECUACIONES ESCALARES
g th h
t
Vi
Vf
Vf
g
Baja (+) Sube (-)
Vi
2
2
1
i tgtVh 
tgVV if 
hg2VV 2i
2
f 
2
fViV
t
h 
)1n2(Vh
2
1
in 
ECUACIONES VECTORIALES
g
Vi
Vf
yi
y
y
2
2
1
oy tgtV 
tgVV of  i
i
f
Desplazamiento vertical
Vi
g
y (+ j )
g
 y ( j )
Vi
TRILCE
49
Velocidad Aceleración
V (+ j ) V ( j ) g ( j )
NÚMEROS DE GALILEO
Lo que es notable en el caso de Galileo es que avanzó mucho más que las observaciones cualitativas o semicuantitativas de
sus predecesores, y pudo describir el movimiento de los cuerpos con bastante detalle matemático.
Para un cuerpo que cae desde el reposo, las distancias recorridas durante intervalos iguales de tiempo, se relacionan entre
sí de la misma forma que los números impares comenzado por la unidad.
V=0 m/s
V=10 m/s
V=20 m/s
V=30 m/s
V=40 m/s
V=50 m/s
5 m = 5(1) m
15 m
25 m = 5(5) m
35 m = 5(7) m
45 m
1 s
1 s
1 s
1 s
1 s
g
 = 5(3) m
 = 5(9) m
Esta relación es válida para g = 10m/s2.
Física
50
EJERCICIOS PROPUESTOS
01.Desde la superficie terrestre, se lanza verticalmente hacia
arriba una piedra y regresa a tierra en 2 s. Hallar su
altura máxima. (g=10 m/s2).
a) 2 m b) 5 m c) 10 m
d) 20 m e) 50 m
02. Desde el piso, se impulsa hacia arriba una partícula y
se pide determinar cuánto asciende durante los dos
últimos segundos de su ascenso. (g=10 m/s2).
a) 10 m b) 12 m c) 15 m
d) 20 m e) 25 m
03. Se suelta una piedra y llega a tierra en 6 s. Si se considera
que g=10 m/s2; entonces, la piedra fue soltada desde
una altura de:
a) 60 m b) 120 m c) 150 m
d) 180 m e) 240 m
04. Un cuerpo es soltado desde una altura de 180 m. Halle
su velocidad cuando llega a tierra y el tiempo empleado.
(g=10 m/s2).
a) 100 m/s, 4 s b) 80 m/s, 5 s
c) 60 m/s; 6 s d) 55 m/s, 6 s
e) 45 m/s, 7 s
05. Un jugador de fútbol pateó una pelota verticalmente
hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. ¿Cuántos
segundos tardará la pelota en regresar al nivel de
lanzamiento? (g=10 m/s2).
a) 2 s b) 3 s c) 4 s
d) 6 s e) 8 s
06. Se dispara un cuerpo verticalmente hacia arriba con
una rapidez de 48 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará dicho
cuerpo en regresar al nivel de lanzamiento?
(g=10 m/s2)
a) 9,4 s b) 9,8 s c) 9,6 s
d) 4,8 s e) 4,9 s
07. Una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba con
una rapidez de 30 m/s. Halle después de qué tiempo y
a qué altura se encontrará respecto al nivel de
lanzamiento cuando esté descendiendo con una
rapidez de 20 m/s. (g=10 m/s2)
a) 1 s; 5 m b) 6 s; 45 m c) 5 s; 25 m
d) 4 s; 20 m e) 3 s; 50 m
08. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde
la superficie terrestre con una rapidez de 40 m/s. Hallar
después de qué tiempo y a qué altura se encuentra
cuando su rapidez sea de 10 m/s hacia abajo.
(g=10 m/s2).
a) 10 s; 20 m b) 5 s; 75 m
c) 5 s; 200 m d) 10 s; 75 m
e) 8 s; 120 m
09. Una partícula es lanzada desde P con una velocidad de
60 m/s, si tarda 10 s en llegar al punto R. ¿Qué tiempo
emplea en pasar de P a Q? (g=10 m/s2).
P
Q R
a) 5 s b) 4 s c) 3 s
d) 2 s e) 1 s
10. Una partícula es lanzada desde el punto "A"; si tarda 11
s en llegar al punto "C", por el que pasa con una rapidez
de 30 m/s, ¿Qué tiempo emplea para ir de "A" a "B"?
(g=10 m/s2)
A
B C
a) 5 s b) 6 s c) 7 s
d) 8 s e) 9 s
11. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba de la
azotea de un edificio con una rapidez de 30 m/s. Si el
objeto demora 8 s en llegar al suelo, hallar la altura del
edificio. (g=10 m/s2).
a) 80 m b) 90 m c) 100 m
d) 70 m e) 60 m
12. Un proyectil es arrojado verticalmente para arriba con
una rapidez de 40 m/s. ¿A qué altura del nivel de
lanzamiento se encontrará después de 6 s de la partida?.
(g=10m/s2).
a) 100 m b) 80 m c) 60 m
d) 55 m e) 45 m
13. Un móvil es lanzado verticalmente hacia arriba con
una velocidad de 40 m/s. ¿Después de qué tiempo del
lanzamiento se encuentra a una altura de 75 m?
(g=10 m/s2).
a) 2 s y 4 s b) 3 s y 5 s c) 3 s y 6 s
d) 5 s y 8 s e) 5 s y 15 s
TRILCE
51
14. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con
una rapidez de 50 m/s. ¿Después de qué tiempo del
lanzamiento se encuentra a una altura de 105 m?
(g=10 m/s2)
a) 2 s y 6 s b) 1 s y 5 s c) 3 s y 7 s
d) 2 s y 5 s e) 4 s y 7 s
15. La aceleración de la gravedad en la superficie lunar es
de 1,6 m/s2. Si un objeto se deja caer en la superficie de
la luna, halle su velocidad luego de 5 s.
a) 16 m/s b) 12 m/s c) 8 m/s
d) 10 m/s e) 15 m/s
16. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con
una velocidad inicial de 10 m/s desde la superficie lunar.
La piedra permanece en movimiento durante 12 s hasta
regresar a su nivel de lanzamiento. Halle la altura máxima
alcanzada.
a) 30 m b) 40 m c) 180 m
d) 60 m e) 31,5 m
17. Desde una altura de 80 m se suelta una piedra y
desciende en caída libre. Simultáneamente, desde el
piso, se impulsa verticalmente hacia arriba otra piedra
y chocan en el instante en que ambas tienen igual
rapidez. ¿Cuál fue la velocidad de lanzamiento de la
segunda piedra?
(g=10 m/s2).
a) 20 m/s b) 30 m/s c) 40 m/s
d) 50 m/s e) 60 m/s
18. Desde el piso se lanzan verticalmente partículas con un
intervalo de tiempo de 2 s y a 40 m/s dirigidos hacia
arriba. ¿Qué distancia separa a la primera de la segunda
en el instante que se lanza la tercera?
(g=10 m/s2).
a) 20 m b) 40 m c) 60 m
d) 10 m e) 30 m
19. Un cohete parte del reposo y sus propulsores le
imprimen una aceleración neta de 5m/s2 durante 8s. Si
en ese instante se acaba el combustible, halle hasta
qué altura se elevó el cohete. (g=10m/s2).
a) 240 m b) 120 m c) 80 m
d) 160 m e) 300 m
20. Un paracaidista salta de un helicóptero estacionario en
el aire y cae libremente sin contar la fricción del aire,
500 m; luego abre su paracaídas y experimenta una
desaceleración neta de 2 m/s2 y llega al suelo con una
rapidez de 4 m/s. ¿De qué altura saltó el paracaidista?
(g=10 m/s2).
a) 2800 m b) 2596 m c) 2796 m
d) 2496 m e) 2996 m
21. Se lanza a un cuerpo verticalmente hacia arriba con
una velocidad V1, empleando un tiempo t1 en alcanzar
su máxima altura y llegando a tierra habiendo
transcurrido un tiempo t2. Luego, es correcto afirmar
que el cuerpo. ...
V1
x
y
I. Entre 0 y t1 , su aceleración es positiva.
II. Entre t1 y t2 , su rapidez crece.
III. Se mueve en la dirección +y.
IV. Entre t1 y t2 , su aceleración es positiva.
a) Sólo I b) I y II c) Todas
d) Sólo II e) Ninguna
22. Cuando el cronómetro marca 5,6 s; desde lo alto de un
edificio se lanza verticalmente hacia arriba una esferita
con una velocidad inicial de 8 m/s y llega al piso cuando
el cronómetro marca 12,2 s. Considerando que sólo
actúa la gravedad g=10 m/s2. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es correcta para un cierto sistema de
referencia?
I. Mientras sube la ecuación de movimiento es:
y=8t-5t2 y mientras baja: y=8t+5t2.
II. Durante todo el movimiento la velocidad es:
V=8-10t.
III. La posición es: y=165+8t-5t2.
a) Sólo I b) I y II c) Sólo II
d) Sólo III e) II y III
23. La ecuación de movimiento de un proyectil lanzado
verticalmente desde el punto "A" cercano a tierra es:
y(t)=-10+40t-5t
2. ¿Cuál es la altura alcanzada con
respecto al nivel de referencia?
x
y
A
a) 70 m b) 90 m c) 60 m
d) 80 m e) 50 m
24. Considerando las unidades del sistema internacional,
la ecuación de posición del movimiento deuna
partícula en caída libre es: y=5t2-12t+23. Expresar la
ecuación de su velocidad.
a) V=5t2-12t b) V=5t-12
c) V=t-12 d) V=10t+12
e) V=10t-12
Física
52
25. Se realiza un experimento en un lugar donde la
dirección vertical de la aceleración de la gravedad,
(g= 10 m/s2) cambia cada 5 s. Con la gravedad,
orientada hacia abajo, se suelta una esferita desde
y=8 m. ¿Cuál es la posición y (en m) de la esferita 9 s
después de iniciado su movimiento?
x
y
g
a) -125 m b) -117 m c) -167 m
d) -317 m e) -237 m
26. Un globo aerostático se encuentra ascendiendo con
velocidad constante de 6 m/s. Cuando el globo se
encuentra a 40 m sobre el suelo, se suelta de él un
objeto. Asumiendo que sólo actúa la gravedad, ¿Cuál
de las siguientes ecuaciones representa el movimiento
del objeto, respecto a un observador de tierra, a partir
del momento en que fue soltado?
x
y
a) 22
g tt40y  b) 22
g tt6y 
c) 22
g tt640x  d) 22
g tt640x 
e) 22
g tt640y 
27. Del problema anterior; determine, aproximadamente,
el tiempo de vuelo, hasta que el objeto impacta en
tierra.
(g=10 m/s2).
a) 3,4 s b) 6,4 s c) 1,4 s
d) 8,4 s e) 7,4 s
28. ¿Cuánto tiempo emplearía en llegar al recinto
circunferencial una esferita dejada libre en la boca del
tubo liso?
R
a) R/g b) g/R c) g/R2
d) g/R2 e) g/R4
29. Se tienen tres puntos equidistantes A, B y C, ubicados
en la misma vertical ("A" sobre "B" y éste sobre "C").
Simultáneamente, se deja caer un objeto desde "A" y
se lanza otro desde "C", verticalmente, hacia arriba con
una velocidad "V", encontrándose ambos en "B". Hallar
el tiempo que transcurrió para el encuentro.
a) 2 Vg b) V/g c) V/2g
d) V2/2g e) g/V2
30. Un globo aerostático se encuentra descendiendo con
una velocidad constante de 4m/s. Un paracaidista
ubicado en el globo lanza una piedra verticalmente
hacia abajo con una velocidad de 16 m/s, tardando 6 s
en llegar a tierra.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa el movi-
miento de la piedra, respecto a un observador de tie-
rra, a partir del momento en que fue lanzado?
a) y=16t-5t2 b) y=20-5t2
c) y=60-16t+5t2 d) y=300-16t+5t2
e) y=300-20t-5t2
31. Del problema anterior; determine, aproximadamente,
la altura desde la cual fue lanzada la piedra.
a) 20 m b) 60 m c) 300 m
d) 240 m e) 120 m
32. Desde lo alto de una torre se lanza verticalmente hacia
arriba un cuerpo con una velocidad de 30 m/s.
(g=10 m/s2).
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta para
un cierto sistema de referencia?
I. La posición es: y(t)=40+30t-5t2
II. Durante todo el movimiento la velocidad es:
V=40-5t
III. La ecuación de la aceleración es: a=-10t.
a) Sólo I b) I y II c) Sólo II
d) Sólo III e) Ninguna
33. Considerando las unidades del sistema internacional,
la ecuación de posición de una partícula en caída libre
es: y=5t2-8t+7. Expresar la ecuación de su aceleración.
a) a=10t b) a=10t-8 c) a=-10+t
d) a=-10 e) a=10
TRILCE
53
34. Un ascensor sube verticalmente con una velocidad de
72 km/h. Si del techo se desprende un foco. ¿Qué tiempo
tarda en llegar al suelo, si la altura del ascensor es de
2 m?. (g=10 m/s2).
a) s105
2 b) 52 c) 10
d) 109
5 e) 
5
10
35. Un día se observó que el agua goteaba de un caño en
intervalos de tiempos iguales. Cuando la segunda gota
comenzaba a caer, la primera gota había descendido
1 m. ¿Qué distancia habrá recorrido la primera gota
durante el tiempo en el cuál la separación entre la
primera y la segunda gota aumentó a 3 m?
(g=10 m/s2).
a) 2 m b) 3 m c) 4 m
d) 5 m e) 8 m
36. Un globo aerostático se mueve verticalmente hacia
abajo con una velocidad de 20 m/s; el piloto lanza en
cierto instante una manzana con rapidez de 35 m/s
hacia arriba respecto de su mano. ¿Qué aceleración
retardatriz se debe imprimir al globo para detenerse
justo cuando vuelve a pasar frente a él la manzana?
(g=10 m/s2).
a) 4 m/s2 b) 6 m/s2 c) 8 m/s2
d) 10 m/s2 e) 3 m/s2
217. Un proyectil se arroja verticalmente hacia arriba
alcanzando una velocidad de 10 m/s al llegar a la mitad
de su altura máxima. Halle la velocidad con la cual se
lanzó.
(g=10 m/s2).
a) 14,1 m/s b) 24,2 m/s2 c) 7,0 m/s2
d) 2,4 m/s2 e) 10,0 m/s2
38. Un observador ubicado a 35 m de altura ve pasar un
objeto verticalmente hacia arriba y 6 s después, lo ve
de regreso. Halle la velocidad con la cual fue lanzado el
cuerpo desde el piso. (g=10 m/s2).
a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s
d) 40 m/s e) 50 m/s
39. ¿Desde qué altura debe dejarse caer un cuerpo, para
que durante los últimos 5 s recorra los 7/16 de dicha
altura?
(g=10 m/s2).
a) 1000 m b) 2000 m c) 1200 m
d) 2560 m e) 1480 m
40. Un astronauta en la Luna, lanzó un objeto verticalmente
hacia arriba, con una velocidad inicial de 8 m/s. El objeto
tardó 5 s en alcanzar el punto más alto de su trayectoria.
La altura máxima que logró fue:
a) 20 m b) 10 m c) 32 m
d) 16 m e) 56 m
41. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba del borde
de un precipicio con una velocidad de 20 m/s. ¿Después
de cuánto tiempo su rapidez será de 50 m/s?
(g=10 m/s2).
a) 3 s b) 4 s c) 5 s
d) 6 s e) 7 s
42. Un objeto se lanzó verticalmente hacia arriba.
Determine la altura máxima y el tiempo que está en
movimiento, si su posición a los 4 s y 10 s es tal que no
existe desplazamiento entre dichas posiciones.
(g=10 m/s2).
a) 7 s; 490 m b) 14 s; 490 m
c) 7 s; 245 m d) 12 s; 180 m
e) 14 s; 245 m
43. En el planeta MK-54 de la constelación de la Osa Menor
se deja caer una piedra desde cierta altura y se observa
que en un segundo determinado recorre 26 m y en el
siguiente segundo 32 m. Halle el valor de la aceleración
de la gravedad en dicho planeta en m/s2.
a) 6 b) 12 c) 10
d) 8 e) 4
44. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde
la superficie terrestre, a los 5 s de ser lanzado llega a
una altura "h", de manera que al ascender 25 m más,
sólo le falta 2 s para alcanzar su altura máxima. Halle
"h". (g=10 m/s2).
a) 275 m b) 125 m c) 175 m
d) 375 m e) 385 m
45. Un globo aerostático asciende verticalmente con una
velocidad de 22 m/s y cuando se encuentra a una altura
de 1120 m, se lanza del globo una piedra verticalmente
hacia abajo con una velocidad de 12 m/s. ¿Qué tiempo
tarda la piedra en llegar al suelo? (g=10 m/s2).
Física
54
a) 30 s b) 24 s c) 20 s
d) 18 s e) 16 s
46. Un auto parte del reposo y acelera con 5 m/s2 a 10 m
de un edificio de 28 m de altura; al mismo tiempo,
Jorge, que se encuentra en la parte superior del edificio,
lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una
rapidez inicial Vo. Si la piedra impacta en el auto, halle
Vo. (g=10 m/s
2).
a) 2 m/s b) 1 m/s c) 6 m/s
d) 4 m/s e) 5 m/s
47. Una maceta se deja caer desde la azotea de un edificio
de 45 m de altura. Halle la altura recorrida por la maceta
en el último segundo de su caída. (g=10 m/s2).
a) 5 m b) 25 m c) 35 m
d) 22,5 m e) 20 m
48. Un cuerpo se deja caer desde cierta altura "H" y en el
último segundo de su caída, recorre la mitad de dicha
altura. Halle qué tiempo duró su caída. (g=10 m/s2).
a) 3,0 s b) 2,0 s c) 4,0 s
d) 1,2 s e) 3,4 s
49. Desde el piso se lanza una partícula hacia arriba con
una rapidez de s/m310 . Halle su rapidez cuando la
partícula alcance la cuarta parte de su altura máxima.
(g=10 m/s2).
a) 10 m/s b) 15 m/s c) 20 m/s
d) 25 m/s e) 30 m/s
50. Una pelota cae verticalmente al piso y, al rebotar, alcanza
una altura igual a la mitad de la altura inicial. Si su
velocidad, justo antes del choque, es de 20 m/s. Halle
su velocidad después del impacto. (g=10 m/s2).
a) 20 m/s b) 10 m/s c) 14,1 m/s
d) 28,2 m/s e) 40 m/s
51. Una pelota cae verticalmente desde una altura de 80 m
y, al chocar con el piso, se eleva con una velocidad que
es 3/4 de la velocidad anterior al impacto. Halle la altura
alcanzada después del choque. (g=10 m/s2).
a) 45 m b) 48 m c) 60 m
d) 46 m e) 52 m
52. Dos cuerpos inician una caída libre partiendo del
reposo y desde la misma altura con un intervalo de 1 s.
¿Cuánto tiempo después de que empieza a caer el
primer cuerpo estarán éstos separados por una distancia
de 10 m? (g=10 m/s2).
a) 1,8 s b) 2,5 s c) 1,2 s
d) 1,4 s e) 1,5s
53. El marco superior de una ventana de 8,25 m de altura
se ubica a 9 m del borde de la azotea del edificio. Desde
la azotea es lanzada verticalmente hacia abajo, una
moneda con una velocidad de 4 m/s. ¿En cuánto tiempo
la moneda pasará por toda la ventana? (g=10 m/s2).
a) 1,00 s b) 3,00 s c) 0,50 s
d) 0,75 s e) 1,50 s
54. Desde una misma altura, se deja caer un cuerpo y
simultáneamente otro se lanza hacia abajo con una
rapidez de 2 m/s. ¿Después de cuántos segundos estarán
separados 12 m? (g=10 m/s2).
a) 12 s b) 8 s c) 6 s
d) 4 s e) 2 s
55. Dos cuerpos, uno de los cuales es más pesado que el
otro, descienden en caída libre en las proximidades de
la superficie terrestre; entonces, podemos afirmar
correctamente:
I. La aceleración del cuerpo más pesado es igual a la
que adquiere el cuerpo menos pesado.
II. El tiempo de caída del cuerpo más pesado es
menor que el del cuerpo liviano.
III. Si la aceleración de la gravedad fuera 4,9 m, los
cuerpos lanzados verticalmente hacia arriba alcan-
zarían mayor altura.
a) Sólo I b) I y II c) I y III
d) Todas e) II y III
56. Marcan verdadero (V) o falso (F):
I. Si un cuerpo lanzado verticalmente desde el piso,
tarda "t" segundos en alcanzar su altura máxima;
entonces, demora "t/2" en subir la primera mitad de
dicha altura.
II. En un movimiento vertical de caída, libre se cumple
que en un mismo plano de referencia los vectores
velocidad de subida y bajada son iguales.
III. Cuando un cuerpo en caída libre llega al piso, lue-
go de estar quieto, la aceleración de la gravedad se
anula.
a) VFV b) FFV c) FFF
d) VVF e) VFF
57. Desde la azotea de un edificio de "H" metros de altura,
una persona arroja dos objetos "A" y "B", uno hacia
arriba y el otro hacia abajo, con velocidades "V"
respectivamente, en el mismo instante. ¿Cuáles de las
siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. En el momento que "A" alcanza su altura máxima
"B" impacta en el piso.
II. Cuando "A" alcanza su altura máxima, la magnitud
de la velocidad relativa de "B" respecto de "A" es 2V.
III. "B" impacta en el piso y luego de "2V/g" segundos
impacta "A".
TRILCE
55
A B
V
V
H
a) Sólo III b) Sólo II c) II y III
d) I y II e) Ninguna
58. Un globo aerostático asciende con rapidez constante
de 90 m/s. Cuando se encuentra a una altura "H", se
suelta un objeto desde el globo. Indicar las afirmaciones
verdaderas:
I. Para el observador "B", el objeto parte del reposo
sin aceleración.
II. Para el observador "A", el objeto parte con veloci-
dad inicial hacia abajo y con aceleración constante.
III. En t=2s, el objeto tiene velocidad diferente de cero
para el observador "B".
A
B
H
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II
d) Sólo III e) II y III
59. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con
velocidad "V", tal como se muestra. Señale las
afirmaciones correctas:
I. Para ningún instante de tiempo, la velocidad sera
"2V" en módulo.
II. Para el tiempo t=5V /2g, el móvil se encuentra por
debajo del plano de lanzamiento.
III. Para t=2V/g la velocidad media del cuerpo es cero.
V
plano de 
lanzamiento
a) Todas b) Sólo I c) Sólo II
d) II y III e) Sólo III
60. Al lanzar un objeto verticalmente hacia arriba, si
duplicamos su velocidad de lanzamiento, la altura
máxima que alcanza ...
a) permanece constante.
b) se duplica.
c) se reduce a la mitad.
d) se cuadruplica.
e) se triplica.
Física
56
Claves Claves 
b
d
d
c
c
c
c
b
d
a
a
c
b
c
c
a
c
a
a
e
d
e
a
e
e
e
a
d
b
e
c
a
e
e
b
a
a
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