I O 2 Inventarios Compra y Manufacturación

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Investigación de operaciones II 
 
Ing. Mario León López Inventarios 
 
MODELOS DE INVENTARIO 
 
“Inventario: Modelo de Compra Sin Déficit “ 
Este modelo se basa en las siguientes suposiciones: 
1.- La demanda se efectúa a tasa constante. 
2.- El remplazo es instantáneo (la tasa de remplazo es infinita). 
3.- Todos los coeficientes de costo (C1 , C2 , C3 ) son constantes. 
La siguiente figura ilustra esquemáticamente este modelo. 
 
 
 
En la figura se representa iguales el inventario máximo Im y la cantidad económica de pedido Q 
esto no siempre es verdadero. El tiempo t es el tiempo entre pedidos o el tiempo de un periodo. El 
periodo planeado T se toma como 1 año en la deducción, se hace esta suposición para simplificar, 
pero no impone ninguna limitación. 
El costo de este modelo está formado por tres componentes de costo: 
Costo total / año = costo unitario/año + costo de ordenar una compra/año + costo de mantener 
inventario/año. 
El costo total por año es este y en los siguientes modelos se obtiene determinando el costo total 
para periodo C’ y luego multiplicando este costo por el número de periodos por año: 
Con formato: Fuente: (Predeterminada) Verdana, 9 pto,
Color de fuente: Color personalizado(RGB(0,119,235))
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Costo total/año = costo total / periodo x número de periodos / año 
El costo unitario por periodo simplemente es el costo de Q unidades o C1Q donde C1 es el costo 
por unidad. 
Puesto que solamente se efectúa una compra por periodo, el costo de ordenar la compra es el 
costo de hacer un pedido, y se denomina C2 . 
El inventario promedio por periodo es Q / 2. Por consiguiente, el costo de mantenimiento del 
inventario por periodo es 
 
Donde C3 = costo de mantenimiento o costo de mantener una unidad de inventario 
durante 1 año, $/unidad-año 
t = tiempo de un periodo en años. 
 
El costo C’ por periodo es 
 Q 
C’ = C1Q + C2 + C3t 
 2 
El tiempo expresado de un periodo, expresado en años es 
 
donde D = demanda de un artículo particular en unidades/año. 
El numero N de periodos o pedidos por año es el reciproco de la ecuación anterior 
 
 
Por lo tanto 
 
 2C2D 
Q = 
 C3 
 
Que da la cantidad pedida a un costo mínimo y tiene como base un balance entre los dos costos 
variables (costos de almacenamiento y costos de compras) incluidos en el modelo. Cualquier otra 
cantidad pedida ocasiona un costo mayor. 
 Q 
C3 t 
 2 
 Q 
t = 
 D 
 D 
N = 
 Q 
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EJEMPLO La demanda de un artículo particular es de 18,000 unidades/año. El costo de 
almacenamiento por unidad es de $1,20 por año y el costo de ordenar una compra es de $400. No 
se permite déficit, y la tasa de remplazo es instantánea. Determinar: 
a) La cantidad óptima de pedido. 
b) El costo total por año si el costo de 1 unidad es $1. 
c) El número de pedidos por año. 
d) El tiempo entre pedidos. 
(a) La cantidad óptima pedida se calcula según la 
 
 2C2D 2 (400) (18,000) 
 Q = = = 3,465 unidades 
 C3 1,2 
 
 
(b) El costo total 
 D Q 18,000 3,465 
C =C1D + C2 + C3 = 1(18,000) + 400 + 1,2 
 Q 2 3,465 2 
 
= 18,000 + 2.078 + 2.078 = $22,156 por año 
 
Con formato: Fuente: (Predeterminada) Verdana, 9 pto,
Color de fuente: Color personalizado(RGB(0,119,235))
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( c ) El Número de pedidos por año 
 
 D 18,000 
N = = = 5.2 pedidos /año 
 Q 3,465 
 
(d) El tiempo entre pedidos es 
 1 Q 3,465 
t = = = = 0.1925 años 
 N D 18,000 
 
 
“Inventario: Modelo de Compra con Déficit “ 
 Este modelo tiene las mismas suposiciones que un modelo de compra sin déficit o EOQ solo que 
se permite el déficit. En consecuencia, se incurre en el costo de déficit. En la figura se ilustra este 
modelo. 
 
Por lo tanto: 
C’ = costo del articulo/año + costo de ordenar la compra/año +costo de almacenamiento/año + 
costo de déficit/año 
Por consiguiente, el costo por periodo es: 
 
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 Im S 
C’ = C1Q + C3t1 + C4t2 
 2 2 
 
Donde S/2 = número promedio de unidades agotadas por periodo 
C4 = costo de déficit de 1 unidad/año 
 
 D C3(Q – S)2 C4S2 
C = C1D + C2 + + 
 Q 2Q 2Q 
 
Ejemplo Retomando los datos del problema visto anteriormente tomando adicionalmente un 
costo de déficit por año de $5/unidad-año. 
 
 
 2C2D C3 + C4 
 Q = 
 C3 C4 
 
 
 Q = 3,465(1,114) = 3,860 unidades 
Para despejar el costo total, debe calcularse el número de unidades agotadas. 
 
 C3 1,2 
 
1,2 + 5 
 
S = Q = 3,860 = 747 unidades 
 C3+ C4 
 
Por consiguiente 
 
 18,000 1,2(3,860 – 747)2 5(747)2 
C = 18,000(1) + 400 + + 
 3,860 2(3,860) 2(3,860) 
 
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 C = 18,000 +1,865 + 1,507 +361 = $21,733 por año 
El número de pedidos por año es 18,000/3,680 = 4.89 
El tiempo entre pedidos es 1/ 4.89 = 0.204 año. 
“Inventario: Modelo de Manufacturación Sin Déficit “ 
Este modelo se basa en las siguientes suposiciones: 
1.- La demanda se efectúa a tasa constante. 
2.- La tasa de remplazo (la tasa de manufacturación) es finita y mayor que la tasa de demanda. 
3.- Todos los coeficientes de costo (C1 , C2 , C3 ) son constantes. 
La siguiente figura ilustra esquemáticamente este modelo. 
 
 
El procedimiento empleado en este modelo, para determinar la cantidad optima Q que debe 
manufacturarse es básicamente el mismo del modelo de compra sin déficit. Se incluyen los 
mismos tres componentes de costo, pero en este modelo el costo de ordenar la compra se 
remplaza por el costo de organizar una tanda de producción. 
 
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Si el costo de organizar una tanda de producción es C2, el costo por periodo es 
 Im 
C’ = C1Q + C2 + C3(t1+t2) 
 2 
 
Donde Im/2 es el inventario promedio por periodo. En la figura puede observarse que le tiempo 
entre tandas de producción (tiempo por periodo) t1 + t2, es 
 Q 
t1+t2 = 
 D 
 
Puesto que las unidades se utilizan de acuerdo a su definición, el inventario máximo por periodo 
es el tiempo de manufacturación t1, multiplicado por la tasa de acumulación, donde la tasa de 
acumulación es la tasa de manufacturación R menos la tasa de demanda D; por consiguiente 
Im = t1(R – D) (Ec. 1) 
El tiempo de manufacturación es el tiempo requerido para fabricar Q unidades, en termibnos 
matemáticos. 
 Q 
t1 = (Ec. 2) 
 R 
 
Sustituyendo (Ec. 2) en (Ec. 1) se obtiene 
 Q D 
Im = (R – D) = Q 1 - (Ec. 3) 
 R R 
 
Por lo tanto 
 2C2D 
Q = (Ec. 4) 
 C3 (1 – D/R) 
 
La ecuación anterior representa la cantidad que debe manufacturarse (costo mínimo) y es un 
balance de almacenamiento y los costos de organización de una tanda de producción. 
 
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Ejemplo La demanda de un articulo de una determinada compañía es 18,000 unidades/año, y la 
compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3,000 por mes. El costo de organizar una 
tanda de producción es $500 y el costo de almacenamiento de una unidad/mes es 15 centavos. 
Determinar la cantidad óptima que debe manufacturarse y el costo total por año suponiendo que 
el costo de 1 unidad es $2.00. 
La cantidad óptima que debe manufacturarse puede calcularse utilizando la Ec. 4 y suponiendo 12 
mese/año. 
 2(500) (18000) 
Q = = 4,470 unidades 
 0.15(12) {1 – 18000/3000(12)} 
 
El costo anual es 
 18,000 0.15(12)(4,470) 18,000 
C=18,000(2) + 500 + 1 - 
 4,4702 12(3,000) 
 
= 36,00 + 2.013 + 2.013 = $40,026 
Es interesante calcular otros términos. Por ejemplo, el inventario máximo es: 
 D 18,000 
Im = Q 1 - = 4,470 1 - = 2,235 unidades 
 R 12(3,000) 
 
Y el tiempo de manufacturación es 
 Q 4,470 
t1 = = = 0.1241 años 
 R 12(3,000) 
 
Además, el tiempo entre tandas de producción se calcula según la relación 
 Q Im Q 
t1 + t2 = + = 
 R D R 
 
= 0.1241 + 0.1241 = 0.2482 años 
 
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“Inventario: Modelo de Manufacturación con Déficit “ 
Las suposiciones de este modelo son iguales a las del modelo de manufacturación sin déficit o 
lotes de producción excepto que se permite déficit. En la siguiente figura se esquematiza este 
modelo. 
 
Ejemplo Los datos de este ejemplo serán los mismos que el modelo de manufacturación sin déficit, 
excepto que el costo de 1 unidad es $20 por año. 
 
 2C2D C3 + C4 
 Q = 
 C3(1 –D/R) C4 
 
 
 2(500) (18,000) 0.15(12) + 20 
 Q = 
 0.15(12) (1 – 18,000/12(3,000) 20 
 
 Q = 4,470(1,045) =4,670 unidades 
Para calcular el costo anual, debe calcularse el número de unidades agotadas. 
 C3 D 
 
R 
 
S = Q 1 - 
 C3+ C4 
 
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 0.15(12) 18,000 
S = 4,670 1 - 
 0.15(12) + 20 12(3,000) 
 
 1.8 
S = 4,670 (0.5) =193 unidades 
 21.8 
 
Por tanto, el costo total anual es 
 D C3 D 2 1 C4S2 1 
CT = C1D + C2 + Q 1- - S + 
 Q 2Q R 1-D/R 2Q 1-D/R 
 
 18,000 0.15(12) 18,000 2 
CT = 18,000(2) + 500 + 4,670 1 - -193 
 4,670 2(4,670) 12(3,000) 
 
1 20(193)2 1 
 + 
1 - 1800/12(3,000) 2(4,670) 1 – 18,000/12(3,000) 
 
CT = 36,000 +1,927 + 1,768 + 160 = $39,855 por año 
El inventario máximo es 
 D 
Im = Q 1 - - S 
 R 
 
 18,000 
Im = 4,670 1 - - 193 = 2,142 unidades 
 12(3,000) 
 
 Q 4,670 
t1 + t4 = = = 0,1298 año Tiempo de manufacturación 
 R 12(3,000) 
 
 Q 4,670 Tiempo entre tandas de 
t1 + t2 + t3 + t4 + = = = 0,2595 año Producción 
 D 18,000