Ecuaciones_Herramientas_Matematicas_I_Al

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Ecuaciones 
Herramientas 
Matemáticas I - 
Álgebra 
 
 
 
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Ecuación líneal con una sola 
variable (incógnita) 
 
Una ecuación es una igualdad algebraica. Cuando hablamos de ecuación 
lineal en matemática, tiene un sentido más amplio que decir que se refiere 
a una recta. Así, por ejemplo, la expresión algebraica: 
 � + = − 
 
Se trata de una igualad que se verifica para cierto valor de la incógnita que 
se representa con la letra x, pero que puede ser representada por cualquier 
letra, − � + = ; en esta ecuación, la incógnita está representada por 
la letra m. 
 
Los valores que satisfacen la ecuación reciben el nombre de soluciones o 
raíces de la ecuación. 
 
Por lo tanto, de modo general diremos que: U a ecuació li eal e u a 
variable x es una ecuación donde la incógnita está elevada a 1, y en general 
puede escribirse de la forma � + = , donde a y b son constantes y el 
valor a es disti to de cero (Schaposchnik, 2007, p. 2) 
 
 
Resolución de ecuaciones 
 
Resolver una ecuación es el proceso de encontrar su raíz. Para resolver una 
ecuación, se transforma la ecuación original en una ecuación más simple a 
través de operaciones algebraicas. Esta ecuación más simple admite las 
mismas raíces que la ecuación original. 
 
 
Ecuaciones equivalentes 
 
Dos ecuaciones son equivalentes solo si tienen las mismas soluciones 
(raíces). 
 
Para pasar de una ecuación a otra equivalente, se utilizan las siguientes 
operaciones algebraicas: 
 
1) sumar y restar algebraicamente a ambos miembros de la igualad la 
misma expresión; 
 
 
 
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2) multiplicar o dividir ambos miembros de la igualdad por un mismo 
factor no nulo. 
 
 
Por lo general, el estudiante, para encontrar el valor de x, usa reglitas, 
tales como: lo que está sumando pasa restando, lo que está dividiendo 
pasa multiplicando 
 
 
El uso de reglas para resolver ecuaciones es correcto, tienen las mismas el 
objetivo de reemplazar las operaciones ya enunciadas por una forma más 
abreviada. 
 
Veamos un ejemplo a continuación. Para resolver la siguiente ecuación, 
podemos hacer así: 
 � − = 
 � − + = + 
 
Sumamos 15 a ambos lados de la igualdad. Cancelamos en el primer 
miembro y operamos en el segundo. 
 � = 
 � . = . 
 
Multiplicamos por 4 en ambos miembros. Cancelamos en el primer 
miembro y operamos en el segundo. 
 � = la solución es 100 
 − = 
 
Lo comprobamos reemplazando la incógnita por el valor que obtuvimos y 
resolviendo todas las operaciones. Si la solución es correcta, debe 
verificarse la igualdad. 
 
 
 
 
 
 
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Las ecuaciones como herramienta para resolver 
problemas 
 
Las ecuaciones son importantes a la hora de resolver problemas y el éxito 
de nuestro trabajo dependerá, en principio, de la traducción que hagamos 
al lenguaje matemático de dicho problema. Veamos la siguiente tabla: 
 
Tabla 1: Traducción del lenguaje coloquial a lenguaje simbólico 
 
Enunciado Ecuación 
El doble de un número es igual a 
15. 
2.x = 15 
El consecutivo de un número es 
igual a -3. 
x+1 = -3 
El opuesto del doble de un 
número es igual a 9. 
-2x = 9 
La suma de un número y su 
consecutivo es 12. 
x+(x+1) = 12 
La suma de un número y su 
antecesor es igual a la mitad de 
dicho número. 
x+(x-1) = x:2 
 
Fuente: elaboración propia. 
 
Resolvamos ahora una situación problemática particular. 
 
 
El gerente de producción de una pequeña empresa dispone 
de un presupuesto de 8000 dólares que desea destinar 
totalmente a la producción mensual, sabe que los gastos fijos 
ascienden a 500 dólares por mes y que el costo de fabricación 
de cada producto es de 30 dólares. Se pregunta, bajo estas 
condiciones, ¿Cuántas unidades como máximo podrá producir 
por mes? 
 
 El primer paso para resolver un problema es analizar 
detenidamente la situación, estableciendo cuales son las 
incógnitas y cuáles son los datos. 
x = ca tidad de u idades a producir por es . 
 
 Los valores 30, 500 y 8000 dólares son los datos. Producir 
una unidad cuesta 30 dólares, el costo de producción será: 
 
 
 
5 
 � 
 
 Pero además existe un gasto fijo de 500 dólares, 
independientes de las cantidades producidas, que se agregan 
al gato total: 
 � + 
 
 Si el gerente dispone de un presupuesto de 8000 dólares, 
quiere decir que el gasto máximo que puede realizar es ese 
monto, por lo tanto la situación planteada puede ser 
representada algebraicamente por la ecuación: 
 � + = (Stanecka, 2007, p.2). 
 
Resolviendo la ecuación con las operaciones algebraicas, obtenemos: � = − � = � = : � = 
 
El gerente de la empresa podrá producir, de acuerdo con su presupuesto, 
250 unidades mensuales. 
 
 
Cantidad de soluciones de una ecuación 
 
Algunas ecuaciones pueden tener más de una solución, o ninguna solución, 
o bien una única solución. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
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Tabla 2: Soluciones de una ecuación 
 
Una solución Infinitas soluciones Ninguna solución 
3x + 15 = 10 
3x = 10 -15 
3x = -5 
x = -5/3 
3x - 3 = 3.(x-1) 
3x - 3 = 3x - 3 
3x - 3x = -3 + 3 
0x = 0 
x admite infinitas 
soluciones. 
x - 3 = x + 9 
x - x = 9 + 3 
0x = 12 
No existe un valor 
de x que cumpla 
con la igualdad 
(todo número 
multiplicado por 0 
da como resultado 
0). 
 
Fuente: elaboración propia. 
 
 
 
 
 
 
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Referencias 
 
Schaposchnik, R., Legorburu, N., Garaventa, L., y Rodas, P. (2007). Nueva 
carpeta de matemática (1.a ed.). Buenos Aires: Aique Grupo Editor. 
 
Stanecka, N. (2007). Herramientas matemáticas I Álgebra. Córdoba: Dpto. 
de Ciencias Exactas.