Tema_1_Algebra_Lineal_Matematicas_TEMA_1

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Tema 1 Álgebra Lineal Matemáticas 
TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL 
 
1- VECTORES DE ℝ n 
Definición 1 
ℝ n = { ( x 1 , x 2 , . . . , xn ) / x 1 , x 2 , . . . , xn ∈ℝ } (n-tuplas de nos reales ordenadas) 
 Definimos en este conjunto 2 operaciones: 
 Suma (+) 
 Para cualesquiera 2 elementos, ( x1 , x 2 , . . . , xn ) , ( y 1 , y 2 , . . . , yn ) de ℝ
n 
( x 1 , x 2 , . . . , xn ) + ( y 1 , y 2 , . . . , yn ) = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , xn + y n ) 
 Producto por un escalar ( .ℝ ) 
λ.( x 1 , x 2 , . . . , xn ) = (λ x 1 , λ x 2 , . . . , λ x n ) 
 El conjunto ℝ n con estas dos operaciones tiene estructura de espacio vectorial y 
por ello sus elementos pueden ser llamados vectores. 
Definición 2 
 El vector v ∈ ℝ n se dice que es combinación lineal de los vectores v1,v2,....,vr 
si existen escalares (números reales) c1,c2,....,cr tal que v = c1v1+c2v2+......+crvr. 
Ejemplo. En ℝ n el vector (5,13,2) es combinación lineal de los vectores (2,1,2) y 
(1,4,0) pues existen los dos números: 1 y 3 tales que (5,13,2) =1.(2,1,2) +3.(1,4,0), por 
lo tanto el primer vector es combinación lineal de los otros dos. 
Definición 3 
 Los vectores v1,v2,....,vr ∈ ℝ n se dicen linealmente independientes (l.i.) ( o 
bien, que la familia de vectores{ v 1,v2,....,vr } es libre ) si cualquier combinación lineal 
de ellos igualada a “0” obliga a que todos los escalares sean cero, es decir 
 Si c1 v1+c2 v2+......+cr vr = 0 (vector nulo de ℝ
n
) ⇒ c1 = c2=.....= cr =0 
 Si la familia de vectores no es libre, se dice que los vectores v1,v2,....,vr son 
linealmente dependientes o que la familia { v1,v2,....,vr } es ligada. 
Ejemplo. Los vectores (1,2) y (2,5) de ℝ 2 son linealmente independientes, pues si 
existen dos escalares c1 y c2 tales que c1.(1,2) + c2.(2,5)=(0, 0) (el "0" de ℝ 2) implica 
 
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Tema 1 Álgebra Lineal Matemáticas 
que (c1+2c2,2c1+5c2)=(0,0) luego . Resolviendo este sistema se obtiene 
que c1 = c2 = 0. Por lo tanto son linealmente independientes. Sin embargo no lo son los 
vectores (1,2) y (2,4). 
⎩⎨
⎧
=+ 05c2c 21
21 =+ 02cc
Propiedades 
i) Si una familia de vectores es libre ningún vector de ésta se puede poner como 
combinación lineal de los demás. 
ii) Cualquier familia de vectores que contenga al vector nulo no es libre. 
iii) Si S es una familia libre de vectores entonces cualquier subfamilia de S también lo 
es. 
iv) En ℝ n, los n vectores 
 
(*) con aij∈ℝ y aii ≠ 0, son linealmente 
independientes. Por iii), cualquier subfamilia de esa familia también es libre. 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪
⎨
⎧
)a,0,...0,(0,
.............................
.............................
)a,...,a0,(0,
)a,.......,a(0,
)a,.......,a,(a
nn
3n33
2n22
1n1211
Ejemplo. En ℝ 4 la familia de vectores { (1,2,4,5), (0,2,0,1), (0,0,3,1), (0,0,0,4)} es 
libre. Pero también lo son por ejemplo sus subfamilias: { (1,2,4,5), (0,2,0,1), (0,0,0,4)} 
o { (0,0,3,1), (0,0,0,4)}. 
 La ventaja de la familia anterior (*) es que si los vectores son de ese tipo, resulta 
sencillo ver que son linealmente independientes. 
 
2- MATRICES DE NÚMEROS REALES 
 Una matriz A de números reales de orden (n x m) es una colección de números 
reales dispuestos en “n” filas y “m” columnas de la forma 
A= . 
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−
nmnnn
m
m
m
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
..............
..............
..............
..............
321
3333231
2232221
1131211
Notación: A = (aij) ∈Mnxm. 
 
 
 
 2 
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Definición 4
• Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada. Notación: A∈Mn 
• Dada A ∈Mn, se dice que es triangular superior si aij = 0 ∀ i > j. 
- se dice que es triangular inferior si aij = 0 ∀i < j. 
- se dice que es diagonal si aij = 0 ∀ i≠j. 
- se dice que es escalar si es una matriz diagonal tal que aii = t ∀ i. Si t = 1 entonces se le llama matriz identidad o unidad. 
Notación: In. 
• Una matriz de orden (1 x m) se le llama Matriz fila . 
• Una matriz de orden (n x 1) se le llama Matriz columna. 
• Dada una matriz A = (aij) ∈Mnxm, se le llama matriz traspuesta de A, a una matriz 
B = (bij) ∈Mmxn tal que bij = aji ∀i, j. Notación B = At. 
• Una matriz A se dice simétrica si At =A (aij = aji ∀i, j). 
• Una matriz A se dice antisimétrica si At = -A (aij = - aji ∀i, j). 
 
Operaciones con matrices 
Suma de matrices Sean dos matrices A = (aij) y B = (bij) ∈Mnxm 
 A+B = C = (cij) con cij = aij + bij ∀i,j 
Producto por un escalar Dada A = (aij) ∈ Mnxm, t ∈ ℝ 
 t.A = C = (cij) con cij = t.aij ∀i,j 
Producto de matrices Dadas dos matrices A = (aij) ∈Mnxm y B = (bij)∈Mmxp 
 
 A.B = C = (cij) ∈Mnxp con cij = ai1 . b1j +ai2 .b2j +.......+aim .bmj = 
 = (fila i de A). (columna j de B) 
- Propiedades del producto de matrices - 
• El producto de matrices no es conmutativo: A.B ≠ B.A 
• El producto de matrices es asociativo: A.(B.C) = (A.B).C 
• El producto de matrices es distributivo respecto de la suma: A.(B+C) = A.B + A.C 
y (B+C).A = B.A + C.A 
 
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• Se verifica que ∀A∈Mn A.In=In.A, In = (matriz identidad) 
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−−
−−−−−−−−
1..............000
0..............100
0..............010
0..............001
 
Ejemplo
1) Dadas A = , B = y C = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
31
21 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
612
051 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− 601
612
 
 Comprobar que A.(B+C) = A.B + A.C 
 
2) Si son A = y B = , comprobar A.B ≠ B.A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
31
21 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
53
12
 
3- DETERMINANTES 
 El determinante es una función D que asocia a cada matriz cuadrada A un 
número real D(A) = ⎜Α ⎜= det A. D: Mn (ℝ ) ∼∼∼∼→ ℝ 
 A ∼∼∼∼→ D(Α)= ⎜Α ⎜ 
 Hay varias formas de definir el determinante de una matriz. Daremos una 
definición inductiva. 
Definición 5 
• Dada una matriz A de orden (1 x 1) A = (a11), ⎜Α ⎜= a11 
• Sea A = (aij) ∈ Mn(ℝ ). Suponemos definido el determinante de las matrices 
cuadradas de orden (n-1). Para cada i, j fijos (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n), sea Aij la matriz 
cuadrada de orden (n-1) que resulta de suprimir en la matriz A la fila i y la columna 
j. 
Definimos: 
⎜Α ⎜= jijji in
1j
Aa1)(∑ −= + = jijji i
n
1i
Aa1)(∑ −= + 
 La primera expresión se llama desarrollo de un determinante por los elementos 
de la fila i- ésima. La segunda, desarrollo por los elementos de la columna j-ésima. 
 
 4 
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Determinante de una matriz (2 x 2) 
2221
1211
aa
aa
= (-1)1+1. a11. ⎜a22 ⎜+ (-1) 1+2.a12.⎜a21 ⎜= a11.a22 - a12.a21 
 Comprobar que el determinante es el mismo si desarrollamos por la segunda fila 
o por cualquiera de las columnas. 
Determinante de una matriz (3 x 3) 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
= (-1)1+1. a11. 
3332
2322
aa
aa
+ (-1)1+2.a12. 
3331
2321
aa
aa
+ (-1)1+3. a13. 
3231
2221
aa
aa
 
 = a11.( a22.a33 - a23.a32 ) - a12.( a21. a33 - a23.a31 ) + a13.( a21.a32 - a22.a31 ) 
 = a11. a22.a33 + a12.a23.a31 + a13. a21.a32 - a11.a23.a32 - a12. a21. a33 - a13. a22.a31
Ejercicio. El determinante de una matriz triangular superior (o inferior) es igual al 
producto de los elementos de su diagonal principal. 
 
nn
2n22
1n1211
a...00
............
a.......a0
a.......aa
= a11.a22......ann 
Propiedades de los determinantes 
1) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta ⎜Α ⎜= ⎜ΑT ⎜ 
2) Si multiplicamos una fila ( o columna) por un escalar t el determinante queda 
multiplicado por este escalar. 
⎜A 1 , A 2 , . . . . , t . Ai , . . , An ⎜= t. ⎜ A 1 , A 2 , . . . . , Ai , . . , An ⎜= t. ⎜Α ⎜ 
En consecuencia ⎜t.Α ⎜= ⎜t . A 1 , t . A 2 , . . . . , t . Ai , . . , t . An ⎜= tn. ⎜Α ⎜ 
3) Si intercambiamos entre sí dos filas ( o dos columnas) el determinante cambia de 
signo. 
4) Si A 1 , A 2 , . . , . , An , B 1 , B 2 , . , . , Bn son vectores fila, entonces ∀i = 1,......,n 
⎜A1,A2,..,Ai + Bi,.,An⎜ = ⎜A1,A2,..,Ai,.,An⎜ + ⎜A1,A2,..,Bi,.,An⎜ 
5) Si dos filas ( o columnas) son igualeso proporcionales el determinante vale cero. 
6) Si sustituimos una fila Ai por Ai + t.Ak i ≠k (e. d. si a una fila le sumamos una 
combinación lineal de otra), el determinante no varía. 
 
 5 
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 (Las propiedades 4) y 6) tienen sus análogas para columnas) 
 Estas propiedades permiten calcular ⎜Α ⎜ triangulando la matriz. 
7) Si A, B ∈Mn(ℝ ), se verifica que: ⎜Α.B ⎜= ⎜Α ⎜.⎜B ⎜ 
Ejercicios 
i) Calcular 
1012
2231
1211
2101
−
−−
 
1012
2231
1211
2101
−
−−
 = 
3210
0130
1310
2101
−−−
 = 
321
013
131
−−−
 = 
210
380
131
−
−− = 
= 
21
38
−
−−
 = (-8) (-2) – (-3) = 16 + 3 = 19 
 ii) Probar que 
3333
2222
1111
tzyx
tzyx
tzyx
 = (y - x). (z - x). (z - y). (t-x). (t - y). (t - z) 
iii) Probar que 
x
x
x
x
111
111
111
111
 = (x + 3).(x - 1)3 
Una aplicación de los determinantes: El cálculo de la inversa de una matriz 
 
Definición 6
 
Sea A una matriz cuadrada de orden n; se dice que A es una matriz regular o 
inversible si existe otra matriz cuadrada de orden n, B, tal que A.B = B.A = In. La 
matriz B se llama inversa de A y se representa por A-1. 
 
 
 6 
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A continuación mostraremos una forma para calcular la inversa de una matriz 
dada a partir del cálculo de varios determinantes. Antes necesitamos conocer otra 
definición. 
Definición 7 
 Dada la matriz A = (aij) ∈ Mn(ℝ ), se llama adjunto del elemento aij , y se 
representa por Ai
w 
j , al número Ai
w 
j =(-1)i+j. ⎜Αij ⎜. Se llama matriz adjunta de A, 
Adj(A), a la matriz que resulta de sustituir en A cada elemento por su adjunto, es decir: 
Adj(A) =( Ai
w 
j ). 
 Teniendo en cuenta esta definición, la inversa de una matriz A es la matriz 
A-1 = )(
1 TAAdj
A
 
Ejercicio: Calcular la inversa de la matriz A = ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−101
412
301
 ⎜Α ⎜= 
10
41
− + 3. 01
12
 = -1 - 3 = -4 
AT = , Adj (A⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−143
010
121
T) = , A-1 = ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
101
246
301
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
4
104
1
2
112
3
4
304
1
 
 
4- RANGO DE UNA FAMILIA DE VECTORES 
 
Definición 8 
 Llamaremos Rango de la familia de vectores de ℝ n, { v1,v2,....,vr}, al máximo 
número de vectores linealmente independientes existentes en esa familia. 
Nota. En ℝ n, el rango de cualquier familia de vectores no puede ser mayor estricto que 
“n”, es decir siempre ha de ser menor o igual a “n”. 
Ejemplos: 
a) El rango de la familia de ℝ 4 { (1,2,4,5), (0,2,0,0), (0,0,3,1), (0,0,0,4)} es 4 
puesto que son linealmente independientes. 
 b) El rango de la familia de ℝ 3 { (1,2,4), (0,2,0), (0,0,0)} es 2. Recordar que el 
vector nulo, (0,0,0), no puede estar en ninguna familia libre (propiedad ii)), los 2 
 
 7 
Tema 1 Álgebra Lineal Matemáticas 
vectores restantes (1,2,4) y (0,2,0) son l.i. y por tanto “2” es el máximo número de 
vectores linealmente independientes. 
Operaciones elementales con vectores 
 Las siguientes operaciones no modifican el rango de una familia de vectores y 
por lo tanto pueden ser realizadas en dicha familia sin que éste cambie: 
1) Sumarle a un vector una combinación lineal de otro. 
rg { v1,v2,..., vi, ....,vk,......,vr} = rg { v 1,v2,..., vi, ....,vk+t.vi,......,vr} ∀ t∈ℝ . 
2) Multiplicar un vector por un escalar distinto de 0. 
rg { v1,v2,..., vi, .............,vr} = rg { v 1,v2,..., s.vi, .............,vr} ∀ s ∈ℝ , s ≠0. 
3) Intercambiar entre sí dos vectores de la familia. 
rg { v1,v2,..., vi, ....,vk,......,vr} = rg { v 1,v2,..., vk, ....,vi,......,vr} 
Ejemplos. Calcular el rango de las siguientes familias de vectores: 
1) { (1,2), (3,1)} de ℝ 2 
 1 2 1 2 
 ≈ El rango de la 2ª familia es 2, luego el 
 3 1 0 -5 de la 1a también es 2. 
2) { (1,1,1), (3,3,3)} de ℝ 3 
 1 1 1 1 1 1 El rango de la 2a es 1 luego 
 ≈ también el de la 1a. 
 3 3 3 0 0 0 
3) { (1,0,0,4), (3,3,3,0), (2,0,0,8), (1,1,1,1)} de ℝ 4 
 1 0 0 4 1 0 0 4 
 3 3 3 0 0 3 3 -12 
 2 0 0 8 ≈ 0 0 0 0 ≈ 
 1 1 1 1 0 1 1 -3 
 
 1 0 0 4 1 0 0 4 
 0 1 1 -3 0 1 1 -3 ≈ 0 3 3 -12 ≈ 0 0 0 -3 
 0 0 0 0 0 0 0 0 
 
 
 
 8 
Tema 1 Álgebra Lineal Matemáticas 
 El rango de la 4a familia es 3, pues los tres primeros vectores son l.i. (el último 
no lo es pues es el vector nulo de ℝ 4 ) y éste será el de la 1a familia. 
 
5- RANGO DE UNA MATRIZ 
 Dada una matriz A= de orden (n x m), se puede 
interpretar como m vectores columna, de ℝ n, que son las m columnas de A: 
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−
nmnnn
m
m
m
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
..............
..............
..............
..............
321
3333231
2232221
1131211
A = ( )m21 A.,..........,A,A 
A1 = ( )n12111 a.....,,a,a , ................... , Am = ( )nm2m1m a.....,,a,a 
o como n vectores fila, de ℝ m , que son las n filas de A: 
A = ( )A1,A2,...,...,An 
A1 = ( )m11211 a........,,a,a , ..................., An = ( )mnn2n1 a........,,a,a 
Definición 9 
• Sea A una matriz de orden (n x m). Se define el rango de A como el rango de la 
familia formada por sus vectores fila o el de la formada por sus vectores columna. 
rg A = rg { A 1 , A 2 , . . . , An } = rg { A 1 , A 2 , . . . , Am } 
 
 • Dos matrices A y B ∈M nxm , se dicen equivalentes si tienen el mismo rango. 
Notación. A ≈ Β. 
 
Ejemplo: 
Probar que rg A = 3 y rg B = 2 siendo A = y B = ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
100
520
001
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
3603
1414
0615
3012
1201
- Los 3 vectores fila de A son independientes, luego rg A = 3. 
- Calculemos ahora el rango de B. 
 
 9 
Tema 1 Álgebra Lineal Matemáticas 
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
3603
1414
0615
3012
1201
 ≈ ≈ luego rg B = 2. 
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
0000
5410
5410
5410
1201
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
0000
0000
0000
5410
1201
 
Propiedad: Recuerda la propiedad 5) de los determinantes, decía: 
5) Si dos filas ( o columnas) son iguales o proporcionales, el determinante vale cero. 
Date cuenta que si dos filas (o columnas) son iguales o proporcionales, el rg A <n. 
Puede afirmarse que se verifica la siguiente propiedad más general: 
⎜Α ⎜ = 0 ⇔ rg A < n ; o lo que es lo mismo ⎜Α ⎜ ≠ 0 ⇔ rg A = n. 
 
6- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
Definición 10 
Denominamos Sistema lineal de n ecuaciones con m incógnitas a un conjunto de 
ecuaciones de la forma: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
=+++
=+++
nmnmnn
mm
mm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
......
......
......
2211
22222121
11212111
donde aij , bi ∈ℝ 1 ≤ i ≤n 1 ≤ j ≤ m 
 Los elementos aij son los coeficientes del sistema, xj son las incógnitas y los bi 
son los términos independientes. El sistema se puede expresar de forma matricial: 
( I ) . = ⇔ A.X = b 
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−
nmnnn
m
m
m
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
..............
..............
..............
..............
321
3333231
2232221
1131211
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
mx
x
x
x
..
..
3
2
1
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
nb
x
b
b
..
..
3
2
1
 A la matriz A se le llama Matriz de coeficientes del sistema y a la matriz (A b) 
Matriz ampliada del sistema. 
 
 10 
Tema 1 Álgebra Lineal Matemáticas 
Definición 11 
• Llamaremos solución del sistema ( I ) a cualquier m-tupla (z1, z2,....,zm) ∈ ℝ m tal 
que al sustituir estos valores zi en las incógnitas se cumplan las n ecuaciones del 
sistema. 
Conjunto de soluciones del sistema = { (z1, z2,...., zm) ∈ ℝ m | v erifican ( I ) } 
• El sistema ( I ) se dice Compatible si posee alguna solución e Incompatible en 
caso contrario. 
• Si b = el sistema se llama Homogéneo. 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0
..
0
0
• Dos sistemas se dicen equivalentes si y sólo si tienen las mismas soluciones. 
Operaciones elementales (*) que no alteran las soluciones de un sistema de ecuaciones 
 Haciendo uso de ellas se irán obteniendo sistemas equivalentes: 
1-Intercambiar entre sí dos ecuaciones (equivale a intercambiar entre sí dos filas de la 
matriz ampliada) 
2- Multiplicar una ecuación por un escalar distinto de cero (equivale a multiplicar una 
fila de la matriz ampliada por ese escalar) 
3- Sumarle a una ecuación otra multiplicada por un escalar cualquiera (equivale a 
sumarle a una fila de la matriz ampliada una combinación lineal de otra) 
Teorema de Rouché-Frobenius 
El sistema (I) tiene solución ⇔ rg(A) = rg(A b) 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧
==
<=
≠
oDeterminadCompatibleSistemaincógnitasdenºb)A(rg)A(rgSi
adoIndeterminCompatibleSistemaincógnitasdenºb)A(rg)A(rgSi
leIncompatibSistema)bA(rg)A(rgSi
 
Nota: Un sistema homogéneo siempre tiene solución (la solución es x1 = 0,..., xm = 0) 
luego es siempre es Compatible. 
 
 11 
Tema 1 Álgebra Lineal Matemáticas 
Método de eliminación de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones 
 Dado el sistema de ecuaciones lineales A.X = b podemos transformarlo, 
haciendo las operaciones elementales indicadas en (*), en otro equivalente que resulte 
más sencillo de estudiar. 
Ejemplos 
1) Estudiar y resolver el siguiente sistema 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++
−=−+
=++−
=−++
43
23
22
1
321
421
4321
4321
xxx
xxx
xxxx
xxxx
A = (A b) = 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
0311
3011
2111
1111
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
40311
23011
22111
11111
Haremos operaciones elementales en la matriz ampliada del sistema, (A b): 
(Α b) ≈ ≈ ≈ 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−
−
31200
32100
13020
11111
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−−
−
−
33000
32100
13020
11111
 El sistema inicial es equivalente a 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−
−
11000
32100
13020
11111
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−=−−
=+−
=−++
1
32
132
1
4
43
42
4321
x
xx
xx
xxxx
 
 En este último sistema rg(A) = rg(A b) = 4 (nº incógnitas) luego es sistema 
compatible determinado y por tanto tiene una única solución que es: 
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 1; x4 = 1 
 
2) Calcular los valores de a y b para que el siguiente sistema homogéneo tenga solución 
no trivial 
 
 
 
 
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Tema 1 Álgebra Lineal Matemáticas 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
=
=+
0xx
0bx-x-2x
0x-x-x
0xxa-x
32
321
321
321
 
 
 Se trata de un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas. Para que tenga solución 
no trivial es necesario que el rango de la matriz de coeficientes (que coincide, por ser 
homogéneo, con el rango de la matriz ampliada) sea menor que 3 
 
 
(A b) ≈ ≈ ≈ 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0110
0b-1-2
01-1-1
01a-1
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0b-1-2
01a-1
0110
01-1-1
 
 ≈ 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0b-210
02a-10
0110
01-1-1
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
0b-100
01a00
0110
01-1-1
 
Por lo tanto es necesario que a + 1 = 0 y 1 – b = 0. Luego sólo en el caso en 
el que a = -1 y b = 1 se verifica que el rg (A ) = rg (A b) <3. 
 
 Para cualesquiera otros valores de a y b ( a ≠ -1 o bien b ≠ 1) se verifica que 
rg (A) = rg (A b) = 3 = nº de incógnitas, sería compatible determinado y por tanto 
tendría solución única, la trivial ( x1 = x2 = x3 = 0). 
 
3) Estudiar el siguiente sistema ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=+++
+=+++
+=+++
42a1)z(ayx
3az1)y(ax
1azy1)x(a
A = (Ab) = ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
1a11
11a1
111a
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−+
++
++
42a1a11
3a11a1
1a111a
 
Empezamos calculando el determinante de la matriz del sistema, operando obtenemos: ⎜Α ⎜= (a+3) a2. Según este resultado se tiene que: 
 • Para cualesquiera valores de a ≠ -3, 0, se verifica que rg (A) = rg (A b) = 3 = 
nº de incógnitas, el sistema sería compatible determinado y por tanto tendría 
solución única. 
 • Si a = 0, tenemos 
 
 
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Tema 1 Álgebra Lineal Matemáticas 
(A b) = ≈ ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− 4111
3111
1111
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− 5000
2000
1111
 
En este caso se verifica que rg (A) =1 ≠ rg (A b) = 2, luego el sistema sería 
incompatible y por tanto no tendría solución 
 
 • Si a = -3, tenemos 
 
(Ab)= ≈ ≈ ≈ ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
2211
0121
2112
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
2112
0121
2211
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
2330
2330
2211
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
0000
2330
2211
 
 
En este caso se verifica que rg (A) = 2 = rg (A b) ≠ nº de incógnitas, luego el 
sistema sería compatible indeterminado y por tanto tendría infinitas soluciones. 
 
 
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	Definición 1
	Definición 2
	Definición 3
	Propiedades
	Operaciones con matrices
	- Propiedades del producto de matrices -
	Definición 5
	Propiedades de los determinantes
	Ejercicios
	Una aplicación de los determinantes: El cálculo de la inversa de una matriz
	A continuación mostraremos una forma para calcular la inversa de una matriz dada a partir del cálculo de varios determinantes. Antes necesitamos conocer otra definición.
	Definición 7
	Ejercicio: Calcular la inversa de la matriz A = 
	Definición 8
	Definición 9
	Definición 10
	Definición 11
	Operaciones elementales (*) que no alteran las soluciones de un sistema de ecuaciones 
	Teorema de Rouché-Frobenius
	Método de eliminación de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones
	Ejemplos