funcion exponencial y logaritmica

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MATERIAL COMPLEMETARIO DE MATEMÁTICA 
(Módulo 3) 
 
 
 
 
Prf. Graciela Carranza 
 
2023 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE INTERACTIVO: 
FUNCIÓN EXPONENCIAL .................................................................................................................................. 2 
VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL .................................................................................................. 4 
VARIACIONES DE LOS ELEMENTOS ........................................................................................................ 4 
FUNCIÓN LOGARITMICA: ................................................................................................................................ 11 
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE ....................................................................................................... 15 
ANALISIS DE LA FUNCION LOGARITMICA ......................................................................................... 16 
DESPLAZAMIENTOS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA .................................................................................. 18 
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS .......................................................................................................... 22 
ECUACIONES LOGARITMICAS ....................................................................................................................... 25 
 
 
 
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2 
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 
 
 
 
 
VARIACIONES DE LOS ELEMENTOS 
VARIACIONES DE a 
El comportamiento de la función exponencial es diferente según sea: a  1 
ó 0a  1 
Se observa que: 
• Todas ellas tienen un punto común que es el (0 ; 1) 
• Cuando a > 1 la función es creciente 
• Cuando 0 < a < 1 la función es decreciente 
• Entre los exponentes de base recíproca hay simetría axial de eje x = 0. Engeneral: y = ax es 
simétrica de y =1/ ax 
 
 
 
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VARIACIONES DE K – Expansiones – Contracciones - Reflexiones cuando la función exponencial es 
de la forma y = k . a X 
 
 
Si se mantiene constante el valor de a se observa qué sucede cuando varía k, siendo k una 
constante que multiplica a la función exponencial. 
 
Se observa que: 
 
• La ordenada al origen coincide con el valor de k. 
 
• Si k > 1 se produce una expansión de la 
función. Por ejemplo: 
y = 2x comparada con y = 4 . 2x 
 
• Si k <1 se produce una contracción de la función. Por ejemplo: 
y = 2x comparada con y = 0,5 . 2x 
 
• Para valores de k opuestos las funciones resultan con simetría axial de eje y=0. Se ha producido 
una reflexión sobre el eje x. Por ejemplo: 
y = 2x comparada con y = - 2x 
y = 0,5 . 2x comparada con y = -0,5 . 2x y = 4 . 2x con y = -4 . 2x 
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Como se ve las curvas resultan simétricas respecto del eje de abscisa. 
 
 
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Desplazamiento Vertical: 
f(x) = ax + c donde c  IR, c indica el corrimiento sobre el eje y 
 
 
 
 
 
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Desplazamiento Horizontal: 
f(x) = ax – b, donde b indica el corrimiento según el eje x 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
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9 
 
Actividad: 
 
 
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11 
 
 
 
FUNCIÓN LOGARITMICA: 
 
 
 
 
Sea f una función definida de IR+ en IR, se llama función logarítmica a la función inversa de la 
función exponencial. 
 
 
Como son funciones inversas su dominio y su imagen se intercambian. 
Para obtener una función logarítmica se intercambian las variables en y=bx, 
como consecuencia, calcular un logaritmo es buscar un exponente que verifica la función 
exponencial. 
La asíntota horizontal se convierte en asíntota vertical. 
Ejemplo: 
Construiremos las gráficas que representa las funciones y=2x y su inversa y= log2 x. 
Se debe tener en cuenta que por ser la función logarítmica inversa de la 
exponencial los valores obtenidos para y (imagen de la función), en el caso de f(x)= 2x, pueden 
ser tomados como elementos de dominio (elementos de x) para la función f(x) = log2 x. 
Y a su vez, los elementos de dominio de la primera serán considerados imagen de 
la segunda; como se muestra en las siguientes tablas reducidas: 
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• 
• 
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Actividad: 
1) Utilizando la calculadora, completa, de ser posible, las tablas de valores 
comparativos de las funciones: y = 3x, y= log3 x e y = x, en las que se observa 
que la función logarítmica no está definida para x = 0 ni para valores negativos. 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO: 
REPRESENTACIÓN GRAFICA: Y=log2 𝑥 
Para construir una tabla de valores se eligen los valores x en este ejemplo se elije 8, 4, 2, 1. 
Luego se reeplaza cada valor de x en la función dada. 
Se calcula el logaritmo y se obtiene el valor de y. 
Se marcan los puntos en el sistema xe y, se unen trazando la curva 
 
x Y (Reeplazamos la 
variable) 
En la calculadora (no es necesario colocar la 
base 10) Se divide el log del argumento con 
el log de la base 
Puntos 
(x;y) 
8 log2 8= 3 log10 8= 3
 
log10 2 
(8; 3) 
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4 log2 4= 2 log10 4= 2
 
log10 2 
(4; 2) 
2 log2 2= 1 log10 2= 1
 
log10 2 
(2; 1) 
1 log2 1= 0 log10 1= 0
 
log10 2 
(1; 0) 
 
 
 
2) Realizar la tabla de la siguiente función. Marcar los puntos sobre la curva 
 
 
 
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FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE 
 
 
 
 
 
 
Es decir: 
 
• cuando la base esta entre 0 y 1(0 < a < 1), entonces la función logarítmica es una 
función decreciente 
• cuando la base en mayor a 1 (a > 1), entonces es una función creciente. 
 
 
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ANALISIS DE LA FUNCION LOGARITMICA 
• Dominio: todos los números reales que hacen que el argumento de la función sea 
mayor que cero. 
 
Veamos tres ejemplos de dominios de funciones logarítmicas: 
 
 
 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/dominio-funcion/
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Actividad: 
 
1. Hallar los siguientes dominios y transformación de las funciones logarítmica 
 
 
 
 
 
• Asíntota vertical : se calcula el argumento, igualando a cero. 
• Raíz: igualar la función a cero y despejar la x, para ello se aplica definición. 
 
• Ordenada al origen: Reemplazar x por cero y calcular el logaritmo 
• Imagen son todos los números reales. 
• Las funciones logarítmicas son continuas. 
 
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DESPLAZAMIENTOS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
• Corrimiento Horizontal: Se observa lo que ocurre cuando se modifica la variable 
independiente en un cierto valor a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad: 
1. Completar el cuadro: 
𝑎) 𝑦 = log10 𝑥 𝑏) log10(𝑥 − 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• Desplazamiento Vertical: Se observa que se puede agregar, al corrimiento horizontal, un 
corrimiento vertical incorporando a la expresión anterior el valor de c 
 
 
 
 
 
 
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ACTIVIDAD: 
1. Completar el cuadro 
 
a) b) c) 
 
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𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙𝒚) = 𝒚. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 
𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙⦁𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚 
Ejemplo: log3(9.27) = log39 + log327 
= 2 + 3 
= 5 
Ejemplo: log1 ( ) = log11 − log14 
1 
2 4 2 2 
= 0 − (−2) 
= 2 
Ejemplo: log4(2)3 = 3. log42 
= 3. 
2
 
1 
3 
= 
2 
 
 
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 
➢ El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 
 
 
➢ El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del 
divisor. 
 
 
 
➢ El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la 
base. 
 
 
 
 
 
𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 ∶ 𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚 
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Ejemplo: log5( √5) = log5(5)3 
3 
1 
= . 𝑙𝑜𝑔55 
1 
3 
= . 1 
1 
3 
1 
= 
3 
➢ El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el 
índice de la raíz. 
 
 
 
 
Cambio de base: 
 
 
Ejemplo: 
 
Uso de calculadora: 
El cambiar de base un logartimo, nos permite utilizar la calculadora científica para 
resolverlo. Algunas calculadoras trabajan con el logaritmo decimal (cuya base es 10) o 
logaritmo natural (cuya base es en número e) 
Logaritmo decimal Logaritmo natural 
 
 
 
Para resolver el logaritmo debemos decidir cuál de los dos logaritmos se utilizará. 
 
log a 
log b x 
x = 
log b a 
(de base a a base b) 
𝐥𝐨𝐠𝒂( √𝒙) = 
𝒚 
. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 
𝒚 𝟏 
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base 
 
Ejemplo: 
 
 
 
En otras calculadoras, no es necesario realizar cambio de base ya que tiene una tecla 
en la cual podemos indicar la base y el argumento. 
 
argumento 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad: 
Dadas las siguientes expresiones logarítmicas, hallar su valor utilizando propiedades. 
 
a) 
b) 
c) d) 
e) 
f) 
 
 
Logaritmo decimal Logaritmo natural 
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25 
 
X=+3 
 
 
ECUACIONES LOGARITMICAS 
Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita es el argumento o la base del logaritmo. 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
Resolución de ecuaciones logarítmicas: 
 
 Primer caso: Aplicando la definición de logaritmo. 
 
 
 
 Segundo caso: Aplicando propiedades de los logaritmos 
 
 
 
 
verifica la ecuación logarítmica por lo tanto, es solución. 
X=-3 no verifica la ecuación logarítmica por lo tanto no es solución. 
(La verificación queda a cargo del alumno) 
 
 
a) 
 
 
d) 
 
 
b) 
 
 
e) 
 
 
c) 
 
 f) 
 
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 Tercer caso: Aplicando propiedades y logaritmo de igual base 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cuarto caso: Aplicando propiedades y cambio de base. 
 
 
 
 
 
 Quinto caso: Para resolver ecuaciones exponenciales. 
 
 
 
 
 Sexto caso: A través de una ecuación de segundo grado. 
f) Reemplazando