3 Función exponencial y logaritmo

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UBA XXI – MÁTEMATICA - Función Exponencial y Logarítmica
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FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
Función
Exponencial
Si a es un número real mayor que cero y distinto de 1, la función f: + definida por
f(x) = ax se llama función exponencial de base a.
Ejemplo:
f(x) = 2x es una función exponencial con base 2.
x
2
1
)x(f 



 es una función exponencial de base
2
1
Propiedades.
Las funciones exponenciales tienen las siguientes propiedades:
 Dom(f) = 
 Im(f) = >0
 Es una función continua.
 No tiene ceros.
 Es siempre positiva
 f(0) = a0 = 1
 f(1) = a1 = a
Y valen las propiedades de la potenciación:
 ax . ay = ax+y
 ax : ay = ax - y
 (ax)y = ax.y
Si bien comparten estas características comunes, debe diferenciarse los casos en que es
a > 1 y 0 < a <1
Analizamos sus gráficas:
 a > 1 Por ejemplo f(x) = 2x
 Dom(f) = 
 Im(f) = >0
 Es siempre creciente
 f(0) = 20 = 1
 f(1) = 21 = 2
 
x
x2lím
 02lím
x
x 

 Asíntota vertical; no tiene
 Asíntota horizontal : y = 0
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 0 < a < 1 Por ejemplo
x
2
1f(x) 





 Dom(f) = 
 Im(f) = >0
 Es siempre decreciente
 f(0) = 1
2
1 0 




 f(1) =
2
1
2
1 1 





 0
2
1lím
x
x


y 

x
x 2
1lím
 Asíntota vertical; no tiene
 Asíntota horizontal : y = 0
Función
Logarítmica
La función definida mediante
f: (0; +)  tal que f(x) = logax de modo que logax = y  a
y = x
se denomina función logarítmica.
La función logarítmica de base a, inversa de la función exponencial de base a, sólo está
definida para los números reales positivos.
Presenta como características generales:
 loga1 = 0 pues a
0 = 1 (para a>0)
 logaa = 1 pues a
1 = a
 a logax = x
 Además:
o loga(x . y) = logax + logay (x >0; y > 0)
o tlogxlog
y
x
log aaa 
o logax
n = n. loga x
Para representar la función logarítmica tenemos en cuenta que sea:
a > 1 ó 0 < a <1
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 Consideramos a>1  f(x) = logax (a > 1)
 Dom(f) = (0; +)
 Im(f) = (-; +)
 Intersección eje x: (1; 0)
 Es positiva en (1; +)
 Es negativa en (0; 1)
 Es siempre creciente
 Es continua.
 

)x(flím
0x
por lo que es
A:V: x = 0
 No tiene asíntota horizontal
 0<a <1
 f(x) = logax (0< a < 1)
 Dom(f) = (0; +)
 Im(f) = (-; +)
 Intersección eje x: (1; 0)
 Es positiva en (0;1)
 Es negativa en (1; +)
 Es siempre decreciente
 Es continua.
 

)x(flím
0x
por lo que es
A:V: x = 0
 No tiene asíntota horizontal
En general las bases de los logaritmos más usadas son la base 10 y el número e
 Cuando la base del logaritmo es 10, se indica simplemente log x . Se lo
denomina logaritmo decimal.
 Cuando la base del logaritmo es el número e se lo indica lnx . Se lo denomina
logaritmo natural o neperiano.
Como las funciones exponencial y logarítmica son inversas una de la otra, sus gráficas
son simétricas respecto a las recta y = x
 Para a > 0  Para 0 < a < 1
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Problemas que se resuelven usando las funciones exponencial y logarítmica
Desarrollamos ejemplos en los que usamos los conceptos expuestos:
Ejemplo 1.
Dadas las funciones e)x(fy2e)x(f 1-x2
x
1 
a) Graficarlas.
b) En cada caso hallá Imf y da las ecuaciones de las asíntotas de f.
Solución.
a) Graficamos f1(x) = ex + 2
Recordemos que el gráfico de y = ax + k, siendo “a” un número real positivo y
distinto de 1 (a > 0 y a 1) y k , se puede obtener trasladando verticalmente
k unidades el gráfico de y = ax, con a > 0 y a 1. Si k es positivo, la traslación
es hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.
En consecuencia, la asíntota horizontal es la recta de ecuación y = k.
Por lo tanto, graficamos la función f1(x) = ex + 2 trasladando 2 , o sea, 2, unidades
hacia arriba el gráfico de f(x) = ex.
Luego, el gráfico pedido es el siguiente:
 Graficamos f2(x) = ex – 1
Recordemos que el gráfico de y = ax – p, siendo “a” un número real positivo y
distinto de 1 (a > 0 y a 1) y p, se puede obtener trasladando
horizontalmente p unidades el gráfico de y = ax, con a > 0 y a 1. Si p es
positivo, la traslación es hacia la derecha; si es negativo, hacia la izquierda.
En consecuencia, la asíntota horizontal no cambia. Dicha asíntota es la recta de
ecuación y = 0, o sea, el eje x.
Por lo tanto, graficamos la función f2(x) = e
x – 1 trasladando 1 , o sea, 1, unidad
hacia la derecha el gráfico de f(x) = ex.
Entonces, el gráfico pedido es este:
b) En cada caso hallá Imf y da las ecuaciones de las asíntotas de f.
Para hallar la imagen de f1(x) = e
x + 2 tenemos en cuenta que la imagen de ex es
(0; +) .
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Al realizar el corrimiento de ex, hacia arriba 2 unidades, todas las imágenes suman
2 unidades por lo que es Im(f1) = (2; +)
o Para hallar la ecuación de la asíntota horizontal, calculamos

x
x 2elím y 22elím
x
x 

Luego es A.H : y = 2
La función no tiene asíntotas verticales.
 Para hallar la imagen de f2(x) = e
x – 1 procedemos en forma similar, teniendo en
cuenta que el corrimiento es horizontal, 1 unidad a la derecha.
Por lo que es
o Im(f2) = (0; +)
o A.H : y = 0
La función no tiene asíntotas verticales.
Ejemplo 2. Para la función f(x) = 5x-4 – 25.
a) Da dominio
b) Hallá la intersección del gráfico de f con los ejes.
c) Dá las ecuaciones de las asíntotas
d) Hallá los intervalos de positividad y negatividad.
e) Graficá la función
Solución
Analizamos la función f(x) = 5x-4 – 25
a) Dominio son los números reales ya que 5x está definida para todos los números
reales. Luego Dom(f) = 
b) Hallá la intersección del gráfico de f con los ejes.
 La intersección con el eje y la obtenemos cuando x = 0. En este caso es
f(0) = 50-4 – 25 = 5-4 – 25 =
625
15624
625
156251
25
625
1 



Luego la intersección con el eje x es 




 
625
15624
;0
 La intersección con el eje x la encontramos para el valor de x que hace que
la función sea igual a cero:
Planteamos entonces la ecuación: f(x) = 0
f(x) = 0  5x-4 – 25 = 0
Despejando:
5x-4 = 25  5x-4 = 52  x – 4 = 2  x = 6
Luego para x = 6 es f(x) = 0 por lo que la intersección con el eje x es (6; 0)
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c) Dá las ecuaciones de las asíntotas
Como la función está definida para todo número real, no tiene asíntotas verticales.
Para hallar la asíntota horizontal, calculamos los límites para x tendiendo a más
infinito y a menos infinito.
25-5lím 4-x
x


+  ya que x – 4 crece infinitamente
25-25-5lím 4-x
x


ya que el x – 4 se hace muy pequeño y negativo por
lo que 5(x – 4) se hace cada vez más próximo a cero
y la función se acerca a -25.
Por lo que la recta y = -25 es asíntota horizontal
d) Hallá los intervalos de positividad y negatividad.
Para hallar los intervalos de positividad y negatividad usamos el teorema de
Bolzano ya que conocemos el cero de la función, que es x = 6
Para valores de x menores que 6, la función es negativa, ya que si x = 0 es
625
15624)0(f 
Y para valores de x mayores que 6 la función es positiva, ya que si x = 7 es
f(7) = 100
Entonces es:
C- = (-; 6) C+ = (6; + )
d) La gráfica de la función es aproximadamente
Ejemplo 3. Para la función 3)ln(-xf(x) 
a) Da dominio
b) Hallá la intersección del gráfico de f con los ejes.
c) Dá las ecuaciones de las asíntotas
d) Hallá los intervalos de positividad y negatividad.
e) Graficá la función
Solución.
Procedemos en forma similar al ejemplo anterior
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.a) Dominio de f:
Como la función logaritmo está definidapara los números reales mayores que cero
debe ser:
-x + 3 > 0  x < 3
Luego Domf = (-; 3)
b) Hallá la intersección del gráfico de f con los ejes.
La intersección con el eje de ordenadas debería encontrarse para x = 0, pero la
función está definida para valores menores que 3 y por lo tanto x = 0 no pertenece a
su dominio.
Para hallar la intersección con el eje x buscamos para qué valor de x es f(x) = 0
ln(–x+3) = 0  e0 = –x+3  1– 3 = –x  x = 2
Entonces f(x) = 0  x = 2 . Por lo que la intersección con el eje x es el punto (2; 0)
c) Asíntotas:
 Vemos que pasa con la función cuando nos acercamos a 3 por la izquierda.


)3xln(lim
3x
Como la función tiende a menos infinito cuando nos acercamos a 3 por la izquierda
entonces la recta x = 3 es asíntota vertical a izquierda de la función.
d) C+ y C-
Como x = 2 es el cero de la función, consideramos los intervalos del dominio de la
función: (-; 2) y (2; 3). Como la función logaritmo es continua en su dominio,
usamos el teorema de Bolzano para determinar el signo de la función en cada uno
de estos intervalos.
–3(–∞; 2) y f(–3) = ln6 >0
Luego f(–3)>0
Por lo tanto: C+ = (–∞; 2)
2,5 (2; 3) y f(2,5) = ln (-2, 5+3) < 0
Luego f(2,5) < 0
Por lo tanto: C- = (2; 3)
e) El gráfico de f es aproximadamente:
Más problemas usando funciones exponencial y logarítmica las encontrarán en los ejercicios
resueltos