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Determinantes
De matrices Cuadradas
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Productos Elementales en una matriz cuadrada:
Un producto elemental en una matriz (arreglo de números en filas y columnas) cuadrada de orden “n” es el producto de n elementos de la matriz tomando un elemento de cada fila y un elemento de cada columna. 
Cada matriz de orden n tiene n! productos elementales . Una matriz de orden 1 tiene un único producto elemental, una de orden 2 tiene 2!=2 productos elementales , una de orden 3 tiene 3!= 6 productos elementales. 
En cada producto elemental si ordenamos los factores por filas podemos contar el número de inversiones en las columnas y dependiendo de si la cantidad de inversiones es par o impar el producto mantiene su signo(si es par la cantidad de inversiones) o cambia su signo ( si es impar la cantidad de inversiones)
Determinante, Definición:
El determinante de una matriz cuadrada es el número real que se obtiene a través de la sumatoria de todos los productos elementales de dicha matriz considerando el signo correspondiente según la cantidad de inversiones.
Para el cálculo de un determinante:
El determinante de matrices de dimensión menor que 4 se calcula rápidamente mediante reglas o fórmulas. Para dimensiones mayores, es necesario desarrollar el determinante mediante otros métodos. Nosotros veremos la llamada regla de Laplace.
Como las matrices deben ser cuadradas, tienen el mismo número de filas que de columnas.
Para denotar el determinante de una matriz A, usamos |A| ó det(A).
Escribiremos aij para referirnos al elemento de la fila i y columna j de la matriz A.
Cálculo: 
Para una matriz de orden 1
Para una matriz de 2x2 :
Para una matriz de 3x3:
Su determinante se calcula por regla de sarrus:
Para calcular los determinantes por regla de Laplace:
La regla o desarrollo de Laplace permite calcular el determinante de matrices cuadradas de cualquier dimensión, pero normalmente se utiliza para dimensión mayor que 3.
Existen dos versiones de la regla: desarrollo por filas y desarrollo por columnas.
Si lo calculamos por fila i: 
Para una matriz de 3x3 desarrollo por primera fila:
|A| =
 
Si lo calculamos por la columna j:
Propiedades de Determinantes:
Propiedad 2
El determinante de una matriz con alguna fila o columna de ceros es 0.
Propiedad 1
El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes:
                                            
Propiedad 3
Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor.
Propiedad 4
Se puede extraer el mismo factor común de n filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n.
Propiedad 5
Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo.
Propiedad 6
Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar.
Propiedad 7
Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante:
             
Propiedad 8
El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:
                    
Propiedad 9
Si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces su determinante es 0.
Propiedad 10
El determinante no cambia si se suman filas (o columnas) multiplicadas por números distintos de 0.
Propiedad 11
El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal.
Propiedad 12
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal.