Mód IV- Matemática I sistema de ecuaciones lineales

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Matemática I 
 
MÓDULO III: 
Sistema de ecuaciones lineales 
 
© Universidad de Congreso 
Sistema Institucional de Educación a Distancia 
Año 2019 Mendoza - Argentina 
Lic. Eliana Arcoraci 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 4 | Página 1 de 11 
 
CONTENIDO 
I. Ecuaciones Lineales .............................................................................................. 3 
a. Introducción ....................................................................................................... 3 
b. Definición ........................................................................................................... 3 
c. Representación Matricial De Un Sistemas De Ecuaciones Lineales ................... 3 
d. Sistemas de ecuaciones lineales como una aplicación lineal ............................. 4 
II. Definición De Sistema De Ecuaciones De 1º Grado Con Dos Incógnitas ............... 4 
III. Teorema De Rouché-Fröbenius ......................................................................... 5 
IV. Métodos De Resolución. Gráficas Asociadas ..................................................... 6 
a. Método De Sustitución ....................................................................................... 6 
b. Método De Igualación ........................................................................................ 6 
c. Método de reducción por suma o resta (o de eliminación) ................................. 7 
d. Método De Determinantes.................................................................................. 8 
V. Bibliografía ........................................................................................................... 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática I| Unidad 4 | Página 2 de 11 
 
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Bibliografía 
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Norma Jurídica 
Mandato o regla dirigida a regular la conducta de un 
individuo en una sociedad determinada. 
 
 
 
 
 
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I. ECUACIONES LINEALES 
a. Introducción 
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen 
más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no 
necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas 
entre sí. 
 
b. Definición 
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas 
de la forma: 
 
donde: 
aij =coeficientes, 
xi= incógnitas 
b i= términos independientes. 
 
c. Representación Matricial De Un Sistemas De Ecuaciones 
Lineales 
El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de 
matrices de la forma: 
 
De modo simplificado suele escribirse Am,n · Xn,1 = Bm,1, 
donde: 
A = Matriz de los coeficientes 
x = Vector solución 
B = Vector de Términos Independientes 
A* = Resulta de añadir los términos independientes a la matriz A 
 
 
 
 
 
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d. Sistemas de ecuaciones lineales como una aplicación lineal 
Sabiendo que toda matriz de dimensión mxn define una aplicación lineal, podemos 
entender un sistema de m ecuaciones y n incógnitas, como una aplicación lineal de 
coeficientes de las distintas incógnitas 
 
II. DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES DE 1º GRADO 
CON DOS INCÓGNITAS 
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, se expresa como: 
 
 
 
donde: 
a, b, a' , b' = números reales llamados coeficientes de las incógnitas 
c , c' = números reales llamados términos independientes. 
 
Llamamos solución del sistema, a un par de valores, uno para x y otro para y que 
verifican o satisfacen las dos ecuaciones del sistema. 
Dos sistemas de ecuaciones se dice que son equivalentes si ambos tienen la misma 
solución 
Según el número de soluciones un sistema puede: 
 
 
Sistemas
Compatibles
Determinado
Tiene una sola 
solución
Indeterminado
Tiene Infinitas 
soluciones 
Incompatibles No tiene solución
 
 
 
 
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La interpretación de esto resulta bastante 
evidente pues la representación de cada 
ecuación lineal se corresponde con una 
recta, de manera que: Cuando el sistema 
sea incompatible (no tenga solución), 
entonces las dos rectas serán paralelas (no 
tienen ningún punto en común). 
 
 
Cuando el sistema sea compatible 
determinado (tenga una única 
solución), entonces las rectas serán 
secantes (se cortan en un sólo punto). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando el sistema sea compatible 
indeterminado (tenga infinitas 
soluciones), entonces las rectas serán 
coincidentes (se cortan en infinitos 
puntos). 
 
III. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS 
Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada A'y 
rangos respectivos r y r' se verifican: 
 
El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A') 
 
En caso de compatibilidad existen dos posibilidades: 
 Si r = r' = n (nº de incógnitas) Sistema compatible determinado (una 
única solución) 
 Si r = r' < n (nº de incógnitas) Sistema compatible indeterminado 
(infinitas soluciones) 
 Al valor n – r se le llama grado de libertad del sistema. 
 
y 
x 
A 
B 
y 
x 
A 
B 
y 
x 
A=B 
 
 
 
 
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IV. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN. GRÁFICAS ASOCIADAS 
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita 
para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema. 
a. Método De Sustitución 
Consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su 
expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer 
grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, calculamos el valor de x sustituyendo 
el valor de y que ya conocemos. 
¿Cómo sería este proceso? 
1er Paso: Se despeja la incógnita x de una de las ecuaciones dadas. 
2do Paso: Reemplazamos la incógnita x, en la otra ecuación dada; para obtener el 
valor de la incógnita y. 
3er Paso: Reemplazamos la incógnita y, en la 1ra expresión obtenida; para obtener el 
valor de la incógnita x. 
4to Paso: Graficamos las ecuaciones para determinar el Tipo de sistema. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 de (1) despejamos x: x=9-2y (3) 
Remplazamos (3) en (2) y 
despejamos y: 
3(9-2y)-y=13 
27-6y-y=13 
27-7y=13 
-7y=13-27 
-7y=-14 
 
)4(2
7
14



 yy 
Reemplazamos (4) en (3): 
x=9-2.2 x=5 
Solución: (5;2) 
Sistema Compatible Determinado 
b. Método De Igualación 
Consiste en aislar en ambasecuaciones la misma incógnita para poder igualar las 
expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita. 
y 
2 
5 
x 
A 
B 
 
 
 
 
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1er Paso: Se despeja la incógnita x de cada una de las ecuaciones dadas. 
 
2do Paso: Igualamos las incógnitas x luego resolvemos la ecuación. 
 
3er Paso: Reemplazamos la incógnita y, en cualquiera de las 2 ecuaciones 
despejadas para obtener el valor de la incógnita x 
 
4to Paso: Graficamos las ecuaciones para determinar el Tipo de sistema. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
de (1) y (2) despejamos x: 
x =9-2y (3) 
3
13 y
x


 (4) 

Igualamos (3) y (4): 
3
13
29
y
y


 

Despejamos y: 
3(9-2y)=13+y 
27-6y=13+y 
27-13=y-6y 
14=7y 
2
7
14
 yy
 (5) 
Reemplazamos en (3) y/o (4): 
x =9-2.2 

x=2 
3
213
x  x=2 
Solución: (5;2) 
Sistema Compatible Determinado 
c. Método de reducción por suma o resta (o de eliminación) 
Este método reside en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar 
ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos 
una ecuación con una sola incógnita. 
1er Paso: Multiplicamos las 2 ecuaciones por un "número" (resultado del mínimo 
común múltiplo (MCM) de los términos que acompañan a x entre ellos), para igualar 
el valor numérico de los coeficientes de la incógnita x en las 2 ecuaciones. 
2do Paso: Restamos las 2 ecuaciones para eliminar las incógnitas x luego 
resolvemos la ecuación. 
 
 
 
 
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3er Paso: Reemplazamos la incógnita y, en cualquiera de las 2 ecuaciones para 
obtener el valor de la incógnita x o bien se calcula está incógnita repitiendo los pasos 
anteriores. 
 
4to Paso: Graficamos las ecuaciones para determinar el Tipo de sistema. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 el MCM es 3 dado que x en la 1º 
ecuación está multiplicada por 1 y en la 
2º ecuación está multiplicado por 3 
multiplicamos la 1º ecuación por el 
valor que multiplicado por x me da el 
MCM y la 2º ecuación por el valor que 
multiplicado por x me da el MCM 











(4) 13 y -3x 
 (3)27 6.y 3x 
1 13 y -3x 
3 9 2.y x 
pormultiplico
pormultiplico
 
Restamos (4) a (3): 
2
1470
 13 y 3x -
 27 6.y 3x 







y
yx
 
Reemplazamos en cualquiera de las 
dos ecuaciones y obtenemos 
x =9-2.2  x=2 
3
213
x  x=2 
Solución: (5;2) Sistema 
Compatible Determinado 
 
d. Método De Determinantes 
También llamado Método de Cramer1, consiste en encontrar tres determinantes: 
 El determinante del sistema ∆ 
 El determinante de la x ∆X 
 El determinante de la y ∆Y 
 
1
 Gabriel Cramer (1704 - 1752) fue un matemático suizo nacido en Ginebra. 
 
 
 
 
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La forma de encontrar las determinantes es muy sencilla, de hecho, este método es de 
mayor preferencia, ya que solo se debe multiplicar para encontrar el valor de las 
incógnitas, pero para poder hacer este método siempre la ecuación debe tener 
Termino de x termino de y, termino independiente 
1er Paso: se forma el determinante principal con los coeficientes que acompañan a x e 
y: 
2do Paso: se forma el determinante de x ( x ) reemplazando los coeficientes de x del 
determinante principal por las soluciones del sistema. 
3er Paso: se forma el determinante de y ( y ) reemplazando los coeficientes de ydel 
determinante principal por las soluciones del sistema. 
4to Paso: se resuelve el sistema tal que: 






y
x
y
x
 
5to Paso: Graficamos las ecuaciones para determinar el Tipo de sistema. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
2
7
14
5
7
35
143.913.1
133
91
3513.21.9
113
29
73.21.1
13
21





















y
x
y
x
y
x
 
Solución: (5;2) 
Sistema Compatible Determinado 
 
 
 
 
 
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V. BIBLIOGRAFÍA 
 
1. Ernest F . Haeussler, Richard S. Paul (2016) “Matemáticas Para 
Administración y Economía” - Pearson Educación - 10° Edición - Capítulos 
0,1, 2 y 3. 
 
2. Ron Larson; Bruce H. Edwards (2010) “Cálculo I” Ed. Mac Graw-Hills - 9° 
Edición – Capítulo 1. 
 
3. Stefan Waner; Steven R. Costenoble (2002) “Calculo Aplicado” Editorial Math- 
2° Edición – Capitulo 1 y 2. 
 
4. Knut Sydsaeter; Peter Hammond (2011) “Matemáticas para el análisis 
económico” Editorial: Prentice Hall, 2° Edición - Capítulo 1. 
 
5. Michael Sullivan (2006) “Álgebra y trigonometría”, Pearson Educación - 7° 
edición – Capítulo 1. 
• EL SISTEMA TIENE INFINITAS 
SOLUCIONES
Δ=0 
• EL SISTEMA NO TIENE 
SOLUCIÓN
ΔX O´ ΔY =0